Sinyaller Örnekleme Teoremi
Statement:Sürekli bir zaman sinyali, örneklerde temsil edilebilir ve f frekans numune alırken geri kazanılabilir s den büyük veya bildirim sinyalinin iki en yüksek frekans bileşenine eşit. yani
$$ f_s \ geq 2 f_m. $$
Proof:Sürekli bir zaman sinyali x (t) düşünün. X (t) spektrumu f m Hz ile sınırlı bir banttır, yani | ω |> ω m için x (t) spektrumu sıfırdır .
X (t) giriş sinyalinin örneklenmesi, x (t) 'yi T s periyodunun bir impuls katarı δ (t) ile çarparak elde edilebilir . Çarpanın çıktısı, aşağıdaki diyagramlarda y (t) ile temsil edilen, örneklenmiş sinyal adı verilen ayrı bir sinyaldir:
Burada, örneklenen sinyalin impuls periyodunu aldığını gözlemleyebilirsiniz. Örnekleme süreci aşağıdaki matematiksel ifade ile açıklanabilir:
$ \ text {Örneklenmiş sinyal} \, y (t) = x (t). \ delta (t) \, \, ... \, ... (1) $
$ \ Delta $ (t) 'nin trigonometrik Fourier serisi temsili şu şekilde verilir:
$ \ delta (t) = a_0 + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} (a_n \ cos n \ omega_s t + b_n \ sin n \ omega_s t) \, \, ... \ ,. .. (2) $
$ A_0 = {1 \ over T_s} \ int _ {- T \ over 2} ^ {T \ over 2} \ delta (t) dt = {1 \ over T_s} \ delta (0) = {1 \ over T_s } $
$ a_n = {2 \ over T_s} \ int _ {- T \ over 2} ^ {T \ over 2} \ delta (t) \ cos n \ omega_s \, dt = {2 \ over T_2} \ delta (0) \ cos n \ omega_s 0 = {2 \ T} $ üzerinden
$ b_n = {2 \ over T_s} \ int _ {- T \ over 2} ^ {T \ over 2} \ delta (t) \ sin n \ omega_s t \, dt = {2 \ over T_s} \ delta ( 0) \ sin n \ omega_s 0 = 0 $
Denklem 2'deki yukarıdaki değerleri değiştirin.
$ \ dolayısıyla \, \ delta (t) = {1 \ over T_s} + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} ({2 \ over T_s} \ cos n \ omega_s t + 0) $
Denklem 1'deki δ (t) 'yi değiştirin.
$ \ - y (t) = x (t). \ delta (t) $
$ = x (t) [{1 \ over T_s} + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} ({2 \ over T_s} \ cos n \ omega_s t)] $
$ = {1 \ T_s üzerinden} [x (t) + 2 \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} (\ cos n \ omega_s t) x (t)] $
$ y (t) = {1 \ over T_s} [x (t) + 2 \ cos \ omega_s tx (t) + 2 \ cos 2 \ omega_st.x (t) + 2 \ cos 3 \ omega_s tx (t) \, ... \, ... \,] $
Her iki tarafta da Fourier dönüşümünü ele alalım.
$ Y (\ omega) = {1 \ T_s üzerinden} [X (\ omega) + X (\ omega- \ omega_s) + X (\ omega + \ omega_s) + X (\ omega-2 \ omega_s) + X (\ omega + 2 \ omega_s) + \, ...] $
$ \ bu nedenle \, \, Y (\ omega) = {1 \ over T_s} \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} X (\ omega - n \ omega_s) \ quad \ quad burada \, \ , n = 0, \ pm1, \ pm2, ... $
X (t) 'yi yeniden oluşturmak için, Y (ω) döngüleri arasında örtüşme olmadığında mümkün olan, örneklenmiş sinyal spektrumundan (Y) (ω) giriş sinyali spektrumunu X (ω) kurtarmanız gerekir.
Farklı koşullara sahip örneklenmiş frekans spektrumunun olasılığı aşağıdaki diyagramlarda verilmiştir:
Aliasing Etkisi
Yetersiz örnekleme durumunda örtüşen bölge, örtüşme efektini temsil eder ve bu, şu şekilde kaldırılabilir:
f s > 2f m düşünüldüğünde
Kenar yumuşatma filtreleri kullanarak.