Cosmologia - Universo dominato dalla materia
In questo capitolo, discuteremo le soluzioni alle equazioni di Friedmann relative all'universo dominato dalla materia. In cosmologia, poiché vediamo tutto su larga scala, i sistemi solari, le galassie, tutto sembra essere come particelle di polvere (è così che lo vediamo con i nostri occhi), possiamo chiamarlo universo polveroso o universo di sola materia.
Nel Fluid Equation,
$$ \ dot {\ rho} = -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) \ rho -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right ) \ left (\ frac {P} {c ^ 2} \ right) $$
Possiamo vedere che c'è un termine di pressione. Per un universo polveroso,P = 0, perché la densità di energia della materia sarà maggiore della pressione di radiazione e la materia non si muove con velocità relativistica.
Quindi, l'equazione del fluido diventerà,
$$ \ dot {\ rho} = -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) \ rho $$
$$ \ Rightarrow \ dot {\ rho} a + 3 \ dot {a} \ rho = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ frac {1} {a ^ 3} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (a ^ 3 \ rho) = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ rho a ^ 3 = \: costante $$
$$ \ Rightarrow \ rho \ propto \ frac {1} {a ^ 3} $$
Non c'è controintuizione in questa equazione perché la densità dovrebbe scalare come $ a ^ {- 3} $ perché il volume aumenta come $ a ^ 3 $.
Dall'ultima relazione possiamo dire che,
$$ \ frac {\ rho (t)} {\ rho_0} = \ left [\ frac {a_0} {a (t)} \ right] ^ 3 $$
Per l'universo attuale, a, che è uguale a a0 dovrebbe essere 1. Quindi,
$$ \ rho (t) = \ frac {\ rho_0} {a ^ 3} $$
In un universo piatto dominato dalla materia, k = 0. Quindi, l'equazione di Friedmann diventerà,
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho} {3} $$
$$ \ dot {a} ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho a ^ 2} {3} $$
Risolvendo questa equazione, otterremo,
$$ a \ propto t ^ {2/3} $$
$$ \ frac {a (t)} {a_0} = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
$$ a (t) = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
Ciò significa che l'universo continuerà ad aumentare con una velocità decrescente. L'immagine seguente mostra l'espansione di un universo polveroso.
Come cambia ρ nel tempo?
Dai un'occhiata alla seguente equazione:
$$ \ frac {\ rho (t)} {\ rho_0} = \ left (\ frac {t_0} {t} \ right) ^ 2 $$
Sappiamo che il fattore di scala cambia nel tempo come $ t ^ {2/3} $. Così,
$$ a (t) = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
Differenziandolo, otterremo,
$$ \ frac {(da)} {dt} = \ dot {a} = \ frac {2} {3} \ left (\ frac {t ^ {- 1/3}} {t_0} \ right) $$
Sappiamo che il file Hubble Constant è,
$$ H (t) = \ frac {\ dot {a}} {a} = \ frac {2} {3t} $$
Questa è l'equazione per Einstein-de sitter Universe. Se vogliamo calcolare l'età attuale dell'universo, allora,
$$ t_0 = t_ {age} = \ frac {2} {3H_0} $$
Dopo aver inserito il valore di $ H_0 $ per l'universo attuale, otterremo il valore dell'età dell'universo come 9 Gyrs. Ci sono moltiGlobular Cluster nella nostra galassia della Via Lattea che ha un'età superiore a quella.
Riguardava l'universo polveroso. Ora, se presumi che l'universo sia dominato dalla radiazione e non dalla materia, la densità di energia della radiazione diventa $ a ^ {- 4} $ anziché $ a ^ {- 3} $. Ne vedremo di più nel prossimo capitolo.
Punti da ricordare
In cosmologia, tutto sembra essere come particelle di polvere, quindi lo chiamiamo universo polveroso o universo di sola materia.
Se assumiamo che l'universo sia dominato dalla radiazione e non dalla materia, allora la densità di energia della radiazione è $ a ^ {- 4} $ anziché $ a ^ {- 3} $.