Parametro di Hubble e fattore di scala
In questo capitolo, discuteremo del parametro Hubble e del fattore di scala.
Prerequisite - Redshift cosmologico, principi cosmologici.
Assumption - L'universo è omogeneo e isotropo.
Costante di Hubble con tasso frazionario di variazione del fattore di scala
In questa sezione metteremo in relazione la costante di Hubble con la velocità frazionaria del cambiamento del fattore di scala.
Possiamo scrivere la velocità nel modo seguente e semplificare.
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} $$
$$ = \ frac {d [a (t) r_c} {dt} $$
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast (ar_c) $$
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast r_p $$
Qui, v è la velocità di recessione, a è il fattore di scala e rp è la giusta distanza tra le galassie.
Hubble’s Empirical Formula era della natura -
$$ v = H \ ast r_p $$
Quindi, confrontando le due equazioni precedenti otteniamo:
Hubble’s Parameter = Fractional rate of change of the scale factor
$$ H = da / dt \ ast 1 / a $$
Note- Questa non è una costante poiché il fattore di scala è una funzione del tempo. Quindi è chiamato parametro di Hubble e non costante di Hubble.
Empiricamente scriviamo -
$$ H = V / D $$
Quindi, da questa equazione, possiamo dedurlo da allora D è in aumento e V è una costante, quindi H si riduce con il tempo e l'espansione dell'universo.
Equazione di Friedmann in congiunzione con il modello di Robertson-Walker
In questa sezione, capiremo come viene utilizzata l'equazione di Friedmann in combinazione con il modello di Robertson-Walker. Per capirlo, prendiamo la seguente immagine che ha una massa di prova a distanzarp dal corpo di massa M come esempio.
Prendendo in considerazione l'immagine sopra, possiamo esprimere la forza come:
$$ F = G \ ast M \ ast \ frac {m} {r ^ 2_p} $$
Qui, G è la costante gravitazionale universale e ρ è la densità della materia all'interno dell'universo osservabile.
Ora, assumendo una densità di massa uniforme all'interno della sfera, possiamo scrivere:
$$ M = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast r_p ^ 3 \ ast \ rho $$
Usandoli nella nostra equazione della forza otteniamo:
$$ F = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p \ ast \ rho \ ast m $$
Quindi, possiamo scrivere l'energia potenziale e l'energia cinetica della massa m come -
$$ V = - \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r ^ 2_p \ ast m \ ast \ rho $$
$$ KE = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ frac {\ mathrm {d} r_p ^ 2} {\ mathrm {d} t} $$
Usando il Virial Theorem -
$$ U = KE + V $$
$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left (\ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} \ right) ^ 2 - \ frac {4} { 3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$
Ma qui, $ r_p = ar_c $. Quindi, otteniamo -
$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left (\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ right) ^ 2 r_c ^ 2 - \ frac { 4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$
Con un'ulteriore semplificazione, otteniamo l'equazione di Friedmann,
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi} {3} \ ast G \ ast \ rho + \ frac {2U} {m} \ ast r_c ^ 2 \ ast a ^ 2 $$
Qui Uè una costante. Notiamo anche che l'universo in cui viviamo attualmente è dominato dalla materia, mentre la densità di energia della radiazione è molto bassa.
Punti da ricordare
Il parametro Hubble si riduce con il tempo e l'espansione dell'universo.
L'universo in cui viviamo attualmente è dominato dalla materia e la densità di energia della radiazione è molto bassa.