Evrişim ve Korelasyon

Evrişim

Evrişim, bir LTI sisteminin girişi ve çıkışı arasındaki ilişkiyi ifade etmek için kullanılan matematiksel bir işlemdir. Bir LTI sisteminin giriş, çıkış ve dürtü yanıtını şu şekilde ilişkilendirir:

$$ y (t) = x(t) * h(t) $$

Y (t) = LTI çıktısı

x (t) = LTI girişi

h (t) = LTI'ın dürtü yanıtı

İki tür evrişim vardır:

  • Sürekli evrişim

  • Ayrık evrişim

Sürekli Evrişim

$ y(t) \,\,= x (t) * h (t) $

$= \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h (t-\tau)d\tau$

(veya)

$= \int_{-\infty}^{\infty} x(t - \tau) h (\tau)d\tau $

Ayrık Evrişim

$y(n)\,\,= x (n) * h (n)$

$= \Sigma_{k = - \infty}^{\infty} x(k) h (n-k) $

(veya)

$= \Sigma_{k = - \infty}^{\infty} x(n-k) h (k) $

Evrişim kullanarak sistemin sıfır durum cevabını bulabiliriz.

Ters evrişim

Ters evrişim, sinyal ve görüntü işlemede yaygın olarak kullanılan evrişime ters işlemdir.

Evrişimin Özellikleri

Değişmeli Mülkiyet

$ x_1 (t) * x_2 (t) = x_2 (t) * x_1 (t) $

Dağıtıcı Mülkiyet

$ x_1 (t) * [x_2 (t) + x_3 (t) ] = [x_1 (t) * x_2 (t)] + [x_1 (t) * x_3 (t)]$

İlişkili Mülk

$x_1 (t) * [x_2 (t) * x_3 (t) ] = [x_1 (t) * x_2 (t)] * x_3 (t) $

Değişen Mülk

$ x_1 (t) * x_2 (t) = y (t) $

$ x_1 (t) * x_2 (t-t_0) = y (t-t_0) $

$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t) = y (t-t_0) $

$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t-t_1) = y (t-t_0-t_1) $

Impulse ile Evrişim

$ x_1 (t) * \delta (t) = x(t) $

$ x_1 (t) * \delta (t- t_0) = x(t-t_0) $

Birim Adımlarının Evrişimi

$ u (t) * u (t) = r(t) $

$ u (t-T_1) * u (t-T_2) = r(t-T_1-T_2) $

$ u (n) * u (n) = [n+1] u(n) $

Özelliği Ölçeklendirme

Eğer $x (t) * h (t) = y (t) $

sonra $x (a t) * h (a t) = {1 \over |a|} y (a t)$

Çıktının Farklılaşması

Eğer $y (t) = x (t) * h (t)$

sonra $ {dy (t) \over dt} = {dx(t) \over dt} * h (t) $

veya

$ {dy (t) \over dt} = x (t) * {dh(t) \over dt}$

Note:

  • İki nedensel dizinin evrişimi nedenseldir.

  • İki anti nedensel dizinin evrişimi nedensel değildir.

  • Eşit olmayan uzunluktaki iki dikdörtgenin evrişimi bir yamuk ile sonuçlanır.

  • İki eşit uzunlukta dikdörtgenin evrişimi bir üçgenle sonuçlanır.

  • Kendi kendine kıvrılmış bir fonksiyon, bu fonksiyonun entegrasyonuna eşittir.

Example: Bunu biliyorsun $u(t) * u(t) = r(t)$

Yukarıdaki nota göre, $u(t) * u(t) = \int u(t)dt = \int 1dt = t = r(t)$

Burada sonucu, sadece entegre ederek elde edersiniz $u(t)$.

