Космология - метрика Робертсона-Уокера

В этой главе мы подробно разберемся с метрикой Робертсона-Уокера.

Модель изменения масштабного коэффициента во времени

Предположим, фотон испускается из далекой галактики. Пространство вперед для фотона во всех направлениях. Вселенная расширяется во всех направлениях. Давайте посмотрим, как масштабный коэффициент изменяется со временем, на следующих этапах.

Step 1 - Для статической вселенной масштабный коэффициент равен 1, т.е. значение сопутствующего расстояния - это расстояние между объектами.

Step 2- Следующее изображение представляет собой график Вселенной, которая все еще расширяется, но с уменьшающейся скоростью, что означает, что график начнется в прошлом. Вt = 0 указывает, что вселенная началась с этой точки.

Step 3 - Следующее изображение представляет собой график Вселенной, которая расширяется с большей скоростью.

Step 4 - Следующее изображение представляет собой график Вселенной, которая с этого момента начинает сжиматься.

Если значение масштабного коэффициента становится равным 0 во время сжатия Вселенной это означает, что расстояние между объектами становится 0, т.е. правильное расстояние становится 0. Сопутствующее расстояние, которое представляет собой расстояние между объектами в современной вселенной, является постоянной величиной. В будущем, когда масштабный коэффициент станет0, все приблизится. Модель зависит от компонента Вселенной.

Метрика плоской (евклидовой: нет параметра для кривизны) расширяющейся Вселенной задается как -

$$ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) \ left (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ right) $$

Для пространства-времени элемент линии, который мы получили в приведенном выше уравнении, модифицируется как -

$$ ds ^ 2 = c ^ 2dt ^ 2 - \ left \ {a ^ 2 (t) \ left (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ right) \ right \} $$

Для пространства-времени время, когда фотон испускается и когда он обнаруживается, отличается. Правильное расстояние - это мгновенное расстояние до объектов, которое может меняться со временем из-за расширения Вселенной. Это расстояние, на которое фотон прошел от разных объектов, чтобы добраться до нас. Это связано с сопутствующим расстоянием как -

$$ d_p = a (t) \ times d_c $$

где $ d_p $ - собственное расстояние, а $ d_c $ - сопутствующее расстояние, которое фиксировано.

Расстояние, измеренное до объектов в нынешней Вселенной, принимается за сопутствующее расстояние, что означает, что сопутствующее расстояние фиксировано и не изменяется при расширении. Раньше масштабный коэффициент был меньше 1, что означает, что правильное расстояние было меньше.

Мы можем измерить красное смещение галактики. Следовательно, правильное расстояние $ d_p $ соответствует $ c \ times t (z) $, где $ t (z) $ - время назад в сторону красного смещения, а c - скорость света в вакууме. Время ретроспективного обзора зависит от красного смещения.(z).

Основываясь на приведенном выше представлении, давайте проанализируем, как интерпретируется космологическое красное смещение в этом сценарии $ d_p = a (t) \ times d_c $.

Предположим, что фотон (который привязан к Земле) испускается галактикой G. $ t_ {em} $ соответствует времени испускания фотона; $ a (t_ {em}) $ был масштабным коэффициентом в то время, когда был испущен фотон. К моменту обнаружения фотона вся Вселенная расширилась, то есть фотон смещен в красную сторону во время обнаружения. $ T_ {obs} $ соответствует времени, когда фотон обнаружен, и соответствующий масштабный коэффициент равен $ a (t_ {obs}) $.

Фактор, на который выросла Вселенная, определяется следующим образом:

$$ \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} $$

Коэффициент расширения длины волны -

$$ \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} $$

который равен коэффициенту роста Вселенной. Символы имеют свое обычное значение. Следовательно,

$$ \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} = \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} $$

Мы знаем это красное смещение (z) это -

$$ z = \ frac {\ lambda_ {obs} - \ lambda_ {em}} {\ lambda_ {em}} = \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} - 1 $$

$$ 1 + z = \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} $$

Текущее значение масштабного фактора равно 1, следовательно, $ a (t_ {obs}) = 1 $ и обозначает масштабный коэффициент, когда фотон был испущен в прошлом посредством $ a (t) $.

Следовательно,

$$ 1 + z = \ frac {1} {a (t)} $$

Интерпретация красного смещения в космологии

Чтобы понять это, давайте рассмотрим следующий пример: Если $ z = 2 $, то $ a (t) = 1/3 $.

Это означает, что Вселенная расширилась в три раза с тех пор, как свет покинул этот объект. Длина волны принятого излучения увеличилась в три раза, потому что пространство расширилось в такой же раз во время прохождения от излучающего объекта. Следует отметить, что при столь больших значенияхz, красное смещение - это в основном космологическое красное смещение, и оно не является достоверной мерой фактической скорости удаления объекта относительно нас.

Для космического микроволнового фона (CMB), z = 1089, что означает, что нынешняя Вселенная расширилась в раз ∼1090. Метрика плоской евклидовой расширяющейся Вселенной задается как -

$$ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2) $$

Мы хотим записать метрику любой кривизны.

Robertson and Walker доказано для вселенной любой кривизны (которая является однородной и изотропной), метрика задается как -

$$ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) \ left [\ frac {dr ^ 2} {1-kr ^ 2} + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ right] $$

Это широко известно как Robertson–Walker Metricи верно для любой топологии пространства. Обратите внимание на дополнительный множитель в $ dr ^ 2 $. Вот - постоянная кривизны.

