Космология - уравнение жидкости
В этой главе мы обсудим уравнение жидкости и то, как оно говорит нам о плотности Вселенной, которая изменяется со временем.
Оценка ρ c и ρ в современной Вселенной
Для нынешней вселенной -
$$ \ rho_c \ simeq 10 ^ {11} M_ \ odot M_ {pc} ^ {- 3} \ simeq 10 \: водород \: атомы \: m ^ {- 3} $$
В нашем космическом пространстве существует целый диапазон критической плотности. Мол, для межгалактической среды $ \ rho_c $ - это 1 атом водорода $ m ^ {- 3} $, тогда как для молекулярных облаков это $ 10 ^ 6 $ атомов водорода $ m ^ {- 3} $.
Мы должны измерить $ \ rho_c $, учитывая правильные образцы пространства. В нашей галактике значение $ \ rho_c $ очень велико, но наша галактика не является представителем всей Вселенной. Итак, мы должны выйти в космос, где соблюдается космологический принцип, т.е. расстояния ≈ 300 Мпк. Глядя на 300 Мпк, значит смотреть на 1 миллиард лет назад, но это все еще нынешняя Вселенная.
Такие исследования, как SDSS, проводятся для определения фактической плотности вещества. Они берут объем 5 × 500 × 5 Мпк 3 , подсчитывают количество галактик и складывают весь свет, исходящий от этих галактик. При предположении, что 1 L ≡ 1 M, т.е. 1 светимость Солнца 1 масса Солнца.
Мы проводим преобразование света в массу, а затем пытаемся оценить количество барионов на основе частиц видимого вещества, присутствующих в этом объеме.
Например,
$$ 1000L_ \ odot ≡ 1000M_ \ odot / m_p $$
Где m p = масса протона.
Тогда мы получаем примерно плотность барионов $ \ Omega b ∼ = 0,025 $. Это означает, что $ \ rho b = 0,25% $ от $ \ rho_c $. Различные опросы дали несколько разную ценность. Итак, в локальной вселенной плотность видимой материи намного меньше критической плотности, что означает, что мы живем в открытой вселенной.
Масса с коэффициентом 10 не включена в эти обзоры, поскольку в этих обзорах учитывается электромагнитное излучение, но не темная материя. Раздача, $ \ Omega_m = 0,3 - 0,4 $. Тем не менее приходит к выводу, что мы живем в открытой вселенной.
Темная материя взаимодействует с гравитацией. Большое количество темной материи может остановить расширение. Мы еще не формализовали, как $ \ rho $ меняется со временем, для чего нам нужна другая система уравнений.
Термодинамика утверждает, что -
$$ dQ = dU + dW $$
Для растущей в размерах системы $ dW = P dV $. Расширение Вселенной моделируется как адиабатическое, т.е. $ dQ = 0 $. Итак, изменение объема должно происходить за счет изменения внутренней энергии dU.
Возьмем некий объем вселенной единичного сопутствующего радиуса, т.е. $ r_c = 1 $. Если $ \ rho $ - плотность материала в этом объеме пространства, то
$$ M = \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3r_c ^ 3 \ rho $$
$$ U = \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3 \ rho c ^ 2 $$
Куда, Uэто плотность энергии. Давайте выясним, как изменяется внутренняя энергия со временем по мере расширения Вселенной.
$$ \ frac {\ mathrm {d} U} {\ mathrm {d} t} = 4 \ pi a ^ 2 \ rho c ^ 2 \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} + \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3 c ^ 2 \ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t} $$
Точно так же изменение объема со временем определяется выражением
$$ \ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} t} = 4 \ pi a ^ 2 \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} $$
Подставляем $ dU = −P dV $. Мы получили,
$$ 4 \ pi a ^ 2 (c ^ 2 \ rho + P) \ dot {a} + \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3c ^ 2 \ dot {\ rho} = 0 $$
$$ \ dot {\ rho} +3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left (\ rho + \ frac {P} {c ^ 2} \ right) = 0 $$
Это называется Fluid Equation. Он говорит нам, как плотность Вселенной изменяется со временем.
Давление падает по мере расширения Вселенной. В каждый момент давление меняется, но нет разницы давлений между двумя точками в рассматриваемом объеме, поэтому градиент давления равен нулю. Только релятивистские материалы передают давление, материя не имеет давления.
Уравнение Фридмана вместе с уравнением жидкости моделирует Вселенную.
Что следует помнить
Темная материя взаимодействует с гравитацией. Большое количество темной материи может остановить расширение.
Жидкое уравнение сообщает нам, как плотность Вселенной изменяется со временем.
Уравнение Фридмана вместе с уравнением жидкости моделирует Вселенную.
Только релятивистские материалы передают давление, материя не имеет давления.