Z-Dönüşümleri (ZT)

Sürekli zamanlı LTI sistemlerinin analizi z-dönüşümleri kullanılarak yapılabilir. Diferansiyel denklemleri cebirsel denklemlere dönüştürmek için güçlü bir matematiksel araçtır.

Ayrık bir zaman sinyali x (n) 'nin iki taraflı (iki taraflı) z-dönüşümü şu şekilde verilir:

$ ZT [x (n)] = X (Z) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} $

Ayrık bir zaman sinyali x (n) 'nin tek taraflı (tek taraflı) z-dönüşümü şu şekilde verilir:

$ ZT [x (n)] = X (Z) = \ Sigma_ {n = 0} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} $

Ayrık Zaman Fourier Dönüşümü (DTFT) bulunmayan bazı sinyaller için Z-dönüşümü mevcut olabilir.

Z-Dönüşümü ve Ters Z-Dönüşümü Kavramı

Ayrık bir zaman sinyalinin x (n) Z-dönüşümü X (Z) ile temsil edilebilir ve şu şekilde tanımlanır:

$ X (Z) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} \, ... \, ... \, (1) $

$ Z = re ^ {j \ omega} $ ise denklem 1 olur

$ X (re ^ {j \ omega}) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) [re ^ {j \ omega}] ^ {- n} $

$ = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) [r ^ {- n}] e ^ {- j \ omega n} $

$ X (re ^ {j \ omega}) = X (Z) = FT [x (n) r ^ {- n}] \, ... \, ... \, (2) $

Yukarıdaki denklem, Fourier dönüşümü ile Z dönüşümü arasındaki ilişkiyi temsil eder.

$ X (Z) | _ {z = e ^ {j \ omega}} = FT [x (n)]. $

Ters Z-dönüşümü

$ X (re ^ {j \ omega}) = FT [x (n) r ^ {- n}] $

$ x (n) r ^ {- n} = FT ^ {- 1} [X (re ^ {j \ omega}] $

$ x (n) = r ^ n \, FT ^ {- 1} [X (re ^ {j \ omega})] $

$ = r ^ n {1 \ 2'den fazla \ pi} \ int X (re {^ j \ omega}) e ^ {j \ omega n} d \ omega $

$ = {1 \ over 2 \ pi} \ int X (re {^ j \ omega}) [re ^ {j \ omega}] ^ nd \ omega \, ... \, ... \, (3) $

$ Re ^ {j \ omega} = z $ 'ı değiştirin.

$ dz = jre ^ {j \ omega} d \ omega = jz d \ omega $

$ d \ omega = {1 \ over j} z ^ {- 1} dz $

Denklem 3'teki ikame.

$ 3 \, \ to \, x (n) = {1 \ over 2 \ pi} \ int \, X (z) z ^ n {1 \ over j} z ^ {- 1} dz = {1 \ over 2 \ pi j} \ int \, X (z) z ^ {n-1} dz $