Красное смещение и скорость замедления
В наблюдениях Хаббла использовался тот факт, что лучевая скорость связана со смещением Spectral Lines. Здесь мы рассмотрим четыре случая и найдем взаимосвязь между скоростью восстановления ($ v_r $) и красным смещением (z).
Случай 1: нерелятивистский случай движения источника
В этом случае v намного меньше c. Источник излучает некоторый сигнал (звук, свет и т. Д.), Который распространяется какWavefronts. Интервал времени между отправкой двух последовательных сигналов в исходном кадре составляетΔts. Интервал времени между приемом двух последовательных сигналов в кадре наблюдателя составляетΔto.
Если и наблюдатель, и источник неподвижны, то Δts = Δto, но в данном случае это не так. Вместо этого соотношение выглядит следующим образом.
$$ \ Delta t_o = \ Delta t_s + \ frac {\ Delta l} {c} $$
Теперь $ \ Delta l = v \ Delta t_s $
Кроме того, поскольку (скорость волны x время) = длина волны, мы получаем
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ frac {\ lambda_o} {\ lambda_s} $$
Из приведенных выше уравнений мы получаем следующее соотношение -
$$ \ frac {\ lambda_o} {\ lambda_s} = 1 + \ frac {v} {c} $$
где $ \ lambda _s $ - длина волны сигнала в источнике, а $ \ lambda _o $ - длина волны сигнала, интерпретируемая наблюдателем.
Здесь, поскольку источник удаляется от наблюдателя, v положительный.
Красное смещение -
$$ z = \ frac {\ lambda_o - \ lambda_s} {\ lambda_s} = \ frac {\ lambda_o} {\ lambda_s} - 1 $$
Из приведенных выше уравнений мы получаем красное смещение следующим образом.
$$ z = \ frac {v} {c} $$
Случай 2: нерелятивистский случай движения наблюдателя
В этом случае v намного меньше c. Здесь $ \ Delta l $ другое.
$$ \ Delta l = v \ Delta t_o $$
При упрощении получаем -
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ left (1 - \ frac {v} {c} \ right) ^ {- 1} $$
Мы получаем красное смещение следующим образом -
$$ z = \ frac {v / c} {1-v / c} $$
поскольку v << c, выражение красного смещения как для случая I, так и для случая II примерно одинаково.
Посмотрим, чем отличаются красные смещения, полученные в двух вышеупомянутых случаях.
$$ z_ {II} - z_I = \ frac {v} {c} \ left [\ frac {1} {1 - v / c} -1 \ right] $$
Следовательно, $ z_ {II} - z_ {I} $ - очень маленькое число из-за фактора $ (v / c) ^ 2 $.
Это означает, что если v << c, мы не можем сказать, движется ли источник или движется наблюдатель.
Давайте теперь поймем Basics of STR (Специальная теория относительности) -
Скорость света постоянна.
Когда источник (или наблюдатель) движется со скоростью, сравнимой со скоростью света, наблюдаются релятивистские эффекты.
Замедление времени: $ \ Delta t_o = \ gamma \ Delta t_s $
Уменьшение длины: $ \ Delta l_o = \ Delta t_s / \ gamma $
Здесь $ \ gamma $ - Lorrentz factor, больше 1.
$$ \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1- (v ^ 2 / c ^ 2)}} $$
Случай 3: релятивистский случай движения источника
В этом случае v сравнимо с c. Обратитесь к тому же рисунку, что и в случае I. Из-за релятивистского эффекта наблюдается замедление времени, и, следовательно, получается следующее соотношение. (Источник движется с релятивистской скоростью)
$$ \ Delta t_o = \ gamma \ Delta t_s + \ frac {\ Delta l} {c} $$
$$ \ Delta l = \ frac {v \ gamma \ Delta t_s} {c} $$
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ frac {1 + v / c} {\ sqrt {1- (v ^ 2 / c ^ 2)}} $$
При дальнейшем упрощении получаем,
$$ 1 + z = \ sqrt {\ frac {1 + v / c} {1-v / c}} $$
Вышеприведенное выражение известно как Kinematic Doppler Shift Expression.
Случай 4: релятивистский случай движения наблюдателя
См. Тот же рисунок, что и в случае II. Из-за релятивистского эффекта наблюдается сокращение времени и, следовательно, получается следующее соотношение. (Наблюдатель движется с релятивистской скоростью)
$$ \ Delta t_o = \ frac {\ Delta t_s} {\ gamma} + \ frac {\ Delta l} {c} $$
$$ \ Delta l = \ frac {v \ Delta t_o} {c} $$
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ frac {\ sqrt {1- (v ^ 2 / c ^ 2)}} {1-v / c} $$
При дальнейшем упрощении получаем -
$$ 1 + z = \ sqrt {\ frac {1+ v / c} {1- v / c}} $$
Вышеприведенное выражение совпадает с тем, что мы получили для случая III.
Что следует помнить
Скорость падения и красное смещение звезды - взаимосвязанные величины.
В нерелятивистском случае мы не можем определить, движется ли источник или неподвижен.
В релятивистском случае нет никакой разницы в соотношении красного смещения и скорости отступления для движущихся источников или наблюдателей.
Часы движутся медленнее, это прямой результат теории относительности.