デジタル回路-標準および標準形式
2つの変数xとyを論理AND演算と組み合わせることにより、4つのブール積項を取得します。これらのブール積の用語は、min terms または standard product terms。最小項は、x'y '、x'y、xy'、およびxyです。
同様に、2つの変数xとyを論理OR演算と組み合わせることにより、4つのブール和項を取得します。これらのブール和項は、Max terms または standard sum terms。最大項は、x + y、x + y '、x' + y、およびx '+ y'です。
次の表は、2つの変数の最小項と最大項の表現を示しています。
| バツ | y | 最小条件 | 最大条件 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | m 0 = x'y ' | M 0 = x + y |
| 0 | 1 | m 1 = x'y | M 1 = x + y ' |
| 1 | 0 | m 2 = xy ' | M 2 = x '+ y |
| 1 | 1 | m 3 = xy | M 3 = x '+ y' |
バイナリ変数が「0」の場合、最小項では変数の補数として、最大項では変数自体として表されます。同様に、バイナリ変数が「1」の場合、最大項では変数の補数として、最小項では変数自体として表されます。
上記の表から、最小項と最大項が互いに補完し合っていることが簡単にわかります。'n'ブール変数がある場合、2n最小項と2n最大項があります。
標準的なSoPおよびPoSフォーム
真理値表は、入力と出力のセットで構成されています。'n'個の入力変数がある場合、0と1の2n個の可能な組み合わせがあります。したがって、各出力変数の値は、入力変数の組み合わせによって異なります。したがって、各出力変数は、入力変数のいくつかの組み合わせに対して「1」を持ち、入力変数の他のいくつかの組み合わせに対して「0」を持ちます。
したがって、各出力変数は次の2つの方法で表現できます。
- CanonicalSoPフォーム
- CanonicalPoSフォーム
CanonicalSoPフォーム
Canonical SoPフォームは、Canonical Sum ofProductsフォームを意味します。この形式では、各製品用語にすべてのリテラルが含まれています。したがって、これらの製品用語は最小用語に他なりません。したがって、正規のSoP形式は次のようにも呼ばれます。sum of min terms 形。
まず、出力変数が1である最小項を特定し、次にそれらの最小項の論理ORを実行して、その出力変数に対応するブール式（関数）を取得します。このブール関数は、最小項の合計の形式になります。
複数の出力変数がある場合は、他の出力変数についても同じ手順に従います。
例
次のことを考慮してください truth table。
| 入力 | 出力 | ||
|---|---|---|---|
| p | q | r | f |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
ここで、出力（f）は、入力の4つの組み合わせに対して「1」です。対応する最小項は、p'qr、pq'r、pqr '、pqrです。これらの4分間の項の論理ORを実行することにより、出力（f）のブール関数を取得します。
したがって、出力のブール関数は、f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqrです。これはcanonical SoP form出力のf。この関数は、次の2つの表記法で表すこともできます。
$$ f = m_ {3} + m_ {5} + m_ {6} + m_ {7} $$
$$ f = \ sum m \ left（3,5,6,7 \ right）$$
1つの方程式では、関数をそれぞれの最小項の合計として表しました。他の方程式では、これらの最小項の合計に記号を使用しました。
CanonicalPoSフォーム
Canonical PoSフォームは、Canonical Product ofSumsフォームを意味します。この形式では、各合計項にすべてのリテラルが含まれます。したがって、これらの合計項は最大項に他なりません。したがって、正規のPoS形式は次のようにも呼ばれます。product of Max terms 形。
まず、出力変数がゼロである最大項を特定し、次にそれらの最大項の論理ANDを実行して、その出力変数に対応するブール式（関数）を取得します。このブール関数は、最大項の積の形式になります。
複数の出力変数がある場合は、他の出力変数についても同じ手順に従います。
Example
前の例と同じ真理値表を考えてみましょう。ここで、出力（f）は、入力の4つの組み合わせに対して「0」です。対応する最大項は、p + q + r、p + q + r '、p + q' + r、p '+ q + rです。これらの4つのMax項の論理ANDを実行することにより、出力（f）のブール関数を取得します。
したがって、出力のブール関数は、f =（p + q + r）。（p + q + r '）。（p + q' + r）。（p '+ q + r）です。これはcanonical PoS form出力のf。この関数は、次の2つの表記法で表すこともできます。
$$ f = M_ {0} .M_ {1} .M_ {2} .M_ {4} $$
$$ f = \ prod M \ left（0,1,2,4 \ right）$$
1つの方程式では、関数をそれぞれの最大項の積として表しました。他の方程式では、これらの最大項の乗算に記号を使用しました。
ブール関数f =（p + q + r）。（p + q + r '）。（p + q' + r）。（p '+ q + r）は、ブール関数f =の双対です。 p'qr + pq'r + pqr '+ pqr。
