Космология - Угловой диаметр Расстояние
В этой главе мы поймем, что такое расстояние углового диаметра и как оно помогает в космологии.
Для нынешней вселенной -
$ \ Omega_ {m, 0} \: = \: 0,3 $
$ \ Omega _ {\ wedge, 0} \: = \: 0.69 $
$ \ Omega_ {рад, 0} \: = \: 0,01 $
$ \ Omega_ {k, 0} \: = \: 0 $
До сих пор мы изучали два типа расстояний -
Proper distance (lp) - Расстояние, на которое фотоны проходят от источника до нас, т. Е. Instantaneous distance.
Comoving distance (lc) - Расстояние между объектами в пространстве, которое не расширяется, т. Е. distance in a comoving frame of reference.
Расстояние как функция красного смещения
Рассмотрим галактику, которая излучает фотон во время t1 который обнаруживается наблюдателем на t0. Мы можем записать правильное расстояние до галактики как -
$$ l_p = \ int_ {t_1} ^ {t_0} cdt $$
Пусть красное смещение галактики будет z,
$$ \ Rightarrow \ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t} = - \ frac {1} {a ^ 2} \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t} = - \ frac {\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t}} {a} \ гидроразрыв {1} {a} $$
$$ \ поэтому \ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t} = - \ frac {H (z)} {a} $$
Теперь сопутствующие расстояния галактики в любое время t будет -
$$ l_c = \ frac {l_p} {a (t)} $$
$$ l_c = \ int_ {t_1} ^ {t_0} \ frac {cdt} {a (t)} $$
По z
$$ l_c = \ int_ {t_0} ^ {t_1} \ frac {cdz} {H (z)} $$
Есть два способа найти расстояния, а именно:
Связь потока и светимости
$$ F = \ frac {L} {4 \ pi d ^ 2} $$
где d - расстояние до источника.
Расстояние углового диаметра источника
Если мы знаем размер источника, его угловая ширина укажет нам расстояние до наблюдателя.
$$ \ theta = \ frac {D} {l} $$
где l - расстояние до источника по угловому диаметру.
θ - угловой размер источника.
D размер источника.
Рассмотрим галактику размера D и углового размера. dθ.
Мы знаем это,
$$ d \ theta = \ frac {D} {d_A} $$
$$ \ поэтому D ^ 2 = a (t) ^ 2 (r ^ 2 d \ theta ^ 2) \ quad \, поскольку dr ^ 2 = 0; \: d \ phi ^ 2 \ приблизительно 0 $$
$$ \ Rightarrow D = a (t) rd \ theta $$
Изменение r к rc, сопутствующее расстояние до галактики, мы имеем -
$$ d \ theta = \ frac {D} {r_ca (t)} $$
Здесь, если мы выберем t = t0, мы в конечном итоге измеряем текущее расстояние до галактики. НоDизмеряется в момент испускания фотона. Следовательно, используяt = t0, мы получаем большее расстояние до галактики и, следовательно, недооценку ее размера. Следовательно, мы должны использовать времяt1.
$$ \ поэтому d \ theta = \ frac {D} {r_ca (t_1)} $$
Сравнивая это с предыдущим результатом, мы получаем -
$$ d_ \ wedge = a (t_1) r_c $$
$$ r_c = l_c = \ frac {d_ \ wedge} {a (t_1)} = d_ \ wedge (1 + z_1) \ quad \, потому что 1 + z_1 = \ frac {1} {a (t_1)} $$
Следовательно,
$$ d_ \ wedge = \ frac {c} {1 + z_1} \ int_ {0} ^ {z_1} \ frac {dz} {H (z)} $$
dA - это расстояние углового диаметра для объекта.
Что следует помнить
Если мы знаем размер источника, его угловая ширина укажет нам расстояние до наблюдателя.
Правильное расстояние - это расстояние, на которое фотоны проходят от источника до нас.
Сопутствующее расстояние - это расстояние между объектами в пространстве, которое не расширяется.