Evrişimli Sinyalin Sınırları

İki sinyal kıvrılmışsa, ortaya çıkan kıvrık sinyal aşağıdaki aralığa sahiptir:

Sum of lower limits < t < sum of upper limits

Ör: aşağıda verilen sinyallerin evrişim aralığını bulun

Burada, kıvrılması gereken eşit olmayan uzunlukta iki dikdörtgene sahibiz, bu da bir yamukla sonuçlanır.

Kıvrımlı sinyalin aralığı:

Sum of lower limits < t < sum of upper limits

$-1+-2 < t < 2+2 $

$-3 < t < 4 $

Dolayısıyla sonuç periyot 7 ile yamuktur.

Katkılı Sinyal Alanı

Kıvrımlı sinyalin altındaki alan şu şekilde verilir: $A_y = A_x A_h$

Burada A x = giriş sinyali altındaki alan

A h = dürtü tepkisi altındaki alan

A y = çıkış sinyalinin altındaki alan

Proof: $y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h (t-\tau)d\tau$

Her iki tarafta entegrasyonu ele alın

$ \int y(t)dt \,\,\, =\int \int_{-\infty}^{\infty}\, x (\tau) h (t-\tau)d\tau dt $

$ =\int x (\tau) d\tau \int_{-\infty}^{\infty}\, h (t-\tau) dt $

Herhangi bir sinyalin alanının, o sinyalin kendisinin entegrasyonu olduğunu biliyoruz.

$\therefore A_y = A_x\,A_h$

DC Bileşeni

Herhangi bir sinyalin DC bileşeni tarafından verilir

$\text{DC component}={\text{area of the signal} \over \text{period of the signal}}$

Örn: Sonuçta oluşan kıvrımlı sinyalin aşağıda verilen dc bileşeni nedir?

Burada x 1 (t) = uzunluk × genişlik = 1 × 3 = 3 alanı

x 2 (t) alanı = uzunluk × genişlik = 1 × 4 = 4

kıvrık sinyal alanı = x 1 (t) alanı x x 2 (t) alanı

= 3 × 4 = 12

Kıvrımlı sinyalin süresi = alt sınırların toplamı <t <üst sınırların toplamı

= -1 + -2 <t <2 + 2

= -3 <t <4

Period=7

$\therefore$ Kıvrımlı sinyalin Dc bileşeni = $\text{area of the signal} \over \text{period of the signal}$

Dc bileşeni = ${12 \over 7}$

Ayrık Evrişim

Ayrık evrişimi nasıl hesaplayacağımızı görelim:

i. To calculate discrete linear convolution:

İki diziyi sarmalayın x [n] = {a, b, c} & h [n] = [e, f, g]

Dönüştürülmüş çıktı = [ea, eb + fa, ec + fb + ga, fc + gb, gc]

Note: herhangi iki sekansın sırasıyla m, n sayıda örneği varsa, ortaya çıkan kıvrımlı sekans [m + n-1] örneğe sahip olacaktır.

Example: İki dizi konvolute x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2}

Katlanmış çıktı y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6]

= [-1, 0, 3, 10, 6]

Burada x [n] 3 örnek içerir ve h [n] de 3 örneğe sahiptir, bu nedenle elde edilen dizi 3 + 3-1 = 5 örneğe sahiptir.

ii. To calculate periodic or circular convolution:

Periyodik evrişim, ayrık Fourier dönüşümü için geçerlidir. Periyodik evrişimi hesaplamak için tüm örnekler gerçek olmalıdır. Periyodik veya dairesel evrişime hızlı evrişim de denir.

Sırasıyla iki m, n uzunluk dizisi dairesel evrişim kullanılarak kıvrılırsa, sonuçta maksimum [m, n] numuneye sahip dizi elde edilir.

Ör: dairesel evrişim kullanarak x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2} kıvrımlı iki dizi

Normal Kıvrımlı çıktı y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6].

= [-1, 0, 3, 10, 6]

Burada x [n] 3 örnek içerir ve h [n] ayrıca 3 örneğe sahiptir. Bu nedenle, dairesel evrişim ile elde edilen sonuç dizisi maksimum [3,3] = 3 örneğe sahip olmalıdır.

