Kozmoloji - Robertson-Walker Metriği

Bu bölümde, Robertson-Walker Metriği ile ilgili ayrıntılı olarak anlayacağız.

Zamanla Değişen Ölçek Faktörü Modeli

Bir fotonun uzak bir galaksiden yayıldığını varsayalım. Uzay, her yönden foton için ileridir. Evrenin genişlemesi her yöndedir. İlerleyen adımlarda ölçek faktörünün zamanla nasıl değiştiğini görelim.

Step 1 - Statik bir evren için ölçek faktörü 1'dir, yani gelen mesafenin değeri nesneler arasındaki mesafedir.

Step 2- Aşağıdaki görüntü hala genişleyen ancak azalan bir hızla evrenin grafiğidir, bu da grafiğin geçmişte başlayacağı anlamına gelir. t = 0 evrenin o noktadan başladığını gösterir.

Step 3 - Aşağıdaki resim, daha hızlı genişleyen evrenin grafiğidir.

Step 4 - Aşağıdaki resim şu andan itibaren daralmaya başlayan evrenin grafiğidir.

Ölçek faktörünün değeri olursa 0 evrenin daralması sırasında, nesneler arasındaki mesafenin 0yani uygun mesafe 0. Mevcut bir evrendeki nesneler arasındaki mesafe olan comoving mesafesi sabit bir niceliktir. Gelecekte, ölçek faktörü olduğunda0her şey yaklaşacak. Model, evrenin bileşenine bağlıdır.

Düz (Öklid: eğrilik için parametre yoktur) genişleyen evren için Metrik şu şekilde verilir -

$$ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) \ left (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ right) $$

Uzay-zaman için, yukarıdaki denklemde elde ettiğimiz çizgi elemanı şu şekilde değiştirilir:

$$ ds ^ 2 = c ^ 2dt ^ 2 - \ left \ {a ^ 2 (t) \ left (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ sağ) \ sağ \} $$

Uzay - zaman için, fotonun yayıldığı ve algılandığı zaman farklıdır. Uygun mesafe, evrenin genişlemesi nedeniyle zamanla değişebilen nesnelere olan anlık mesafedir. Fotonun bize ulaşmak için farklı nesnelerden katettiği mesafedir. Gelen mesafe ile ilişkilidir -

$$ d_p = a (t) \ times d_c $$

burada $ d_p $ uygun mesafe ve $ d_c $, sabit olan gidiş mesafesidir.

Mevcut evrendeki nesnelere ölçülen mesafe, comoving mesafesi olarak alınır, bu da comoving mesafesinin sabit olduğu ve genişlemeyle değişmediği anlamına gelir. Geçmişte ölçek faktörü 1'den küçüktü ve bu da uygun mesafenin daha küçük olduğunu gösterir.

Kırmızıya kaymayı bir galaksiye ölçebiliriz. Dolayısıyla, uygun mesafe $ d_p $, $ c \ times t (z) $ 'a karşılık gelir; burada $ t (z) $, kırmızıya kaymaya doğru yeniden inceleme süresi ve c, boşluktaki ışığın hızıdır. Yeniden inceleme süresi, kırmızıya kaymanın bir işlevidir(z).

Yukarıdaki fikre dayanarak, bu $ d_p = a (t) \ times d_c $ senaryosunda kozmolojik kırmızı kaymanın nasıl yorumlandığını analiz edelim.

Bir fotonun (dünyaya bağlı olan) galaksi tarafından yayıldığını varsayalım, G $ t_ {em} $ fotonun yayıldığı zamana karşılık gelir; $ a (t_ {em}) $, foton yayıldığında ölçek faktörü idi. Fotonun tespit edildiği anda, tüm evren genişlemişti, yani tespit anında foton kırmızıya kaymıştır. $ T_ {obs} $, fotonun tespit edildiği zamana karşılık gelir ve buna karşılık gelen ölçek faktörü $ a (t_ {obs}) $ 'dır.

Evrenin büyüdüğü faktör şu şekilde verilir:

$$ \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} $$

Dalgaboyunun genişleme faktörü -

$$ \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} $$

bu, evrenin büyüdüğü faktöre eşittir. Sembollerin her zamanki anlamları vardır. Bu nedenle,

$$ \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} = \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} $$

Kırmızıya kaymayı biliyoruz (z) -

$$ z = \ frac {\ lambda_ {obs} - \ lambda_ {em}} {\ lambda_ {em}} = \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} - 1 $$

$$ 1 + z = \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} $$

Ölçek faktörünün bugünkü değeri 1'dir, dolayısıyla $ a (t_ {obs}) = 1 $ ve geçmişte foton $ a (t) $ tarafından yayıldığında ölçek faktörünü belirtir.

