Параметр Хаббла и масштабный коэффициент
В этой главе мы обсудим параметр Хаббла, а также коэффициент масштабирования.
Prerequisite - Космологическое красное смещение, космологические принципы.
Assumption - Вселенная однородна и изотропна.
Константа Хаббла с дробной скоростью изменения масштабного коэффициента
В этом разделе мы свяжем постоянную Хаббла с дробной скоростью изменения масштабного коэффициента.
Мы можем записать скорость следующим образом и упростить.
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} $$
$$ = \ frac {d [a (t) r_c} {dt} $$
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast (ar_c) $$
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast r_p $$
Вот, v - скорость разбегания, a - коэффициент масштабирования и rp - правильное расстояние между галактиками.
Hubble’s Empirical Formula был от природы -
$$ v = H \ ast r_p $$
Таким образом, сравнивая два приведенных выше уравнения, мы получаем -
Hubble’s Parameter = Fractional rate of change of the scale factor
$$ H = da / dt \ ast 1 / a $$
Note- Это не постоянная величина, поскольку коэффициент масштабирования является функцией времени. Следовательно, он называется параметром Хаббла, а не постоянной Хаббла.
Опытным путем пишем -
$$ H = V / D $$
Таким образом, из этого уравнения мы можем вывести, что, поскольку D увеличивается и V постоянная, то H уменьшается со временем и расширением Вселенной.
Уравнение Фридмана в сочетании с моделью Робертсона-Уокера.
В этом разделе мы поймем, как уравнение Фридмана используется в сочетании с моделью Робертсона-Уокера. Чтобы понять это, давайте возьмем следующее изображение, на котором есть тестовая масса на расстоянииrp от тела массы M Например.
Принимая во внимание приведенное выше изображение, мы можем выразить силу как -
$$ F = G \ ast M \ ast \ frac {m} {r ^ 2_p} $$
Вот, G - универсальная гравитационная постоянная, а ρ - плотность вещества внутри наблюдаемой Вселенной.
Теперь, предполагая однородную плотность массы внутри сферы, мы можем написать:
$$ M = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast r_p ^ 3 \ ast \ rho $$
Используя их обратно в наше уравнение силы, мы получаем -
$$ F = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p \ ast \ rho \ ast m $$
Таким образом, мы можем записать потенциальную энергию и кинетическую энергию массы m как -
$$ V = - \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r ^ 2_p \ ast m \ ast \ rho $$
$$ KE = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ frac {\ mathrm {d} r_p ^ 2} {\ mathrm {d} t} $$
Используя Virial Theorem -
$$ U = KE + V $$
$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left (\ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} \ right) ^ 2 - \ frac {4} { 3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$
Но здесь $ r_p = ar_c $. Итак, получаем -
$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left (\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ right) ^ 2 r_c ^ 2 - \ frac { 4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$
При дальнейшем упрощении получаем уравнение Фридмана:
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi} {3} \ ast G \ ast \ rho + \ frac {2U} {m} \ ast r_c ^ 2 \ ast a ^ 2 $$
Вот Uявляется константой. Отметим также, что во Вселенной, в которой мы живем в настоящее время, преобладает материя, а плотность энергии излучения очень мала.
Что следует помнить
Параметр Хаббла уменьшается со временем и расширением Вселенной.
Во Вселенной, в которой мы живем в настоящее время, преобладает материя, а плотность энергии излучения очень мала.