Cosmologia - Equazione dei fluidi
In questo capitolo, discuteremo l'equazione del fluido e come ci dice riguardo alla densità dell'universo che cambia nel tempo.
Stima di ρ c e ρ nell'universo presente
Per l'universo attuale -
$$ \ rho_c \ simeq 10 ^ {11} M_ \ odot M_ {pc} ^ {- 3} \ simeq 10 \: hydrogen \: atoms \: m ^ {- 3} $$
C'è tutta una serie di densità critiche nel nostro spazio esterno. Ad esempio, per il mezzo intergalattico $ \ rho_c $ è 1 atomo di idrogeno $ m ^ {- 3} $, mentre per le nuvole molecolari è $ 10 ^ 6 $ atomi di idrogeno $ m ^ {- 3} $.
Dobbiamo misurare $ \ rho_c $ considerando opportuni campioni di spazio. All'interno della nostra galassia, il valore di $ \ rho_c $ è molto alto, ma la nostra galassia non è rappresentativa dell'intero universo. Quindi, dovremmo andare nello spazio dove vale il principio cosmologico, cioè distanze ≈ 300 Mpc. Guardare 300 Mpc significa guardare indietro di 1 miliardo di anni, ma è ancora l'universo attuale.
Vengono condotti sondaggi come SDSS per determinare la densità della materia effettiva. Prendono un volume 5 × 500 × 5 Mpc 3 , contano il numero di galassie e aggiungono tutta la luce proveniente da queste galassie. Assumendo che 1 L ≡ 1 M, cioè 1 luminosità solare ≡ 1 massa solare.
Facciamo una conversione da luce a massa e poi proviamo a stimare il numero di barioni in base alle particelle di materia visibile presenti in quel volume.
Per esempio,
$$ 1000L_ \ odot ≡ 1000M_ \ odot / m_p $$
Dove, m p = massa del protone.
Quindi otteniamo approssimativamente la densità dei numeri barionici $ \ Omega b ∼ = 0,025 $. Ciò implica $ \ rho b = 0,25% $ di $ \ rho_c $. Diversi sondaggi hanno prodotto un valore leggermente diverso. Quindi, nell'universo locale, la densità numerica della materia visibile è molto inferiore alla densità critica, il che significa che stiamo vivendo in un universo aperto.
La massa con un fattore 10 non è inclusa in queste indagini perché queste indagini tengono conto della radiazione elettromagnetica ma non della materia oscura. Dare, $ \ Omega_m = 0,3 - 0,4 $. Still conclude che stiamo vivendo in un universo aperto.
La materia oscura interagisce con la gravità. Molta materia oscura può fermare l'espansione. Non abbiamo ancora formalizzato come $ \ rho $ cambia nel tempo, per cui abbiamo bisogno di un altro insieme di equazioni.
La termodinamica afferma che -
$$ dQ = dU + dW $$
Per un sistema in crescita in termini di dimensioni, $ dW = P dV $. L'espansione dell'universo è modellata come adiabatica, cioè $ dQ = 0 $. Quindi, il cambiamento di volume dovrebbe avvenire dal cambiamento nell'energia interna dU.
Prendiamo un certo volume di universo di raggio di spostamento dell'unità cioè $ r_c = 1 $. Se $ \ rho $ è la densità del materiale all'interno di questo volume di spazio, allora,
$$ M = \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3r_c ^ 3 \ rho $$
$$ U = \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3 \ rho c ^ 2 $$
Dove, Uè la densità di energia. Cerchiamo di scoprire il cambiamento nell'energia interna con il tempo mentre l'universo si espande.
$$ \ frac {\ mathrm {d} U} {\ mathrm {d} t} = 4 \ pi a ^ 2 \ rho c ^ 2 \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} + \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3 c ^ 2 \ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t} $$
Allo stesso modo, la variazione di volume nel tempo è data da,
$$ \ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} t} = 4 \ pi a ^ 2 \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} $$
Sostituendo $ dU = −P dV $. Noi abbiamo,
$$ 4 \ pi a ^ 2 (c ^ 2 \ rho + P) \ dot {a} + \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3c ^ 2 \ dot {\ rho} = 0 $$
$$ \ dot {\ rho} +3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left (\ rho + \ frac {P} {c ^ 2} \ right) = 0 $$
Questo è chiamato Fluid Equation. Ci dice come la densità dell'universo cambia con il tempo.
La pressione diminuisce man mano che l'universo si espande. Ad ogni istante la pressione cambia, ma non c'è differenza di pressione tra due punti del volume considerato, quindi il gradiente di pressione è zero. Solo i materiali relativistici impartiscono pressione, la materia è priva di pressione.
L'equazione di Friedmann, insieme all'equazione dei fluidi, modella l'universo.
Punti da ricordare
La materia oscura interagisce con la gravità. Molta materia oscura può fermare l'espansione.
L'equazione dei fluidi ci dice come la densità dell'universo cambia nel tempo.
L'equazione di Friedmann, insieme all'equazione dei fluidi, modella l'universo.
Solo i materiali relativistici impartiscono pressione, la materia è priva di pressione.