Hubble Parametresi ve Ölçek Faktörü
Bu bölümde, Hubble Parametresinin yanı sıra Ölçek Faktörü ile ilgili tartışacağız.
Prerequisite - Kozmolojik Redshift, Kozmolojik İlkeler.
Assumption - Evren homojen ve izotropiktir.
Ölçek Faktörünün Kesirli Değişim Oranı ile Hubble Sabiti
Bu bölümde, Hubble Sabitini, Ölçek Faktörünün Değişiminin kesirli oranıyla ilişkilendireceğiz.
Hızı aşağıdaki şekilde yazabilir ve sadeleştirebiliriz.
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} $$
$$ = \ frac {d [a (t) r_c} {dt} $$
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast (ar_c) $$
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast r_p $$
Buraya, v durgunluk hızı, a ölçek faktörüdür ve rp galaksiler arasındaki uygun mesafedir.
Hubble’s Empirical Formula doğadaydı -
$$ v = H \ ast r_p $$
Böylece, elde ettiğimiz yukarıdaki iki denklemi karşılaştırarak -
Hubble’s Parameter = Fractional rate of change of the scale factor
$$ H = da / dt \ ast 1 / a $$
Note- Ölçek faktörü zamanın bir fonksiyonu olduğu için bu sabit değildir. Bu nedenle, Hubble sabiti değil, Hubble parametresi olarak adlandırılır.
Ampirik olarak yazıyoruz -
$$ H = V / D $$
Böylece, bu denklemden şu sonuca varabiliriz: D artıyor ve V sabittir, o zaman H evrenin genişlemesi ve zamanı ile azalır.
Robertson-Walker Modeli ile Birlikte Friedmann Denklemi
Bu bölümde, Friedmann Denkleminin Robertson-Walker modeli ile birlikte nasıl kullanıldığını anlayacağız. Bunu anlamak için uzaktan test kütlesi olan aşağıdaki resmi alalımrp kütle gövdesinden M Örnek olarak.
Yukarıdaki resmi dikkate alarak, kuvveti şu şekilde ifade edebiliriz:
$$ F = G \ ast M \ ast \ frac {m} {r ^ 2_p} $$
Buraya, G evrensel kütleçekim sabitidir ve ρ, gözlemlenebilir evren içindeki madde yoğunluğudur.
Şimdi, küre içindeki tekdüze kütle yoğunluğunu varsayarsak, yazabiliriz -
$$ M = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast r_p ^ 3 \ ast \ rho $$
Bunları kuvvet denklemimizde geri kullanarak elde ederiz -
$$ F = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p \ ast \ rho \ ast m $$
Böylece kütlenin potansiyel enerjisini ve kinetik enerjisini yazabiliriz. m olarak -
$$ V = - \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r ^ 2_p \ ast m \ ast \ rho $$
$$ KE = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ frac {\ mathrm {d} r_p ^ 2} {\ mathrm {d} t} $$
Kullanmak Virial Theorem -
$$ U = KE + V $$
$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left (\ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} \ right) ^ 2 - \ frac {4} { 3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$
Ama burada, $ r_p = ar_c $. Yani, biz -
$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left (\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ right) ^ 2 r_c ^ 2 - \ frac { 4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$
Daha fazla basitleştirmede, Friedmann denklemini elde ederiz,
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi} {3} \ ast G \ ast \ rho + \ frac {2U} {m} \ ast r_c ^ 2 \ ast a ^ 2 $$
Buraya Usabittir. Ayrıca, şu anda yaşadığımız evrene madde hakimken, radyasyon enerjisi yoğunluğunun çok düşük olduğunu da not ediyoruz.
Hatırlanacak noktalar
Hubble parametresi zamanla ve evrenin genişlemesiyle azalır.
Şu anda yaşadığımız evrene madde hakimdir ve radyasyon enerjisi yoğunluğu çok düşüktür.