Sinyal Analizi
Vektörler ve Sinyaller Arasındaki Analoji
Vektörler ve sinyaller arasında mükemmel bir analoji vardır.
Vektör
Bir vektör, büyüklük ve yön içerir. Vektörün adı kalın yüz tipi ile belirtilir ve büyüklükleri açık renkli yüz tipi ile gösterilir.
Example:V, V büyüklüğünde bir vektördür . Aşağıdaki diyagramda gösterildiği gibi iki V 1 ve V 2 vektörünü düşünün . V bileşeni olsun 1 V ile birlikte 2 ° ile verilmektedir 12 V 2 . V 1 vektörünün bileşeni, V 2 vektörü ile birlikte, diyagramda gösterildiği gibi V 1'in ucundan V 2 vektörüne bir dik alarak elde edilebilir :
Vektör V 1 , vektör V 2 cinsinden ifade edilebilir
V 1 = C 12 V 2 + V e
Ve hata vektörüdür.
Ancak bu vektör V ifade tek yol değildir 1 V açısından 2 . Alternatif olasılıklar şunlardır:
V 1 = C 1 V 2 + V e1
V 2 = C 2 V 2 + V e2
Hata sinyali, büyük bileşen değeri için minimumdur. C 12 = 0 ise, iki sinyalin ortogonal olduğu söylenir.
İki Vektörün Nokta Çarpımı
V 1 . V 2 = V 1 .V 2 cosθ
θ = V1 ve V2 arasındaki açı
V 1 . V 2 = V 2 .V 1
V bileşenleri 1 alog N V 2 , = V 1 Cos θ =$V1.V2 \over V2$
Diyagramdan, bileşenleri V 1 alog n V 2 = C 12 V 2
$$V_1.V_2 \over V_2 = C_12\,V_2$$
$$ \Rightarrow C_{12} = {V_1.V_2 \over V_2}$$
Sinyal
Diklik kavramı sinyallere uygulanabilir. F 1 (t) ve f 2 (t) olmak üzere iki sinyali ele alalım . Vektörlere benzer şekilde, f 1 (t) 'yi f 2 (t) cinsinden yaklaşık olarak
f 1 (t) = C 12 f 2 (t) + f e (t) için (t 1 <t <t 2 )
$ \Rightarrow $f e (t) = f 1 (t) - C 12 f 2 (t)
Hatayı en aza indirmenin olası bir yolu t 1 ila t 2 aralığında integral almaktır .
$${1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t)] dt$$
$${1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [f_1(t) - C_{12}f_2(t)]dt $$
Bununla birlikte, bu adım aynı zamanda hatayı kayda değer ölçüde azaltmaz. Bu, hata karesi fonksiyonu alınarak düzeltilebilir.
$\varepsilon = {1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t)]^2 dt$
$\Rightarrow {1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t) - C_{12}f_2]^2 dt $
Burada error, hata sinyalinin ortalama kare değeridir. Hatayı en aza indiren C 12'nin değerini hesaplamanız gerekir${d\varepsilon \over dC_{12} } = 0 $
$\Rightarrow {d \over dC_{12} } [ {1 \over t_2 - t_1 } \int_{t_1}^{t_2} [f_1 (t) - C_{12} f_2 (t)]^2 dt]= 0 $
$\Rightarrow {1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [ {d \over dC_{12} } f_{1}^2(t) - {d \over dC_{12} } 2f_1(t)C_{12}f_2(t)+ {d \over dC_{12} } f_{2}^{2} (t) C_{12}^2 ] dt =0 $
C12 terimi olmayan terimlerin türevi sıfırdır.
$\Rightarrow \int_{t_1}^{t_2} - 2f_1(t) f_2(t) dt + 2C_{12}\int_{t_1}^{t_2}[f_{2}^{2} (t)]dt = 0 $
Eğer $C_{12} = {{\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt } \over {\int_{t_1}^{t_2} f_{2}^{2} (t)dt }} $ bileşen sıfırsa, iki sinyalin ortogonal olduğu söylenir.
Diklik koşulunu elde etmek için C 12 = 0 koyun .