Şimdi periyodik evrişim sonucu almak için, normal evrişimin 1. 3 numunesi [periyot 3 olduğu gibi] aynıdır, sonraki iki numune aşağıda gösterildiği gibi 1. numunelere eklenir:

$\therefore$ Dairesel evrişim sonucu $y[n] = [9\quad 6\quad 3 ]$

Korelasyon

Korelasyon, iki sinyal arasındaki benzerliğin bir ölçüsüdür. Korelasyon için genel formül

$$ \int_{-\infty}^{\infty} x_1 (t)x_2 (t-\tau) dt $$

İki tür korelasyon vardır:

  • Otomatik korelasyon

  • Çapraz korelasyon

Otomatik Korelasyon İşlevi

Bir sinyalin kendisiyle korelasyonu olarak tanımlanır. Otomatik korelasyon işlevi, bir sinyal ve zaman gecikmeli versiyonu arasındaki benzerliğin bir ölçüsüdür. R ($\tau$).

Bir x (t) sinyalini düşünün. X (t) 'nin zaman gecikmeli versiyonu ile otomatik korelasyon fonksiyonu şu şekilde verilir:

$$ R_{11} (\tau) = R (\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t-\tau) dt \quad \quad \text{[+ve shift]} $$

$$\quad \quad \quad \quad \quad = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau) dt \quad \quad \text{[-ve shift]} $$

Nerede $\tau$ = arama veya tarama veya gecikme parametresi.

Sinyal karmaşıksa, otomatik korelasyon işlevi şu şekilde verilir:

$$ R_{11} (\tau) = R (\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x * (t-\tau) dt \quad \quad \text{[+ve shift]} $$

$$\quad \quad \quad \quad \quad = \int_{-\infty}^{\infty} x(t + \tau)x * (t) dt \quad \quad \text{[-ve shift]} $$

Enerji Sinyalinin Oto-korelasyon Fonksiyonunun Özellikleri

  • Otomatik korelasyon, eşlenik simetri sergiler, yani R ($\tau$) = R * (-$\tau$)

  • Başlangıçtaki enerji sinyalinin otomatik korelasyon fonksiyonu, yani $\tau$= 0 şu şekilde verilen sinyalin toplam enerjisine eşittir:

    R (0) = E = $ \int_{-\infty}^{\infty}\,|\,x(t)\,|^2\,dt $

  • Otomatik korelasyon işlevi $\infty {1 \over \tau} $,

  • Otomatik korelasyon işlevi, maksimum $\tau$= 0 yani | R ($\tau$) | ≤ R (0) ∀$\tau$

  • Oto korelasyon fonksiyonu ve enerji spektral yoğunlukları Fourier dönüşüm çiftleridir. yani

    $F.T\,[ R (\tau) ] = \Psi(\omega)$

    $\Psi(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} R (\tau) e^{-j\omega \tau} d \tau$

  • $ R (\tau) = x (\tau)* x(-\tau) $

Güç Sinyallerinin Otomatik Korelasyon İşlevi

Periyodik güç sinyalinin T periyoduyla otomatik korelasyon fonksiyonu şu şekilde verilir:

$$ R (\tau) = \lim_{T \to \infty} {1\over T} \int_{{-T \over 2}}^{{T \over 2}}\, x(t) x* (t-\tau) dt $$

Özellikleri

  • Güç sinyalinin otomatik korelasyonu, eşlenik simetri sergiler. $ R (\tau) = R*(-\tau)$

  • Güç sinyalinin otomatik korelasyon işlevi $\tau = 0$(başlangıçta) bu sinyalin toplam gücüne eşittir. yani