したがって、正規のSoP形式と正規のPoS形式の両方が Dualお互いに。機能的には、これら2つの形式は同じです。要件に基づいて、これら2つの形式のいずれかを使用できます。
標準のSoPおよびPoSフォーム
ブール出力を表す2つの標準的な形式について説明しました。同様に、ブール出力を表す2つの標準形式があります。これらは、正規形式の簡略化されたバージョンです。
- 標準のSoPフォーム
- 標準のPoSフォーム
論理ゲートについては、後の章で説明します。メインadvantage標準形式の特徴は、論理ゲートに適用される入力の数を最小限に抑えることができることです。場合によっては、必要な論理ゲートの総数が減ることがあります。
標準のSoPフォーム
標準のSoPフォームは Standard Sum of Products形。この形式では、各製品用語にすべてのリテラルを含める必要はありません。したがって、製品条件は最小条件である場合とそうでない場合があります。したがって、標準SoP形式は、正規のSoP形式の簡略化された形式です。
2つのステップで出力変数の標準SoP形式を取得します。
- 出力変数の正規のSoP形式を取得します
- 正規のSoP形式である上記のブール関数を単純化します。
複数の出力変数がある場合は、他の出力変数についても同じ手順に従います。場合によっては、正規のSoP形式を単純化できないことがあります。その場合、正規のSoP形式と標準のSoP形式の両方が同じです。
Example
次のブール関数を標準のSoP形式に変換します。
f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr
指定されたブール関数は、正規のSoP形式です。ここで、標準のSoP形式を取得するために、このブール関数を単純化する必要があります。
Step 1 −を使用する Boolean postulate、x + x = x。つまり、ブール変数 'n'回の論理OR演算は、同じ変数と等しくなります。したがって、最後の項pqrをさらに2回書くことができます。
⇒f= p'qr + pq'r + pqr '+ pqr + pqr + pqr
Step 2 −使用 Distributive law1番目と4番目の用語は、2番目と5番目の用語は、3番目と6番目の用語。
⇒f= qr（p '+ p）+ pr（q' + q）+ pq（r '+ r）
Step 3 −使用 Boolean postulate、x + x '= 1は、各括弧内に存在する用語を単純化するためのものです。
⇒f= qr（1）+ pr（1）+ pq（1）
Step 4 −使用 Boolean postulate、x.1 = xは、上記の3つの項を単純化するためのものです。
⇒f= qr + pr + pq
⇒f= pq + qr + pr
これは単純化されたブール関数です。したがって、standard SoP form 与えられた標準的なSoP形式に対応するのは f = pq + qr + pr
標準のPoSフォーム
標準のPoSフォームは Standard Product of Sums形。この形式では、各合計項にすべてのリテラルが含まれている必要はありません。したがって、合計項は最大項である場合とそうでない場合があります。したがって、標準PoSフォームは、正規PoSフォームの簡略化されたフォームです。
2つのステップで出力変数の標準PoS形式を取得します。
- 正規のPoS形式の出力変数を取得します
- 正規のPoS形式である上記のブール関数を単純化します。
複数の出力変数がある場合は、他の出力変数についても同じ手順に従います。場合によっては、正規のPoSフォームを単純化できないことがあります。その場合、正規のPoS形式と標準のPoS形式の両方が同じです。
Example
次のブール関数を標準のPoS形式に変換します。
f =（p + q + r）。（p + q + r '）。（p + q' + r）。（p '+ q + r）
指定されたブール関数は、正規のPoS形式です。ここで、標準のPoS形式を取得するために、このブール関数を単純化する必要があります。
Step 1 −を使用する Boolean postulate、xx = x。つまり、ブール変数 'n'回の論理AND演算は、同じ変数と等しくなります。したがって、最初の項p + q + rをさらに2回書くことができます。
⇒f=（p + q + r）。（p + q + r）。（p + q + r）。（p + q + r '）。（p + q' + r）。（p '+ q + r）
Step 2 −使用 Distributive law,X +（Y-Z）=（X + Y）（X + Z）1番目と4番目の括弧、2番目及び5番目の括弧、3番目と6番目の括弧。
⇒f=（p + q + rr '）。（p + r + qq'）。（q + r + pp '）
Step 3 −使用 Boolean postulate、x.x '= 0は、各括弧内に存在する用語を単純化するためのものです。
⇒f=（p + q + 0）。（p + r + 0）。（q + r + 0）
Step 4 −使用 Boolean postulate、x + 0 = x（各括弧内に存在する用語を簡略化するため）
⇒f=（p + q）。（p + r）。（q + r）
⇒f=（p + q）。（q + r）。（p + r）
これは単純化されたブール関数です。したがって、standard PoS form 与えられた正規のPoSフォームに対応するのは f = (p + q).(q + r).(p + r)。これはdual ブール関数のf = pq + qr + pr。
したがって、標準SoPフォームと標準PoSフォームはどちらも互いにデュアルです。