Fourier Dönüşümleri

Fourier serisinin ana dezavantajı, yalnızca periyodik sinyaller için geçerli olmasıdır. Fourier serisini kullanarak temsil edemediğimiz periyodik olmayan veya periyodik olmayan gibi doğal olarak üretilmiş bazı sinyaller vardır. Bu eksikliğin üstesinden gelmek için Fourier, sinyalleri zaman (veya uzamsal) alanından frekans alanına ve bunun tersi arasında, 'Fourier dönüşümü' olarak adlandırılan bir matematiksel model geliştirdi.

Fourier dönüşümü, LTI sistemlerinin analizi, RADAR, astronomi, sinyal işleme vb. Gibi fizik ve mühendislikte birçok uygulamaya sahiptir.

Fourier dönüşümünün Fourier serisinden türetilmesi

T periyoduna sahip periyodik bir f (t) sinyali düşünün. F (t) 'nin karmaşık Fourier serisi gösterimi şu şekilde verilir:

$$ f (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j {2 \ pi \ over T_0} kt} ... ... (1 ) $$

$ {1 \ over T_0} = \ Delta f $ olsun, o zaman denklem 1 olur

$ f (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft} ... ... (2) $

ama bunu biliyorsun

$ a_k = {1 \ over T_0} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $

Denklem 2'deki ikame.

(2) $ \ Rightarrow f (t) = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {1 \ over T_0} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jk \ omega_0 t} dt \, e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft} $

$ T_0 = {T \ over2} $

$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {- T \ over2} ^ {T \ over2} f (t) e ^ {- j2 \ pi k \ Delta ft} dt] \ , e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft}. \ Delta f $

$ T \ ile \ infty arasındaki sınırda, \ Delta f $ diferansiyel $ df'ye yaklaşır, k \ Delta f $ sürekli değişken $ f $ olur ve toplama entegrasyon olur

$$ f (t) = lim_ {T \ ila \ infty} ⁡ \ left \ {\ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {- T \ over2} ^ {T \ over2} f (t) e ^ {- j2 \ pi k \ Delta ft} dt] \, e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft}. \ Delta f \ right \} $$

$$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, f (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt] e ^ {j2 \ pi ft} df $$

$$ f (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, F [\ omega] e ^ {j \ omega t} d \ omega $$

$ \ text {Nerede} \, F [\ omega] = [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, f (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt] $

Temel Fonksiyonların Fourier Dönüşümü

Temel fonksiyonların Fourier Dönüşümünü inceleyelim:

FT of GATE İşlevi

$$ F [\ omega] = AT Sa ({\ omega T \ over 2}) $$

FT of Impulse Fonksiyonu

$ FT [\ omega (t)] = [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t) e ^ {- j \ omega t} dt] $

$ \ quad \ quad \ quad \ quad = e ^ {- j \ omega t} \, | \, t = 0 $

$ \ quad \ quad \ quad \ quad = e ^ {0} = 1 $

$ \ quad \ dolayısıyla \ delta (\ omega) = 1 $

FT Birim Adım Fonksiyonu:

$ U (\ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + 1 / j \ omega $

Üstellerin FT'si

$ e ^ {- at} u (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} 1 / (a ​​+ jω) $

$ e ^ {- at} u (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} 1 / (a ​​+ j \ omega) $

$ e ^ {- a \, | \, t \, |} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {2a \ over {a ^ 2 + ω ^ 2}} $

$ e ^ {j \ omega_0 t} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} \ delta (\ omega - \ omega_0) $

FT of Signum Fonksiyonu

$ sgn (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {2 \ over j \ omega} $

Fourier Dönüşümünün Var Olma Koşulları

Herhangi bir f (t) işlevi, yalnızca işlev Dirichlet'in koşullarını sağladığında Fourier dönüşümü kullanılarak temsil edilebilir. yani

• F (t) fonksiyonu sınırlı sayıda maksimum ve minimuma sahiptir.

• Verilen zaman aralığında f (t) sinyalinde sonlu sayıda süreksizlik olmalıdır.

• Verilen zaman aralığında kesinlikle entegre edilebilir olmalıdır, yani

  $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, | \, f (t) | \, dt <\ infty $

Ayrık Zaman Fourier Dönüşümleri (DTFT)

Ayrık zamanlı Fourier dönüşümü (DTFT) veya bir ayrık zamanlı sekansın (x [n]) Fourier dönüşümü, dizinin karmaşık üstel dizi $ e ^ {j \ omega n} $ cinsinden bir temsilidir.

DTFT dizisi x [n] şu şekilde verilir:

$$ X (\ omega) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) e ^ {- j \ omega n} \, \, ... \, ... (1) $$

Burada, X (ω), gerçek frekans değişkeni ω'nin karmaşık bir fonksiyonudur ve şu şekilde yazılabilir:

$$ X (\ omega) = X_ {re} (\ omega) + jX_ {img} (\ omega) $$

Burada X _re (ω), X _img (ω) sırasıyla X (ω) 'nin gerçek ve sanal parçalarıdır.

$$ X_ {re} (\ omega) = | \, X (\ omega) | \ cos \ theta (\ omega) $$

$$ X_ {img} (\ omega) = | \, X (\ omega) | \ sin \ theta (\ omega) $$

$$ | X (\ omega) | ^ 2 = | \, X_ {re} (\ omega) | ^ 2 + | \, X_ {im} (\ omega) | ^ 2 $$

Ve X (ω) aynı zamanda $ X (\ omega) = | \, X (\ omega) | olarak da temsil edilebilir. e ^ {j \ theta (ω)} $

$ \ Theta (\ omega) = arg {X (\ omega)} $

$ | \, X (\ omega) |, \ theta (\ omega) $, X (ω) 'nin büyüklük ve faz spektrumları olarak adlandırılır.

Ters Ayrık Zamanlı Fourier Dönüşümü

$$ x (n) = {1 \ 2'den fazla \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} X (\ omega) e ^ {j \ omega n} d \ omega \, \, ... \, ... (2) $$

Yakınsama Durumu:

Denklem 1'deki sonsuz seri yakınsak olabilir veya olmayabilir. x (n) kesinlikle toplanabilir.

$$ \ text {ne zaman} \, \, \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | \, x (n) | \, <\ infty $$

Mutlak olarak toplanabilen bir dizi her zaman sonlu bir enerjiye sahiptir, ancak sonlu bir enerji dizisinin mutlak olarak toplanabilir olması gerekmez.