Космология - метод транзита

Транзитный метод (Kepler Space Telescope)используется, чтобы узнать размер. Падение яркости звезды на планете обычно мало чем отличается от двойной системы.

  • F0 поток звезды до того, как планета покрывает ее.

  • F1 - это поток после того, как вся планета окажется перед звездой.

Следующее изображение будет использоваться для всех расчетов.

$$ \ frac {F_0 - F_1} {F_0} = \ frac {\ pi r_p ^ {2}} {\ pi R ^ 2_ \ ast} $$

$$ \ frac {\ Delta F} {F} \ cong \ frac {r ^ 2_p} {R ^ 2_ \ ast} $$

$$ \ left (\ frac {\ Delta F} {F} \ right) _ {земля} \ cong 0.001 \% $$

$$ \ left (\ frac {\ Delta F} {F} \ right) _ {jupiter} \ cong 1 \% $$

Добиться этого с помощью наземного телескопа непросто. Это достигается телескопом Хаббл.

Здесь $ t_T $ - это время между позициями A и D, а $ t_F $ - это время между позициями B и C.

Геометрия транзита, связанная с наклоном iсистемы. Широта и наклон перехода взаимозаменяемы.

Из приведенных выше изображений мы можем написать -

$$ \ frac {h} {a} = cos (i) $$

$$ \ frac {h} {R_ \ ast} = sin (\ delta) $$

$$ cos (i) = \ frac {R_ \ ast sin (\ delta)} {a} $$

$$ y ^ 2 = (R_ \ ast + R_p) ^ 2 - h ^ 2 $$

$$ y = [(R_ \ ast + R_p) ^ 2 - h ^ 2] ^ {\ frac {1} {2}} $$

$$ sin (\ theta) = \ frac {y} {a} $$

$$ \ theta = sin ^ {- 1} \ left [\ frac {(R_ \ ast + R_p) ^ 2 - a ^ 2cos ^ 2 (i)} {a ^ 2} \ right] ^ {\ frac {1 } {2}} $$

$$ t_T = \ frac {P} {2 \ pi} \ times 2 \ theta $$

Здесь $ t_T $ - это часть периода времени, в течение которого происходит прохождение, а (2θ / 2π) - это часть угла, под которым происходит прохождение.

$$ sin (\ frac {t_T \ pi} {P}) = \ frac {R_ \ ast} {a} \ left [\ left (1+ \ frac {R_p} {R_ \ ast} \ right) ^ 2 - \ left (\ frac {a} {R_ \ ast} cos (i) \ right) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$

Обычно a >> R ∗ >> Rp. Итак, мы можем написать -

$$ sin (\ frac {t_T \ pi} {P}) = \ frac {R_ \ ast} {a} \ left [1- \ left (\ frac {a} {R_ \ ast} cos (i) \ right ) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$

Вот, P- продолжительность между двумя последовательными транзитами. Время прохождения намного меньше по сравнению с периодом времени на орбите. Следовательно,

$$ t_T = \ frac {P} {\ pi} \ left [\ left (\ frac {R_ \ ast} {a} \ right) ^ 2 - cos ^ 2 (i) \ right] ^ {\ frac {1 } {2}} $$

Вот, tT, P, R∗ наблюдаемые, a а также i следует выяснить.

Сейчас же,

$$ sin (\ frac {t_F \ pi} {P}) = \ frac {R_ \ ast} {a} \ left [\ left (1 - \ frac {R_p} {R_ \ ast} \ right) ^ 2 - \ left (\ frac {a} {R_ \ ast} cos \: i \ right) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$

где $ y ^ 2 = (R_ \ ast - R_p) ^ 2 - h ^ 2 $.

Позволять,

$$ \ frac {\ Delta F} {F} = D = \ left (\ frac {R_p} {R_ \ ast} \ right) ^ 2 $$

Теперь мы можем выразить:

$$ \ frac {a} {R_ \ ast} = \ frac {2P} {\ pi} D ^ {\ frac {1} {4}} (t ^ 2_T - t ^ 2_F) ^ {- \ frac {1 } {2}} $$

Для звезд главной последовательности

$$ R_ \ ast \ propto M ^ \ alpha_ \ ast $$

$$ \ frac {R_ \ ast} {R_0} \ propto \ left (\ frac {M_ \ ast} {M_0} \ right) ^ \ alpha $$

Это дает R∗.

Следовательно, мы также получаем значение «а».

Итак, получаем «R p », «ap» и даже «i».

Для всего этого

$$ h \ leq R_ \ ast + R_p $$

$$ a \: cos \: i \ leq R_ \ ast + R_p $$

Даже для ~ 89 градусов время прохождения очень мало. Планета должна быть очень близко, чтобы получить достаточно времени для прохождения. Это дает жесткое ограничение на «i». Получив «i», мы можем вывести «m p » из измерения лучевой скорости.

Это обнаружение методом транзита называется случайным обнаружением, т. Е. Вероятностью наблюдения транзита. Расчеты вероятности перехода (вероятности наблюдения) показаны ниже.

Вероятность прохождения связана с телесным углом, определяемым двумя крайними конфигурациями прохождения, а именно:

$$ Solid \: angle \: of \: planet \: = 2 \ pi \ left (\ frac {2R_ \ ast} {a} \ right) $$

А также полный телесный угол на большой полуоси a или -

$$ Твердый \: угол \: \: сферы \: = \: 4 \ pi $$

Вероятность - это соотношение этих двух областей -

$$ = \: \ frac {площадь \: из \: неба \: покрыта \: по \: благоприятной \: ориентации} {области \: из \: неба \: покрыта \: по \: всем \: возможно \: ориентация \: of \: orbit} $$

$ = \ frac {4 \ pi a_pR_ \ ast} {4 \ pi a ^ 2_p} = \ frac {R_ \ ast} {a_p} $ $ \ frac {area \: of \: hollow \: cyclinder} {area \ : of \: сфера} $

Эта вероятность не зависит от наблюдателя.

Что следует помнить

  • Для определения размера используется метод транзита (космический телескоп Кеплера).
  • Обнаружение транзитным методом - это случайное обнаружение.
  • Планета должна быть очень близко, чтобы иметь достаточно времени для прохождения.
  • Вероятность прохождения связана с телесным углом планеты.
  • Эта вероятность не зависит от системы координат наблюдателя.