Космология - параметр Хаббла и плотности

В этой главе мы обсудим параметры плотности и Хаббла.

Параметр Хаббла

Параметр Хаббла определяется следующим образом -

$$ H (t) \ Equiv \ frac {da / dt} {a} $$

который измеряет, насколько быстро изменяется масштабный коэффициент. В более общем смысле эволюция масштабного фактора определяется уравнением Фридмана.

$$ H ^ 2 (t) \ Equiv \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {\ wedge} {3} $$

где, космологическая постоянная.

Для плоской Вселенной k = 0, следовательно, уравнение Фридмана принимает следующий вид:

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {\ wedge} {3} $$

Для вселенной с преобладанием материи плотность изменяется как -

$$ \ frac {\ rho_m} {\ rho_ {m, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 3 \ Rightarrow \ rho_m = \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} $$

а для Вселенной с преобладанием излучения плотность изменяется как -

$$ \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_ {rad, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 4 \ Rightarrow \ rho_ {rad} = \ rho_ {rad, 0} a ^ {- 4} $$

В настоящее время мы живем во вселенной, где преобладает материя. Следовательно, рассматривая $ \ rho ≡ \ rho_m $, получаем -

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {\ wedge} {3} $$

Космологическая постоянная и плотность темной энергии связаны следующим образом:

$$ \ rho_ \ wedge = \ frac {\ wedge} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ wedge = 8 \ pi G \ rho_ \ wedge $$

Отсюда получаем -

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ \ wedge $$

Кроме того, критическая плотность и постоянная Хаббла связаны следующим образом:

$$ \ rho_ {c, 0} = \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ frac {8 \ pi G} {3} = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} $$

Отсюда получаем -

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ \ wedge $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 3} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0 } $$

$$ (\ dot {a}) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 1} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} \ frac {1} {a} + \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) + \ Omega _ {\ wedge, 0} \ frac {1} { (1 + z) ^ 2} $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 (1 + z) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge , 0} $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 \ frac {1} {a ^ 2} = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {\ wedge, 0} $$

$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$

Здесь $ H (z) $ - параметр Хаббла, зависящий от красного смещения. Его можно изменить, чтобы включить параметр плотности излучения $ \ Omega_ {rad} $ и параметр плотности кривизны $ \ Omega_k $. Модифицированное уравнение -

$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4+ \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$

$$ Или \: \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = E (z) $$

$$ Или \: H (z) = H_0E (z) ^ {\ frac {1} {2}} $$

где,

$$ E (z) \ Equiv \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4 + \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$

Это показывает, что параметр Хаббла меняется со временем.

Для Einstein-de Sitter Вселенная, $ \ Omega_m = 1, \ Omega_ \ wedge = 0, k = 0 $.

Подставляя эти значения, мы получаем -

$$ H (z) = H_0 (1 + z) ^ {\ frac {3} {2}} $$

который показывает временную эволюцию параметра Хаббла для Вселенной Эйнштейна-де Ситтера.

Параметр плотности

Параметр плотности $ \ Omega $ определяется как отношение фактической (или наблюдаемой) плотности ρ к критической плотности $ \ rho_c $. Для любой величины $ x $ соответствующий параметр плотности $ \ Omega_x $ может быть математически выражен как -

$$ \ Omega_x = \ frac {\ rho_x} {\ rho_c} $$

Для различных рассматриваемых величин можно определить следующие параметры плотности.

S.No. Количество Параметр плотности
1 Барионы

$ \ Omega_b = \ frac {\ rho_b} {\ rho_c} $

2 Материя (барионная + темная)

$ \ Omega_m = \ frac {\ rho_m} {\ rho_c} $

3 Темная энергия

$ \ Omega_ \ wedge = \ frac {\ rho_ \ wedge} {\ rho_c} $

4 Радиация

$ \ Omega_ {rad} = \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_c} $

Где символы имеют свое обычное значение.

Что следует помнить

  • Эволюция масштабного фактора определяется Friedmann Equation.

  • H(z) - параметр Хаббла, зависящий от красного смещения.

  • В Hubble Parameter меняется со временем.

  • В Density Parameter определяется как отношение фактической (или наблюдаемой) плотности к критической плотности.