0 = $ {{\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt } \over {\int_{t_1}^{t_2} f_{2}^{2} (t)dt }} $
$$ \int_{t_1}^{t_2} f_1 (t)f_2(t) dt = 0 $$
Ortogonal Vektör Uzayı
Tam bir ortogonal vektör kümesi, ortogonal vektör uzayı olarak adlandırılır. Aşağıda gösterildiği gibi üç boyutlu bir vektör uzayı düşünün:
Bir noktada (X 1 , Y 1 , Z 1 ) bir A vektörünü düşünün . Sırasıyla X, Y, Z ekseni yönünde üç birim vektörü (V X , V Y , V Z ) düşünün . Bu birim vektörler karşılıklı olarak ortogonal olduklarından, şunu sağlar:
$$V_X. V_X= V_Y. V_Y= V_Z. V_Z = 1 $$
$$V_X. V_Y= V_Y. V_Z= V_Z. V_X = 0 $$
Yukarıdaki koşulları şu şekilde yazabilirsiniz:
$$V_a . V_b = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & \quad a = b \\ 0 & \quad a \neq b \end{array} \right. $$
A vektörü, bileşenleri ve birim vektörleri açısından şu şekilde gösterilebilir:
$A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z................(1) $
Bu üç boyutlu uzaydaki herhangi bir vektör, yalnızca bu üç birim vektör cinsinden temsil edilebilir.
N boyutlu uzayı düşünürseniz, bu uzaydaki herhangi bir A vektörü şu şekilde temsil edilebilir:
$ A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z+...+ N_1V_N.....(2) $
Birim vektörlerin büyüklüğü herhangi bir A vektörü için birlik olduğundan
A'nın x ekseni boyunca bileşeni = AV X
A'nın Y ekseni boyunca bileşeni = AV Y
A'nın Z ekseni boyunca bileşeni = AV Z
Benzer şekilde, n boyutlu uzay için, bazı G ekseni boyunca A'nın bileşeni
$= A.VG...............(3)$
Denklem 3'teki ikame denklem 2.
$\Rightarrow CG= (X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z +...+G_1 V_G...+ N_1V_N)V_G$
$= X_1 V_X V_G + Y_1 V_Y V_G + Z_1 V_Z V_G +...+ G_1V_G V_G...+ N_1V_N V_G$
$= G_1 \,\,\,\,\, \text{since } V_G V_G=1$
$If V_G V_G \neq 1 \,\,\text{i.e.} V_G V_G= k$
$AV_G = G_1V_G V_G= G_1K$
$G_1 = {(AV_G) \over K}$
Ortogonal Sinyal Uzayı
T 1 ila t 2 aralığında bir dizi n karşılıklı ortogonal fonksiyon x 1 (t), x 2 (t) ... x n (t) düşünelim . Bu işlevler birbirine dik olduğundan, herhangi iki sinyal x j (t), x k (t) diklik koşulunu sağlamalıdır. yani
$$\int_{t_1}^{t_2} x_j(t)x_k(t)dt = 0 \,\,\, \text{where}\, j \neq k$$
$$\text{Let} \int_{t_1}^{t_2}x_{k}^{2}(t)dt = k_k $$
Bir f (t) fonksiyonu olsun, bu ortogonal sinyal uzayıyla, bileşenleri karşılıklı olarak ortogonal sinyaller boyunca ekleyerek yaklaştırılabilir, yani
$\,\,\,f(t) = C_1x_1(t) + C_2x_2(t) + ... + C_nx_n(t) + f_e(t) $
$\quad\quad=\Sigma_{r=1}^{n} C_rx_r (t) $
$\,\,\,f(t) = f(t) - \Sigma_{r=1}^n C_rx_r (t) $
Ortalama kare hatası $ \varepsilon = {1 \over t_2 - t_2 } \int_{t_1}^{t_2} [ f_e(t)]^2 dt$
$$ = {1 \over t_2 - t_2 } \int_{t_1}^{t_2} [ f[t] - \sum_{r=1}^{n} C_rx_r(t) ]^2 dt $$
Ortalama kare hatasını en aza indiren bileşen şu şekilde bulunabilir:
$$ {d\varepsilon \over dC_1} = {d\varepsilon \over dC_2} = ... = {d\varepsilon \over dC_k} = 0 $$
Düşünelim ${d\varepsilon \over dC_k} = 0 $
$${d \over dC_k}[ {1 \over t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2} [ f(t) - \Sigma_{r=1}^n C_rx_r(t)]^2 dt] = 0 $$
C k içermeyen tüm terimler sıfırdır. yani özet olarak, r = k terimi kalır ve diğer tüm terimler sıfırdır.
$$\int_{t_1}^{t_2} - 2 f(t)x_k(t)dt + 2C_k \int_{t_1}^{t_2} [x_k^2 (t)] dt=0 $$
$$\Rightarrow C_k = {{\int_{t_1}^{t_2}f(t)x_k(t)dt} \over {int_{t_1}^{t_2} x_k^2 (t)dt}} $$
$$\Rightarrow \int_{t_1}^{t_2} f(t)x_k(t)dt = C_kK_k $$
Ortalama Kare Hatası
F e (t) hata fonksiyonunun karesinin ortalaması, ortalama kare hatası olarak adlandırılır. Ε (epsilon) ile gösterilir.
