Cosmologia - Metodo di transito

Il metodo di transito (Kepler Space Telescope)viene utilizzato per scoprire la dimensione. Il calo di luminosità di una stella da parte di un pianeta è solitamente molto meno diverso da un sistema binario.

  • F0 è il flusso della stella prima che il pianeta la occulti.

  • F1 è il flusso dopo che l'intero pianeta è di fronte alla stella.

L'immagine seguente verrà utilizzata per tutti i calcoli.

$$ \ frac {F_0 - F_1} {F_0} = \ frac {\ pi r_p ^ {2}} {\ pi R ^ 2_ \ ast} $$

$$ \ frac {\ Delta F} {F} \ cong \ frac {r ^ 2_p} {R ^ 2_ \ ast} $$

$$ \ left (\ frac {\ Delta F} {F} \ right) _ {earth} \ cong 0.001 \% $$

$$ \ left (\ frac {\ Delta F} {F} \ right) _ {giove} \ cong 1 \% $$

Questo non è facile da ottenere con un telescopio a terra. È ottenuto dal telescopio Hubble.

Qui $ t_T $ è il tempo tra la posizione A e D e $ t_F $ è il tempo tra la posizione B e C.

La geometria di un transito in relazione all'inclinazione idel sistema. La latitudine e l'inclinazione di transito sono intercambiabili.

Dalle immagini sopra, possiamo scrivere:

$$ \ frac {h} {a} = cos (i) $$

$$ \ frac {h} {R_ \ ast} = sin (\ delta) $$

$$ cos (i) = \ frac {R_ \ ast sin (\ delta)} {a} $$

$$ y ^ 2 = (R_ \ ast + R_p) ^ 2 - h ^ 2 $$

$$ y = [(R_ \ ast + R_p) ^ 2 - h ^ 2] ^ {\ frac {1} {2}} $$

$$ sin (\ theta) = \ frac {y} {a} $$

$$ \ theta = sin ^ {- 1} \ left [\ frac {(R_ \ ast + R_p) ^ 2 - a ^ 2cos ^ 2 (i)} {a ^ 2} \ right] ^ {\ frac {1 } {2}} $$

$$ t_T = \ frac {P} {2 \ pi} \ times 2 \ theta $$

Qui, $ t_T $ è la frazione di un periodo di tempo per il quale avviene il transito e (2θ / 2π) è la frazione dell'angolo per il quale avviene il transito.

$$ sin (\ frac {t_T \ pi} {P}) = \ frac {R_ \ ast} {a} \ left [\ left (1+ \ frac {R_p} {R_ \ ast} \ right) ^ 2 - \ left (\ frac {a} {R_ \ ast} cos (i) \ right) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$

Di solito, un >> R ∗ >> Rp. Quindi, possiamo scrivere -

$$ sin (\ frac {t_T \ pi} {P}) = \ frac {R_ \ ast} {a} \ left [1- \ left (\ frac {a} {R_ \ ast} cos (i) \ right ) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$

Qui, Pè la durata tra due transiti successivi. Il tempo di transito è molto inferiore rispetto al periodo di tempo orbitale. Quindi,

$$ t_T = \ frac {P} {\ pi} \ left [\ left (\ frac {R_ \ ast} {a} \ right) ^ 2 - cos ^ 2 (i) \ right] ^ {\ frac {1 } {2}} $$

Qui, tT, P, R∗ sono gli osservabili, a e i dovrebbe essere scoperto.

Adesso,

$$ sin (\ frac {t_F \ pi} {P}) = \ frac {R_ \ ast} {a} \ left [\ left (1 - \ frac {R_p} {R_ \ ast} \ right) ^ 2 - \ left (\ frac {a} {R_ \ ast} cos \: i \ right) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$

dove $ y ^ 2 = (R_ \ ast - R_p) ^ 2 - h ^ 2 $.

Permettere,

$$ \ frac {\ Delta F} {F} = D = \ left (\ frac {R_p} {R_ \ ast} \ right) ^ 2 $$

Ora possiamo esprimere,

$$ \ frac {a} {R_ \ ast} = \ frac {2P} {\ pi} D ^ {\ frac {1} {4}} (t ^ 2_T - t ^ 2_F) ^ {- \ frac {1 } {2}} $$

Per le stelle della sequenza principale,

$$ R_ \ ast \ propto M ^ \ alpha_ \ ast $$

$$ \ frac {R_ \ ast} {R_0} \ propto \ left (\ frac {M_ \ ast} {M_0} \ right) ^ \ alpha $$

Questo da R∗.

Quindi, otteniamo anche il valore di "a".

Quindi, otteniamo "R p ", "ap" e anche "i".

Per tutto questo

$$ h \ leq R_ \ ast + R_p $$

$$ a \: cos \: i \ leq R_ \ ast + R_p $$

Anche per ~ 89 gradi, la durata del transito è molto ridotta. Il pianeta deve essere molto vicino per ottenere un tempo di transito sufficiente. Questo dà uno stretto vincolo su "i". Una volta ottenuto "i", possiamo derivare "m p " dalla misurazione della velocità radiale.

Questo rilevamento mediante il metodo di transito è chiamato rilevamento casuale, ovvero probabilità di osservare un transito. Di seguito sono riportati i calcoli della probabilità di transito (probabilità di osservazione).

La probabilità di transito è correlata all'angolo solido tracciato dalle due configurazioni di transito estreme, che è:

$$ Solido \: angolo \: di \: pianeta \: = 2 \ pi \ sinistra (\ frac {2R_ \ ast} {a} \ destra) $$

Così come l'angolo solido totale su un semiasse maggiore a, o -

$$ Solido \: angolo \: di \: sfera \: = \: 4 \ pi $$

La probabilità è il rapporto tra queste due aree:

$$ = \: \ frac {area \: di \: cielo \: coperta \: da \: favorevole \: orientamento} {area \: di \: cielo \: coperta \: da \: tutto \: possibile \: orientamento \: di \: orbita} $$

$ = \ frac {4 \ pi a_pR_ \ ast} {4 \ pi a ^ 2_p} = \ frac {R_ \ ast} {a_p} $ $ \ frac {area \: of \: hollow \: cyclinder} {area \ : di \: sfera} $

Questa probabilità è indipendente dall'osservatore.

Punti da ricordare

  • Il metodo di transito (Kepler Space Telescope) viene utilizzato per scoprire le dimensioni.
  • Il rilevamento tramite metodo di transito è un rilevamento casuale.
  • Il pianeta deve essere molto vicino per ottenere un tempo di transito sufficiente.
  • La probabilità di transito è correlata all'angolo solido del pianeta.
  • Questa probabilità è indipendente dal sistema di riferimento dell'osservatore.