Космология - Угловой диаметр Расстояние

В этой главе мы поймем, что такое расстояние углового диаметра и как оно помогает в космологии.

Для нынешней вселенной -

  • $ \ Omega_ {m, 0} \: = \: 0,3 $

  • $ \ Omega _ {\ wedge, 0} \: = \: 0.69 $

  • $ \ Omega_ {рад, 0} \: = \: 0,01 $

  • $ \ Omega_ {k, 0} \: = \: 0 $

До сих пор мы изучали два типа расстояний -

  • Proper distance (lp) - Расстояние, на которое фотоны проходят от источника до нас, т. Е. Instantaneous distance.

  • Comoving distance (lc) - Расстояние между объектами в пространстве, которое не расширяется, т. Е. distance in a comoving frame of reference.

Расстояние как функция красного смещения

Рассмотрим галактику, которая излучает фотон во время t1 который обнаруживается наблюдателем на t0. Мы можем записать правильное расстояние до галактики как -

$$ l_p = \ int_ {t_1} ^ {t_0} cdt $$

Пусть красное смещение галактики будет z,

$$ \ Rightarrow \ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t} = - \ frac {1} {a ^ 2} \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t} = - \ frac {\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t}} {a} \ гидроразрыв {1} {a} $$

$$ \ поэтому \ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t} = - \ frac {H (z)} {a} $$

Теперь сопутствующие расстояния галактики в любое время t будет -

$$ l_c = \ frac {l_p} {a (t)} $$

$$ l_c = \ int_ {t_1} ^ {t_0} \ frac {cdt} {a (t)} $$

По z

$$ l_c = \ int_ {t_0} ^ {t_1} \ frac {cdz} {H (z)} $$

Есть два способа найти расстояния, а именно:

Связь потока и светимости

$$ F = \ frac {L} {4 \ pi d ^ 2} $$

где d - расстояние до источника.

Расстояние углового диаметра источника

Если мы знаем размер источника, его угловая ширина укажет нам расстояние до наблюдателя.

$$ \ theta = \ frac {D} {l} $$

где l - расстояние до источника по угловому диаметру.

  • θ - угловой размер источника.

  • D размер источника.

Рассмотрим галактику размера D и углового размера. .

Мы знаем это,

$$ d \ theta = \ frac {D} {d_A} $$

$$ \ поэтому D ^ 2 = a (t) ^ 2 (r ^ 2 d \ theta ^ 2) \ quad \, поскольку dr ^ 2 = 0; \: d \ phi ^ 2 \ приблизительно 0 $$

$$ \ Rightarrow D = a (t) rd \ theta $$

Изменение r к rc, сопутствующее расстояние до галактики, мы имеем -

$$ d \ theta = \ frac {D} {r_ca (t)} $$

Здесь, если мы выберем t = t0, мы в конечном итоге измеряем текущее расстояние до галактики. НоDизмеряется в момент испускания фотона. Следовательно, используяt = t0, мы получаем большее расстояние до галактики и, следовательно, недооценку ее размера. Следовательно, мы должны использовать времяt1.

$$ \ поэтому d \ theta = \ frac {D} {r_ca (t_1)} $$

Сравнивая это с предыдущим результатом, мы получаем -

$$ d_ \ wedge = a (t_1) r_c $$

$$ r_c = l_c = \ frac {d_ \ wedge} {a (t_1)} = d_ \ wedge (1 + z_1) \ quad \, потому что 1 + z_1 = \ frac {1} {a (t_1)} $$

Следовательно,

$$ d_ \ wedge = \ frac {c} {1 + z_1} \ int_ {0} ^ {z_1} \ frac {dz} {H (z)} $$

dA - это расстояние углового диаметра для объекта.

Что следует помнить

  • Если мы знаем размер источника, его угловая ширина укажет нам расстояние до наблюдателя.

  • Правильное расстояние - это расстояние, на которое фотоны проходят от источника до нас.

  • Сопутствующее расстояние - это расстояние между объектами в пространстве, которое не расширяется.