.$\varepsilon = {1 \over t_2 - t_1 } \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t)]^2dt$
$\,\,\,\,= {1 \over t_2 - t_1 } \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t) - \Sigma_{r=1}^n C_rx_r(t)]^2 dt $
$\,\,\,\,= {1 \over t_2 - t_1 } [ \int_{t_1}^{t_2} [f_e^2 (t) ]dt + \Sigma_{r=1}^{n} C_r^2 \int_{t_1}^{t_2} x_r^2 (t) dt - 2 \Sigma_{r=1}^{n} C_r \int_{t_1}^{t_2} x_r (t)f(t)dt$
Bunu biliyorsun $C_{r}^{2} \int_{t_1}^{t_2} x_r^2 (t)dt = C_r \int_{t_1}^{t_2} x_r (t)f(d)dt = C_r^2 K_r $
$\varepsilon = {1 \over t_2 - t_1 } [ \int_{t_1}^{t_2} [f^2 (t)] dt + \Sigma_{r=1}^{n} C_r^2 K_r - 2 \Sigma_{r=1}^{n} C_r^2 K_r] $
$\,\,\,\,= {1 \over t_2 - t_1 } [\int_{t_1}^{t_2} [f^2 (t)] dt - \Sigma_{r=1}^{n} C_r^2 K_r ] $
$\, \therefore \varepsilon = {1 \over t_2 - t_1 } [\int_{t_1}^{t_2} [f^2 (t)] dt + (C_1^2 K_1 + C_2^2 K_2 + ... + C_n^2 K_n)] $
Yukarıdaki denklem, ortalama kare hatasını değerlendirmek için kullanılır.
Kapalı ve Tam Ortogonal Fonksiyonlar Seti
T 1 ila t 2 aralığında bir dizi n karşılıklı ortogonal fonksiyon x 1 (t), x 2 (t) ... x n (t) düşünelim . Koşulu sağlayan f (t) işlevi olmadığında buna kapalı ve tam küme denir.$\int_{t_1}^{t_2} f(t)x_k(t)dt = 0 $
Bu fonksiyon denklemi tatmin ediyorsa $\int_{t_1}^{t_2} f(t)x_k(t)dt=0 \,\, \text{for}\, k = 1,2,..$o zaman f (t) 'nin, ortogonal kümenin her bir fonksiyonuna ortogonal olduğu söylenir. Bu küme f (t) olmadan eksiktir. F (t) dahil edildiğinde kapanır ve tam set olur.
f (t) bu ortogonal küme ile, bileşenleri karşılıklı olarak ortogonal sinyaller boyunca ekleyerek yaklaştırılabilir, yani
$$f(t) = C_1 x_1(t) + C_2 x_2(t) + ... + C_n x_n(t) + f_e(t) $$
Sonsuz seri $C_1 x_1(t) + C_2 x_2(t) + ... + C_n x_n(t)$ f (t) 'ye yakınsarsa, kare hatası sıfırdır.
Karmaşık Fonksiyonlarda Ortogonalite
F 1 (t) ve f 2 (t) iki karmaşık fonksiyonsa, f 1 (t) f 2 (t) cinsinden ifade edilebilir.
$f_1(t) = C_{12}f_2(t) \,\,\,\,\,\,\,\,$ .. ihmal edilebilir bir hata ile
Nerede $C_{12} = {{\int_{t_1}^{t_2} f_1(t)f_2^*(t)dt} \over { \int_{t_1}^{t_2} |f_2(t)|^2 dt}} $
Nerede $f_2^* (t)$= f 2 (t) 'nin karmaşık eşleniği .
F 1 (t) ve f 2 (t) ortogonal ise C 12 = 0
$$ {\int_{t_1}^{t_2} f_1 (t) f_2^*(t) dt \over \int_{t_1}^{t_2} |f_2 (t) |^2 dt} = 0 $$
$$\Rightarrow \int_{t_1}^{t_2} f_1 (t) f_2^* (dt) = 0$$
Yukarıdaki denklem, karmaşık fonksiyonlarda diklik koşulunu temsil eder.