Bu nedenle,

$$ 1 + z = \ frac {1} {a (t)} $$

Kozmolojide Redshift'in Yorumlanması

Bunu anlamak için şu örneği alalım: Eğer $ z = 2 $ ise $ a (t) = 1/3 $.

Bu, ışığın nesneyi terk ettiğinden beri evrenin üç kat genişlediğini ima eder. Alan, yayıcı nesneden geçişi sırasında aynı faktörle genişlediğinden, alınan radyasyonun dalga boyu üç kat artmıştır. Bu kadar büyük değerlerde olduğu unutulmamalıdır.z, kırmızıya kayma esas olarak kozmolojik kırmızıya kaymadır ve nesnenin bize göre gerçek durgunluk hızının geçerli bir ölçüsü değildir.

Kozmik mikrodalga arka plan (CMB) için, z = 1089Bu, mevcut evrenin bir faktör kadar genişlediği anlamına gelir. ∼1090. Düz, Öklid, genişleyen evren için metrik şu şekilde verilir:

$$ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2) $$

Metriği herhangi bir eğrilikte yazmak istiyoruz.

Robertson and Walker (homojen ve izotropik olan) herhangi bir eğrilik evreni için kanıtlanmış, metrik şu şekilde verilir -

$$ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) \ left [\ frac {dr ^ 2} {1-kr ^ 2} + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ right] $$

Bu genellikle Robertson–Walker Metricve herhangi bir uzay topolojisi için geçerlidir. Lütfen $ dr ^ 2 $ cinsinden ekstra faktörü not edin. Buraya eğrilik sabiti.

Evrenin Geometrisi

Evrenin Geometrisi, aşağıdakileri içeren aşağıdaki Eğriliklerin yardımıyla açıklanmaktadır:

• Pozitif Eğrilik
• Negatif Eğrilik
• Sıfır Eğrilik

Bunların her birini ayrıntılı olarak anlayalım.

Pozitif Eğrilik

Eğriliğin yüzeyinin herhangi bir noktasında çizilen bir teğet düzlem yüzey üzerindeki herhangi bir noktada kesişmiyorsa, buna pozitif eğrili yüzey denir, yani yüzey o noktada teğet düzlemin bir tarafında kalır. Kürenin yüzeyi pozitif eğriliğe sahiptir.

Negatif Eğrilik

Eğriliğin yüzeyindeki bir noktada çizilen bir teğet düzlem, yüzey üzerinde herhangi bir noktada kesişirse, buna negatif eğrili yüzey denir, yani yüzey teğet düzlemden iki farklı yönde uzağa eğilir. Eyer şeklindeki bir yüzeyin negatif bir eğriliği vardır.

Şimdi bir kürenin yüzeyini düşünün. Bir üçgen jeodezik (büyük çember yay) ile üç nokta katılarak kürenin yüzeyi üzerine inşa ise, küresel üçgenin iç açıları toplamı 180'den daha büyük olduğu ^O , yani -

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma> \ pi $$

Bu tür boşluklara pozitif eğimli alanlar denir. Ayrıca eğrilik homojen ve izotropiktir. Genel olarak, küresel üçgenin köşelerindeki açı aşağıdaki ilişkiyi izler -

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi + A / R ^ 2 $$

nerede A üçgenin alanı ve Rkürenin yarıçapıdır. Aşağıdaki görüntü, pozitif eğimli bir alanı tasvir etmektedir.

Pozitif bir eğrilik için paralel çizgiler buluşmalıdır. Pozitif eğimli bir alan olan dünyanın yüzeyini düşünün. Ekvatorda iki başlangıç ​​noktası alın. Ekvatoru dik açılarla geçen çizgiler, boylam çizgileri olarak bilinir. Bu çizgiler ekvatoru dik açılarla geçtiği için paralel çizgiler olarak adlandırılabilir. Ekvatordan başlayarak, sonunda kutuplarda kesişirler. Bu yöntem,Carl Gauss ve diğerleri dünyanın topolojisini anlamak için.