    $R (0)= \rho $

  • Güç sinyalinin otomatik korelasyon işlevi $\infty {1 \over \tau}$,

  • Güç sinyalinin otomatik korelasyon işlevi, maksimum $\tau$ = 0 yani,

    $ | R (\tau) | \leq R (0)\, \forall \,\tau$

  • Otomatik korelasyon fonksiyonu ve güç spektral yoğunlukları Fourier dönüşüm çiftleridir. yani

    $F.T[ R (\tau) ] = s(\omega)$

    $s(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} R (\tau) e^{-j\omega \tau} d\tau$

  • $R (\tau) = x (\tau)* x(-\tau) $

Yoğunluk Spektrumu

Yoğunluk spektrumlarını görelim:

Enerji Yoğunluğu Spektrumu

Enerji yoğunluğu spektrumu aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

$$ E = \int_{-\infty}^{\infty} |\,x(f)\,|^2 df $$

Güç Yoğunluğu Spektrumu

Güç yoğunluğu spektrumu aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

$$P = \Sigma_{n = -\infty}^{\infty}\, |\,C_n |^2 $$

Çapraz Korelasyon Fonksiyonu

Çapraz korelasyon, iki farklı sinyal arasındaki benzerliğin ölçüsüdür.

İki sinyal x 1 (t) ve x 2 (t) düşünün . Bu iki sinyalin çapraz korelasyonu$R_{12}(\tau)$ tarafından verilir

$$R_{12} (\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x_1 (t)x_2 (t-\tau)\, dt \quad \quad \text{[+ve shift]} $$

$$\quad \quad = \int_{-\infty}^{\infty} x_1 (t+\tau)x_2 (t)\, dt \quad \quad \text{[-ve shift]}$$

Sinyaller karmaşıksa o zaman

$$R_{12} (\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x_1 (t)x_2^{*}(t-\tau)\, dt \quad \quad \text{[+ve shift]} $$

$$\quad \quad = \int_{-\infty}^{\infty} x_1 (t+\tau)x_2^{*} (t)\, dt \quad \quad \text{[-ve shift]}$$

$$R_{21} (\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x_2 (t)x_1^{*}(t-\tau)\, dt \quad \quad \text{[+ve shift]} $$

$$\quad \quad = \int_{-\infty}^{\infty} x_2 (t+\tau)x_1^{*} (t)\, dt \quad \quad \text{[-ve shift]}$$

Enerji ve Güç Sinyallerinin Çapraz Korelasyon Fonksiyonunun Özellikleri

  • Otomatik korelasyon, eşlenik simetri sergiler. $R_{12} (\tau) = R^*_{21} (-\tau)$.

  • Çapraz korelasyon, evrişim gibi değişmeli değildir yani

    $$ R_{12} (\tau) \neq R_{21} (-\tau) $$

  • R 12 (0) = 0 ise, eğer$ \int_{-\infty}^{\infty} x_1 (t) x_2^* (t) dt = 0$, sonra iki sinyalin dik olduğu söylenir.

    Güç sinyali için eğer $ \lim_{T \to \infty} {1\over T} \int_{{-T \over 2}}^{{T \over 2}}\, x(t) x^* (t)\,dt $ daha sonra iki sinyalin ortogonal olduğu söylenir.

  • Çapraz korelasyon fonksiyonu, bir sinyalin spektrumlarının başka bir sinyalin spektrumunun karmaşık konjugatına çarpımına karşılık gelir. yani

    $$ R_{12} (\tau) \leftarrow \rightarrow X_1(\omega) X_2^*(\omega)$$

    Bu aynı zamanda korelasyon teoremi olarak da adlandırılır.

Parseval Teoremi

Parseval'in enerji sinyalleri için teoremi, bir sinyaldeki toplam enerjinin sinyalin spektrumuyla şu şekilde elde edilebileceğini belirtir:

$ E = {1\over 2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} |X(\omega)|^2 d\omega $

Note: Bir sinyalin enerjisi E varsa, o zaman bu sinyalin x (at) zaman ölçeklendirilmiş versiyonu E / a enerjisine sahiptir.