デジタル回路-ブール代数

Boolean Algebra2進数と2進数変数を扱う代数です。したがって、それはバイナリ代数または論理代数とも呼ばれます。ジョージブールという名前の数学者が1854年にこの代数を開発しました。この代数で使用される変数は、ブール変数とも呼ばれます。

論理「高」に対応する電圧の範囲は「1」で表され、論理「低」に対応する電圧の範囲は「0」で表されます。

ブール代数の仮説と基本法則

このセクションでは、ブール代数で使用されるブール仮説と基本法則について説明します。これらは、ブール関数を最小化するのに役立ちます。

ブール仮説

2進数の0と1、ブール変数（x）とその補集合（x '）について考えてみます。ブール変数またはその補数は、literal。可能な4つlogical OR これらのリテラルと2進数の間の操作を以下に示します。

x + 0 = x

x + 1 = 1

x + x = x

x + x '= 1

同様に、4つの可能な logical AND これらのリテラルと2進数の演算を以下に示します。

x.1 = x

x.0 = 0

xx = x

x.x '= 0

これらは単純なブール仮説です。ブール変数を「0」または「1」に置き換えることで、これらの仮定を簡単に検証できます。

Note−ブール変数の補集合は、変数自体と同じです。つまり、（x '）' = xです。

ブール代数の基本法則

以下は、ブール代数の3つの基本法則です。

可換法則
結合法則
分配法則

可換法則

2つのブール変数の論理演算が、それらの2つの変数の順序に関係なく同じ結果をもたらす場合、その論理演算は次のようになります。 Commutative。2つのブール変数xおよびyの論理ORおよび論理AND演算を以下に示します。

x + y = y + x

xy = yx

記号「+」は論理OR演算を示します。同様に、記号「。」論理AND演算を示し、表現するのはオプションです。可換法則は、論理ORおよび論理AND演算に従います。

結合法則

任意の2つのブール変数の論理演算が最初に実行され、次に同じ演算が残りの変数で実行されて同じ結果が得られる場合、その論理演算は次のようになります。 Associative。3つのブール変数x、y、zの論理ORおよび論理AND演算を以下に示します。

x +（y + z）=（x + y）+ z

x。（yz）=（xy）.z

結合法則は、論理ORおよび論理AND演算に従います。

分配法則

ブール関数に存在するすべての用語に論理演算を分散できる場合、その論理演算は次のようになります。 Distributive。3つのブール変数x、y、zの論理ORおよび論理AND演算の分布を以下に示します。

x。（y + z）= xy + xz

x +（yz）=（x + y）。（x + z）

分配法則は、論理ORおよび論理AND演算に従います。

これらはブール代数の基本法則です。ブール変数を「0」または「1」に置き換えることで、これらの法則を簡単に検証できます。

ブール代数の定理

次の2つの定理は、ブール代数で使用されます。

双対定理
ド・モルガンの定理

双対定理

この定理は、 dualブール関数の値は、論理AND演算子を論理OR演算子に、0を1に交換することによって取得されます。すべてのブール関数に対して、対応するデュアル関数があります。

ブール仮説と基本法則のセクションで説明したブール方程式（関係）を2つのグループに分けてみましょう。次の表に、これら2つのグループを示します。

グループ1	グループ2
x + 0 = x	x.1 = x
x + 1 = 1	x.0 = 0
x + x = x	xx = x
x + x '= 1	x.x '= 0
x + y = y + x	xy = yx
x +（y + z）=（x + y）+ z	x。（yz）=（xy）.z
x。（y + z）= xy + xz	x +（yz）=（x + y）。（x + z）

各行には2つのブール方程式があり、それらは互いに二重です。双対定理を使用して、Group1とGroup2のこれらすべてのブール方程式を検証できます。

ド・モルガンの定理

この定理は、 complement of Boolean function。これは、少なくとも2つのブール変数の論理ORの補数が、各補数変数の論理ANDに等しいことを示しています。

2つのブール変数xとyを持つドモルガンの定理は次のように表すことができます。

（x + y） '= x'.y'

上記のブール関数の双対は

（xy） '= x' + y '

したがって、2つのブール変数の論理ANDの補数は、各補数変数の論理ORに等しくなります。同様に、2つ以上のブール変数にもドモルガンの定理を適用できます。

ブール関数の簡略化

これまで、ブール代数の仮説、基本法則、定理について説明してきました。ここで、いくつかのブール関数を単純化してみましょう。

例1

私たちにさせて simplify ブール関数、f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr

この関数は2つの方法で単純化できます。

Method 1

与えられたブール関数、f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr。

Step 1−第1項と第2項では、rが一般的であり、第3項と第4項ではpqが共通です。だから、使用して一般的な用語を取るDistributive law。

⇒f=（p'q + pq '）r + pq（r' + r）

Step 2−最初の括弧内にある用語は、Ex-OR演算に簡略化できます。2番目の括弧内にある用語は、次を使用して「1」に簡略化できます。Boolean postulate

⇒f=（p⊕q）r + pq（1）

Step 3−最初の用語をこれ以上単純化することはできません。ただし、第2項は、を使用してpqに簡略化できます。Boolean postulate。

⇒f=（p⊕q）r + pq

したがって、簡略化されたブール関数は次のようになります。 f = (p⊕q)r + pq

Method 2

ブール関数が与えられると、f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr。

Step 1 −を使用する Boolean postulate、x + x = x。つまり、ブール変数 'n'回の論理OR演算は、同じ変数と等しくなります。したがって、最後の項pqrをさらに2回書くことができます。

⇒f= p'qr + pq'r + pqr '+ pqr + pqr + pqr

Step 2 −使用 Distributive law1^番目と4^番目の用語は、2^番目と5^番目の用語は、3^番目と6^番目の用語。

⇒f= qr（p '+ p）+ pr（q' + q）+ pq（r '+ r）

Step 3 −使用 Boolean postulate、x + x '= 1は、各括弧内に存在する用語を単純化するためのものです。

⇒f= qr（1）+ pr（1）+ pq（1）

Step 4 −使用 Boolean postulate、x.1 = xは、上記の3つの用語を単純化するためのものです。

⇒f= qr + pr + pq

⇒f= pq + qr + pr

したがって、簡略化されたブール関数は次のようになります。 f = pq + qr + pr。

したがって、各メソッドで指定されたブール関数を単純化した後、2つの異なるブール関数を取得しました。機能的には、これら2つのブール関数は同じです。したがって、要件に基づいて、これら2つのブール関数のいずれかを選択できます。

例2

見つけましょう complement ブール関数のf = p'q + pq '。

ブール関数の補集合はf '=（p'q + pq'） 'です。

Step 1 −ドモルガンの定理（x + y） '= x'.y'を使用します。

⇒f '=（p'q）'。（pq '）'

Step 2 −ド・モルガンの定理（xy） '= x' + y 'を使用する

⇒f '= {（p'） '+ q'}。{p '+（q'） '}

Step3 −ブール仮説（x '）' = xを使用します。

⇒f '= {p + q'}。{p '+ q}

⇒f '= pp' + pq + p'q '+ qq'

Step 4 −ブール仮説xx '= 0を使用します。

⇒f= 0 + pq + p'q '+ 0

⇒f= pq + p'q '

したがって、 complement ブール関数の場合、p'q + pq 'は pq + p’q’。