Космология - расстояние светимости
Как обсуждалось в предыдущей главе, расстояние по угловому диаметру до источника при красном смещении z дается -
$$ d_ \ wedge (z_ {gal}) = \ frac {c} {1 + z_ {gal}} \ int_ {0} ^ {z_ {gal}} \ frac {1} {H (z)} dz $ $
$$ d_ \ wedge (z_ {gal}) = \ frac {r_c} {1 + z_ {gal}} $$
где $ r_c $ - сопутствующее расстояние.
Расстояние светимости зависит от космологии и определяется как расстояние, на котором наблюдаемый поток f от объекта.
Если известна собственная светимость $ d_L $ удаленного объекта, мы можем вычислить его светимость, измерив поток $ f $, который определяется -
$$ d_L (z) = \ sqrt {\ frac {L} {4 \ pi f}} $$
Энергия фотона смещается в красную область.
$$ \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {emi}} = \ frac {a_0} {a_e} $$
где $ \ lambda_ {obs}, \ lambda_ {emi} $ - наблюдаемые и излучаемые длины волн, а $ a_0, a_e $ - соответствующие масштабные коэффициенты.
$$ \ frac {\ Delta t_ {obs}} {\ Delta t_ {emi}} = \ frac {a_0} {a_e} $$
где $ \ Delta_t {obs} $ наблюдается как временной интервал фотонов, а $ \ Delta_t {emi} $ - временной интервал, в котором они испускаются.
$$ L_ {emi} = \ frac {nhv_ {emi}} {\ Delta t_ {emi}} $$
$$ L_ {obs} = \ frac {nhv_ {obs}} {\ Delta t_ {obs}} $$
$ \ Delta t_ {obs} $ займет больше времени, чем $ \ Delta t_ {emi} $, потому что детектор должен принять все фотоны.
$$ L_ {obs} = L_ {emi} \ left (\ frac {a_0} {a_e} \ right) ^ 2 $$
$$ L_ {obs} <L_ {emi} $$
$$ f_ {obs} = \ frac {L_ {obs}} {4 \ pi d_L ^ 2} $$
Для нерасширяющейся Вселенной расстояние светимости такое же, как и сопутствующее расстояние.
$$ d_L = r_c $$
$$ \ Rightarrow f_ {obs} = \ frac {L_ {obs}} {4 \ pi r_c ^ 2} $$
$$ f_ {obs} = \ frac {L_ {emi}} {4 \ pi r_c ^ 2} \ left (\ frac {a_e} {a_0} \ right) ^ 2 $$
$$ \ Rightarrow d_L = r_c \ left (\ frac {a_0} {a_e} \ right) $$
Мы находим расстояние светимости $ d_L $ для вычисления светимости излучающего объекта $ L_ {emi} $ -
Interpretation - Если мы знаем красное смещение zлюбой галактики, мы можем найти $ d_A $ и отсюда мы можем вычислить $ r_c $. Это используется, чтобы узнать $ d_L $.
Если $ d_L! = r_c (a_0 / a_e) $, то мы не можем найти Леми из $ f_ {obs} $.
Связь между расстоянием яркости $ d_L $ и расстоянием углового диаметра $ d_A. $
Мы знаем, что -
$$ d_A (z_ {gal}) = \ frac {d_L} {1 + z_ {gal}} \ left (\ frac {a_0} {a_e} \ right) $$
$$ d_L = (1 + z_ {gal}) d_A (z_ {gal}) \ left (\ frac {a_0} {a_e} \ right) $$
Коэффициент масштабирования при испускании фотонов определяется как -
$$ a_e = \ frac {1} {(1 + z_ {gal})} $$
Масштабный коэффициент для нынешней вселенной -
$$ a_0 = 1 $$
$$ d_L = (1 + z_ {gal}) ^ 2d_ \ wedge (z_ {gal}) $$
Какой выбрать: $ d_L $ или $ d_A $?
Для галактики известного размера и красного смещения для расчета ее размера используется $ d_A $.
Если существует галактика заданной видимой величины, то, чтобы узнать, насколько она велика, используется $ d_L $.
Example - Если учесть, что две галактики с одинаковым красным смещением (z = 1) и в плоскости неба они разделены 2.3 arc sec тогда каково максимальное физическое разделение между этими двумя?
Для этого используйте $ d_A $ следующим образом -
$$ d_A (z_ {gal}) = \ frac {c} {1 + z_ {gal}} \ int_ {0} ^ {z_ {gal}} \ frac {1} {H (z)} dz $$
где z = 1 заменяет H (z) на основе космологических параметров галактик.
Что следует помнить
Расстояние яркости зависит от cosmology.
Если известна собственная светимость $ d_L $ удаленного объекта, мы можем вычислить его светимость, измерив поток f.
Для нерасширяющейся Вселенной расстояние светимости такое же, как comoving distance.
Расстояние яркости всегда больше Angular Diameter Distance.