Космология - параметр Хаббла и плотности
В этой главе мы обсудим параметры плотности и Хаббла.
Параметр Хаббла
Параметр Хаббла определяется следующим образом -
$$ H (t) \ Equiv \ frac {da / dt} {a} $$
который измеряет, насколько быстро изменяется масштабный коэффициент. В более общем смысле эволюция масштабного фактора определяется уравнением Фридмана.
$$ H ^ 2 (t) \ Equiv \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {\ wedge} {3} $$
где, ∧ космологическая постоянная.
Для плоской Вселенной k = 0, следовательно, уравнение Фридмана принимает следующий вид:
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {\ wedge} {3} $$
Для вселенной с преобладанием материи плотность изменяется как -
$$ \ frac {\ rho_m} {\ rho_ {m, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 3 \ Rightarrow \ rho_m = \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} $$
а для Вселенной с преобладанием излучения плотность изменяется как -
$$ \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_ {rad, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 4 \ Rightarrow \ rho_ {rad} = \ rho_ {rad, 0} a ^ {- 4} $$
В настоящее время мы живем во вселенной, где преобладает материя. Следовательно, рассматривая $ \ rho ≡ \ rho_m $, получаем -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {\ wedge} {3} $$
Космологическая постоянная и плотность темной энергии связаны следующим образом:
$$ \ rho_ \ wedge = \ frac {\ wedge} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ wedge = 8 \ pi G \ rho_ \ wedge $$
Отсюда получаем -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ \ wedge $$
Кроме того, критическая плотность и постоянная Хаббла связаны следующим образом:
$$ \ rho_ {c, 0} = \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ frac {8 \ pi G} {3} = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} $$
Отсюда получаем -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ \ wedge $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 3} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0 } $$
$$ (\ dot {a}) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 1} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} \ frac {1} {a} + \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) + \ Omega _ {\ wedge, 0} \ frac {1} { (1 + z) ^ 2} $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 (1 + z) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge , 0} $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 \ frac {1} {a ^ 2} = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {\ wedge, 0} $$
$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$
Здесь $ H (z) $ - параметр Хаббла, зависящий от красного смещения. Его можно изменить, чтобы включить параметр плотности излучения $ \ Omega_ {rad} $ и параметр плотности кривизны $ \ Omega_k $. Модифицированное уравнение -
$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4+ \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$
$$ Или \: \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = E (z) $$
$$ Или \: H (z) = H_0E (z) ^ {\ frac {1} {2}} $$
где,
$$ E (z) \ Equiv \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4 + \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$
Это показывает, что параметр Хаббла меняется со временем.
Для Einstein-de Sitter Вселенная, $ \ Omega_m = 1, \ Omega_ \ wedge = 0, k = 0 $.
Подставляя эти значения, мы получаем -
$$ H (z) = H_0 (1 + z) ^ {\ frac {3} {2}} $$
который показывает временную эволюцию параметра Хаббла для Вселенной Эйнштейна-де Ситтера.
Параметр плотности
Параметр плотности $ \ Omega $ определяется как отношение фактической (или наблюдаемой) плотности ρ к критической плотности $ \ rho_c $. Для любой величины $ x $ соответствующий параметр плотности $ \ Omega_x $ может быть математически выражен как -
$$ \ Omega_x = \ frac {\ rho_x} {\ rho_c} $$
Для различных рассматриваемых величин можно определить следующие параметры плотности.
| S.No. | Количество | Параметр плотности |
|---|---|---|
| 1 | Барионы | $ \ Omega_b = \ frac {\ rho_b} {\ rho_c} $ |
| 2 | Материя (барионная + темная) | $ \ Omega_m = \ frac {\ rho_m} {\ rho_c} $ |
| 3 | Темная энергия | $ \ Omega_ \ wedge = \ frac {\ rho_ \ wedge} {\ rho_c} $ |
| 4 | Радиация | $ \ Omega_ {rad} = \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_c} $ |
Где символы имеют свое обычное значение.
Что следует помнить
Эволюция масштабного фактора определяется Friedmann Equation.
H(z) - параметр Хаббла, зависящий от красного смещения.
В Hubble Parameter меняется со временем.
В Density Parameter определяется как отношение фактической (или наблюдаемой) плотности к критической плотности.