Уравнение Фридмана и модели мира
В этой главе мы поймем, что такое уравнение Фридмана, и подробно изучим модели мира для различных констант кривизны.
Уравнение Фридмана
Это уравнение говорит нам о расширении пространства в однородных и изотропных моделях Вселенной.
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {2U} {mr_c ^ 2a ^ 2} $ $
Это было изменено в контексте General Relativity (GR) и метрики Робертсона-Уокера следующим образом.
Используя уравнения ОТО -
$$ \ frac {2U} {mr_c ^ 2} = -kc ^ 2 $$
куда k- постоянная кривизны. Следовательно,
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $ $
Кроме того, $ \ rho $ заменяется плотностью энергии, которая включает материю, излучение и любую другую форму энергии. Но для репрезентативных целей он записывается как $ \ rho $.
Модели мира для различных констант кривизны
Давайте теперь посмотрим на различные возможности в зависимости от значений постоянной кривизны.
Случай 1: k = 1 или замкнутая вселенная
Для расширяющейся Вселенной $ da / dt> 0 $. По мере продолжения расширения первый член в правой части приведенного выше уравнения будет иметь вид $ a ^ {- 3} $, тогда как второй член будет иметь вид $ a ^ {- 2} $. Когда два члена становятся равными, Вселенная прекращает расширение. Тогда -
$$ \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho = \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $$
Здесь k = 1, поэтому
$$ a = \ left [\ frac {3c ^ 2} {8 \ pi G \ rho} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$
Такая вселенная конечна и имеет конечный объем. Это называется закрытой вселенной.
Случай 2: k = -1 или Открытая Вселенная
Если k < 0, расширение никогда не остановится. Спустя какое-то время первым членом на правой стороне можно пренебречь по сравнению со вторым членом.
Здесь k = -1. Следовательно, $ da / dt ∼ c $.
В этом случае Вселенная движется по инерции. Такая вселенная имеет бесконечное пространство и время. Это называется Открытой Вселенной.
Случай 3: k = 0 или Плоская Вселенная
В этом случае Вселенная расширяется с уменьшающейся скоростью. Здесь k = 0. Следовательно,
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho $$
Такая вселенная имеет бесконечное пространство и время. Это называется Плоской Вселенной.
Что следует помнить
Уравнение Фридмана говорит нам о расширении пространства в однородных и изотропных моделях Вселенной.
В зависимости от различных значений постоянной кривизны у нас может быть закрытая, открытая или плоская вселенная.