Kozmoloji - Hubble ve Yoğunluk Parametresi
Bu bölümde, Yoğunluk ve Hubble parametreleri ile ilgili tartışacağız.
Hubble Parametresi
Hubble parametresi aşağıdaki gibi tanımlanır -
$$ H (t) \ equiv \ frac {da / dt} {a} $$
ölçek faktörünün ne kadar hızlı değiştiğini ölçer. Daha genel olarak, ölçek faktörünün gelişimi Friedmann Denklemi ile belirlenir.
$$ H ^ 2 (t) \ equiv \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {\ wedge} {3} $$
nerede, ∧ kozmolojik bir sabittir.
Düz bir evren için, k = 0, dolayısıyla Friedmann Denklemi -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {\ wedge} {3} $$
Maddenin hakim olduğu bir evren için yoğunluk şu şekilde değişir:
$$ \ frac {\ rho_m} {\ rho_ {m, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 3 \ Rightarrow \ rho_m = \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} $$
ve radyasyonun hakim olduğu bir evren için yoğunluk şu şekilde değişir:
$$ \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_ {rad, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 4 \ Rightarrow \ rho_ {rad} = \ rho_ {rad, 0} a ^ {- 4} $$
Şu anda madde ağırlıklı bir evrende yaşıyoruz. Dolayısıyla, $ \ rho ≡ \ rho_m $ göz önüne alındığında, şunu elde ederiz -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {\ wedge} {3} $$
Kozmolojik sabit ve karanlık enerji yoğunluğu aşağıdaki gibi ilişkilidir -
$$ \ rho_ \ wedge = \ frac {\ wedge} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ wedge = 8 \ pi G \ rho_ \ wedge $$
Bundan, biz -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ \ wedge $$
Ayrıca, kritik yoğunluk ve Hubble sabiti aşağıdaki gibi ilişkilidir -
$$ \ rho_ {c, 0} = \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ frac {8 \ pi G} {3} = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} $$
Bundan, biz -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ \ wedge $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 3} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0 } $$
$$ (\ nokta {a}) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 1} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} \ frac {1} {a} + \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) + \ Omega _ {\ wedge, 0} \ frac {1} { (1 + z) ^ 2} $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 (1 + z) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ kama , 0} $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 \ frac {1} {a ^ 2} = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {\ wedge, 0} $$
$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$
Burada $ H (z) $, kırmızıya kaymaya bağlı Hubble parametresidir. Bu, radyasyon yoğunluğu parametresi $ \ Omega_ {rad} $ ve eğrilik yoğunluğu parametresi $ \ Omega_k $ içerecek şekilde değiştirilebilir. Değiştirilen denklem -
$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ sağ) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4+ \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$
$$ Veya, \: \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = E (z) $$
$$ Veya, \: H (z) = H_0E (z) ^ {\ frac {1} {2}} $$
nerede,
$$ E (z) \ eşdeğeri \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4 + \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$
Bu, Hubble parametresinin zamanla değiştiğini gösterir.
İçin Einstein-de Sitter Evren, $ \ Omega_m = 1, \ Omega_ \ wedge = 0, k = 0 $.
Bu değerleri ortaya koyarsak -
$$ H (z) = H_0 (1 + z) ^ {\ frac {3} {2}} $$
Einstein-de Sitter evreni için Hubble parametresinin zaman evrimini gösterir.
Yoğunluk Parametresi
Yoğunluk parametresi $ \ Omega $, gerçek (veya gözlenen) yoğunluğun ρ kritik yoğunluğa $ \ rho_c $ oranı olarak tanımlanır. Herhangi bir miktar $ x $ için karşılık gelen yoğunluk parametresi, $ \ Omega_x $ matematiksel olarak şu şekilde ifade edilebilir:
$$ \ Omega_x = \ frac {\ rho_x} {\ rho_c} $$
İncelenen farklı miktarlar için aşağıdaki yoğunluk parametrelerini tanımlayabiliriz.
| S.No. | Miktar | Yoğunluk Parametresi |
|---|---|---|
| 1 | Baryonlar | $ \ Omega_b = \ frac {\ rho_b} {\ rho_c} $ |
| 2 | Madde (Baryonik + Karanlık) | $ \ Omega_m = \ frac {\ rho_m} {\ rho_c} $ |
| 3 | Karanlık enerji | $ \ Omega_ \ wedge = \ frac {\ rho_ \ wedge} {\ rho_c} $ |
| 4 | Radyasyon | $ \ Omega_ {rad} = \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_c} $ |
Sembollerin her zamanki anlamlarının olduğu yer.
Hatırlanacak noktalar
Ölçek faktörünün gelişimi, Friedmann Equation.
H(z) kırmızıya kaymaya bağımlı Hubble parametresidir.
Hubble Parameter zamanla değişir.
Density Parameter gerçek (veya gözlemlenen) yoğunluğun kritik yoğunluğa oranı olarak tanımlanır.