Геометрия Вселенной

Геометрия Вселенной объясняется с помощью следующих кривых, которые включают:

  • Положительная кривизна
  • Отрицательная кривизна
  • Нулевая кривизна

Давайте разберемся с каждым из них подробно.

Положительная кривизна

Если касательная плоскость, проведенная в любой точке на поверхности кривизны, не пересекается ни в одной точке на поверхности, она называется поверхностью с положительной кривизной, то есть поверхность остается на одной стороне касательной плоскости в этой точке. Поверхность шара имеет положительную кривизну.

Отрицательная кривизна

Если касательная плоскость, проведенная в точке на поверхности кривизны, пересекается в любой точке на поверхности, она называется поверхностью с отрицательной кривизной, т.е. поверхность изгибается от касательной плоскости в двух разных направлениях. Седловидная поверхность имеет отрицательную кривизну.

Теперь рассмотрим поверхность сферы. Если треугольник построен на поверхности сферы путем соединения трех точек геодезической (дуга больших окружностей), сумма внутренних углов сферического треугольника будет больше 180 o , то есть -

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma> \ pi $$

Такие пространства называются пространствами положительной кривизны. Также кривизна однородная и изотропная. В общем, угол при вершинах сферического треугольника следует соотношению -

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi + A / R ^ 2 $$

где A это площадь треугольника и R- радиус сферы. На следующем изображении показано пространство с положительной кривизной.

Для положительной кривизны параллельные линии должны пересекаться. Рассмотрим поверхность Земли, которая представляет собой пространство с положительной кривизной. Возьмите две отправные точки на экваторе. Линии, пересекающие экватор под прямым углом, известны как линии долготы. Поскольку эти линии пересекают экватор под прямым углом, их можно назвать параллельными линиями. Начиная с экватора, они в конечном итоге пересекаются на полюсах. Этот метод использовалсяCarl Gauss и другие, чтобы понять топологию Земли.

Рассмотрим пространство с отрицательной кривизной (седло, показанное на следующем изображении), сумма внутренних углов треугольника меньше 180 o , то есть -

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma <\ pi $$

Угол при вершинах соответствует соотношению -

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi - A / R ^ 2 $$

Нулевая кривизна

Плоская поверхность имеет нулевую кривизну. Теперь для плоского пространства, если взять плоскость и построить треугольник путем соединения трех точек геодезическими (прямыми линиями), внутренняя сумма углов будет -

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi $$

Следующее изображение представляет собой плоское двухмерное пространство.

Если кто-то хочет, чтобы пространство было однородным и изотропным, остаются только три возможности: пространство может быть равномерно плоским, или иметь равномерную положительную кривизну, или однородную отрицательную кривизну.

Константа кривизны может принимать любое из следующих трех значений.

$$ k = \ begin {cases} +1, & для \: a \: positively \: curved \: space; \\\ quad 0, & для \: a \: flat \: space; \\ - 1, & for \: a \: negatively \: curved \: space; \ end {cases} $$

Глобальная топология Вселенной

Вселенная имеет определенную топологию, но локально может иметь морщины. В зависимости от того, как материя распределена в пространстве, кривизна может быть меньше. Предположим, что существует класс объектов, которые имеют одинаковый истинный размер независимо от того, где он находится во Вселенной, что означает, что они похожи на стандартные свечи. У них разная яркость, но одинаковый размер.

Если объект находится в пространстве с положительной кривизной и фотоны исходят из точки A (один конец объекта) и точки B (другой конец объекта), фотоны будут распространяться параллельно в пространстве с положительной кривизной по геодезической траектории и в конечном итоге встретятся . Наблюдателю в точке C может показаться, что он пришел из двух разных точек в разных направлениях.

Если объект находится в локальной вселенной и мы измеряем угловой размер, на него не влияет кривизна. Если объект того же класса виден с большим красным смещением, угловой размер не коррелирует с.

$$ \ theta = \ frac {d} {r} $$

куда d размер объекта и r- это расстояние до объекта, т.е. если размер больше локального размера, это означает, что кривизна положительная. Следующее изображение представляет собой изображение фотона, обнаруженного в положительно искривленном пространстве.

Следует отметить, что настоящего астрофизического объекта стандартного размера и морфологии не существует. Хотя считалось, что массивные эллиптические cD - галактики подходят для стандартных свечей, но также было обнаружено, что они со временем эволюционируют.

Определение расстояний до галактик

В этом разделе мы обсудим, как определить расстояние до галактики, принимая во внимание следующее изображение.

Рассмотрим Млечный Путь в точке (r, θ,) в космологической системе покоя. Можно взять = 0; (0, θ, ϕ), то есть центр Вселенной, исходя из предположения об однородности.

Рассмотрим галактику G в точке (r1, θ,). Расстояние (собственно) - это кратчайшее радиальное расстояние, пройденное фотоном. Из-за симметрии пространства-времени нулевая геодезическая от r = 0 до r = r1 имеет постоянное направление в пространстве. При его радиальном распространении угловые координаты не меняются. Если угловые координаты меняются, то это не кратчайший путь. Это причина, по которой член кривизны присутствует в dr 2 .

Что следует помнить

  • Вселенная расширяется во всех направлениях.

  • Вселенная может быть статичной, расширяться или сжиматься в зависимости от эволюции масштабного фактора.

  • CD-галактики эволюционируют со временем, поэтому их нельзя использовать в качестве стандартных свечей.

  • Вселенная имеет определенную топологию, но локально может иметь складки.