Negatif düşünün - kavisli alanı (aşağıdaki resimde gösterilen bir eyer), iç toplamı üçgenin açıları en az 180 olan ^O , yani -

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma <\ pi $$

Köşelerdeki açı aşağıdaki ilişkiyi izler -

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi - A / R ^ 2 $$

Sıfır Eğrilik

Düz bir yüzey sıfır eğriliğe sahiptir. Şimdi düz bir uzay için, eğer bir düzlem alınırsa ve üç nokta jeodezik (düz çizgiler) ile birleştirilerek bir üçgen yapılırsa, açıların iç toplamı -

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi $$

Aşağıdaki görüntü 2 boyutlu düz bir uzaydır.

Bir uzayın homojen ve izotropik olmasını isterse, geriye yalnızca üç olasılık kalır: uzay tekdüze düz olabilir veya düzgün bir pozitif eğriliğe sahip olabilir veya düzgün bir negatif eğriliğe sahip olabilir.

Eğrilik sabiti aşağıdaki üç değerden herhangi birini alabilir.

$$ k = \ başlasın {durum} +1, & için \: a \: pozitif olarak \: eğri \: boşluk; \\\ dörtlü 0 & için \: a \: düz \: boşluk; \\ - 1, & için \: a \: negatif \: eğri \: boşluk; \ end {vakalar} $$

Evrenin Küresel Topolojisi

Evrenin belirli bir topolojisi vardır, ancak yerel olarak kırışıklıkları olabilir. Maddenin uzayda nasıl dağıldığına bağlı olarak, eğrilikte daha küçük farklılıklar vardır. Evrenin neresinde olursa olsun aynı gerçek boyuta sahip bir nesne sınıfı olduğunu varsayalım, yani standart mumlar gibidirler. Aynı parlaklığa sahip değiller ama aynı boyuta sahipler.

Nesne pozitif eğimli uzaydaysa ve fotonlar A noktasından (nesnenin bir ucu) ve B noktasından (nesnenin diğer ucu) geliyorsa, fotonlar, jeodezik yol boyunca pozitif eğimli uzayda paralel olarak yayılırlar ve sonunda buluşurlar. . C'deki bir gözlemci için, farklı yönlerde iki farklı noktadan gelmiş gibi görünecektir.

Nesne yerel evrendeyse ve açısal boyutu ölçersek, eğrilikten etkilenmez. Aynı nesne sınıfı daha büyük bir kırmızıya kaymada görülüyorsa, açısal boyut ile ilişkili değildir.

$$ \ theta = \ frac {d} {r} $$

Nerede d nesnenin boyutu ve rnesneye olan uzaklıktır, yani boyut yerel boyuttan büyükse, eğriliğin pozitif olduğu anlamına gelir. Aşağıdaki görüntü, pozitif eğimli bir alanda tespit edilen fotonun bir temsilidir.

Standart boyut ve morfolojiye sahip gerçek bir astrofiziksel nesne olmadığına dikkat edilmelidir. Büyük bir eliptik cD gökadalarının standart mumlara uyduğu düşünülüyordu, ancak zamanla evrimleştikleri de görüldü.

Galaksilere Uzaklık Bulmak

Bu bölümde, aşağıdaki görüntüyü dikkate alarak bir galaksiye olan uzaklığın nasıl bulunacağını tartışacağız.

Kozmolojik bir dinlenme çerçevesi içinde (r, θ,) konumundaki Samanyolu'nu düşünün. Biri = 0 alabilir; (0, θ, ϕ), yani homojenlik varsayımına başvurarak evrenin merkezi.

(R1, θ,) noktasındaki bir 'G' galaksisini düşünün. Mesafe (doğru) bir fotonun kat ettiği en kısa radyal mesafedir. Uzay-zaman simetrisinden, r = 0'dan r = r1'e sıfır jeodezik, uzayda sabit bir yöne sahiptir. Radyal yayılmasında açısal koordinatlar değişmez. Açısal koordinatlar değişirse, bu en kısa yol değildir. Eğrilik teriminin dr ^2'de bulunmasının nedeni budur .

Hatırlanacak noktalar

• Evrenin genişlemesi her yöndedir.

• Evren, ölçek faktörü evrimine bağlı olarak statik, genişleyen veya daralan olabilir.

• CD galaksileri zamanla gelişir ve bu nedenle standart mumlar olarak kullanılamaz.

• Evrenin belirli bir topolojisi vardır, ancak yerel olarak kırışıklıkları olabilir.