Fourier Serisi Tipleri
Trigonometrik Fourier Serisi (TFS)
$ \ sin n \ omega_0 t $ ve $ \ sin m \ omega_0 t $, $ (t_0, t_0 + {2 \ pi \ over \ omega_0}) $ aralığında ortogonaldir. Böylece $ \ sin \ omega_0 t, \, \ sin 2 \ omega_0 t $ bir ortogonal küme oluşturur. Bu küme {$ \ cos n \ omega_0 t $} olmadan tamamlanmaz çünkü bu kosinüs kümesi aynı zamanda sinüs kümesine ortogonaldir. Yani bu seti tamamlamak için hem kosinüs hem de sinüs terimlerini eklemeliyiz. Şimdi tam ortogonal küme tüm kosinüs ve sinüs terimlerini içerir, yani {$ \ sin n \ omega_0 t, \, \ cos n \ omega_0 t $} burada n = 0, 1, 2 ...
$ \ dolayısıyla $ $ (t_0, t_0 + {2 \ pi \ over \ omega_0}) $ aralığındaki herhangi bir x (t) işlevi şu şekilde temsil edilebilir:
$$ x (t) = a_0 \ cos0 \ omega_0 t + a_1 \ cos 1 \ omega_0 t + a_2 \ cos2 \ omega_0 t + ... + a_n \ cos n \ omega_0 t + ... $$
$$ + b_0 \ sin 0 \ omega_0 t + b_1 \ sin 1 \ omega_0 t + ... + b_n \ sin n \ omega_0 t + ... $$
$$ = a_0 + a_1 \ cos 1 \ omega_0 t + a_2 \ cos 2 \ omega_0 t + ... + a_n \ cos n \ omega_0 t + ... $$
$$ + b_1 \ sin 1 \ omega_0 t + ... + b_n \ sin n \ omega_0 t + ... $$
$$ \ bu nedenle x (t) = a_0 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (a_n \ cos n \ omega_0 t + b_n \ sin n \ omega_0 t) \ quad (t_0 <t <t_0 + T) $$
Yukarıdaki denklem, x (t) 'nin trigonometrik Fourier serisi temsilini temsil eder.
$$ \ text {Where} \, a_0 = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) · 1 dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} 1 ^ 2 dt} = { 1 \ over T} · \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) dt $$
$$ a_n = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) · \ cos n \ omega_0 t \, dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ cos ^ 2 n \ omega_0 t \, dt} $$
$$ b_n = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) · \ sin n \ omega_0 t \, dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ sin ^ 2 n \ omega_0 t \, dt} $$
$$ \ text {Burada} \, \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ cos ^ 2 n \ omega_0 t \, dt = \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ sin ^ 2 n \ omega_0 t \, dt = {T \ 2} $$
$$ \ bu nedenle a_n = {2 \ over T} · \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) · \ cos n \ omega_0 t \, dt $$
$$ b_n = {2 \ over T} · \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) · \ sin n \ omega_0 t \, dt $$
Üstel Fourier Serileri (EFS)
$ (T_0, t_0 aralığında ortogonal olan bir dizi karmaşık üstel fonksiyon $ \ left \ {e ^ {jn \ omega_0 t} \ right \} (n = 0, \ pm1, \ pm2 ...) $ düşünün + T) $. $ T = {2 \ pi \ over \ omega_0} $ nerede. Bu tam bir settir, dolayısıyla herhangi bir f (t) fonksiyonunu aşağıda gösterildiği gibi temsil etmek mümkündür.
$ f (t) = F_0 + F_1e ^ {j \ omega_0 t} + F_2e ^ {j 2 \ omega_0 t} + ... + F_n e ^ {jn \ omega_0 t} + ... $
$ \ quad \ quad \, \, F _ {- 1} e ^ {- j \ omega_0 t} + F _ {- 2} e ^ {- j 2 \ omega_0 t} + ... + F _ {- n} e ^ {- jn \ omega_0 t} + ... $
$$ \ bu nedenle f (t) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} F_n e ^ {jn \ omega_0 t} \ quad \ quad (t_0 <t <t_0 + T) ..... .. (1) $$
Denklem 1, bir sinyal f (t) 'nin (t 0 , t 0 + T) aralığı boyunca üslü Fourier serisi temsilini temsil eder . Fourier katsayısı şu şekilde verilir:
$$ F_n = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) (e ^ {jn \ omega_0 t}) ^ * dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} e ^ {jn \ omega_0 t} (e ^ {jn \ omega_0 t}) ^ * dt} $$
$$ \ quad = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} e ^ {- jn \ omega_0 t} e ^ {jn \ omega_0 t} dt} $$
$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \, \, = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} 1 \, dt} = {1 \ over T} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$
$$ \ bu nedenle F_n = {1 \ over T} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$
Trigonometrik ve Üstel Fourier Serileri Arasındaki İlişki
Periyodik bir sinyal x (t) düşünün, TFS ve EFS gösterimleri sırasıyla aşağıda verilmiştir.
$ x (t) = a_0 + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} (a_n \ cos n \ omega_0 t + b_n \ sin n \ omega_0 t) ... ... (1) $
$ x (t) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} F_n e ^ {jn \ omega_0 t} $
$ \ quad \, \, \, = F_0 + F_1e ^ {j \ omega_0 t} + F_2e ^ {j 2 \ omega_0 t} + ... + F_n e ^ {jn \ omega_0 t} + ... $
$ \ quad \ quad \ quad \ quad F _ {- 1} e ^ {- j \ omega_0 t} + F _ {- 2} e ^ {- j 2 \ omega_0 t} + ... + F _ {- n} e ^ {- jn \ omega_0 t} + ... $
$ = F_0 + F_1 (\ cos \ omega_0 t + j \ sin \ omega_0 t) + F_2 (cos 2 \ omega_0 t + j \ sin 2 \ omega_0 t) + ... + F_n (\ cos n \ omega_0 t + j \ sin n \ omega_0 t) + ... + F _ {- 1} (\ cos \ omega_0 tj \ sin \ omega_0 t) + F _ {- 2} (\ cos 2 \ omega_0 tj \ sin 2 \ omega_0 t) + ... + F _ {- n} (\ cos n \ omega_0 tj \ sin n \ omega_0 t) + ... $
$ = F_0 + (F_1 + F _ {- 1}) \ cos \ omega_0 t + (F_2 + F _ {- 2}) \ cos2 \ omega_0 t + ... + j (F_1 - F _ {- 1}) \ sin \ omega_0 t + j (F_2 - F _ {- 2}) \ sin2 \ omega_0 t + ... $
$ \ dolayısıyla x (t) = F_0 + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} ((F_n + F _ {- n}) \ cos n \ omega_0 t + j (F_n-F _ {- n}) \ günah n \ omega_0 t) ... ... (2) $
Denklem 1 ve 2'yi karşılaştırın.
$ a_0 = F_0 $
$ a_n = F_n + F _ {- n} $
$ b_n = j (F_n-F _ {- n}) $
Benzer şekilde,
$ F_n = \ frac12 (a_n - jb_n) $
$ F _ {- n} = \ frac12 (a_n + jb_n) $