Fourier Serisi

Jean Baptiste Joseph Fourier,Fransız bir matematikçi ve bir fizikçi; Auxerre, Fransa'da doğdu. Fourier serilerini, Fourier dönüşümlerini ve bunların ısı transferi ve titreşim problemlerine uygulamalarını başlattı. Fourier serisi, Fourier dönüşümleri ve Fourier'in Yasası onun onuruna verilmiştir.

Fourier serisi

Herhangi bir periyodik sinyali temsil etmek için Fourier, Fourier serisi adı verilen bir ifade geliştirdi. Bu, sonsuz bir sinüs ve kosinüs veya üstel toplamı anlamındadır. Fourier serileri diklik koşulunu kullanır.

Sürekli Zaman Periyodik Sinyallerin Fourier Serisi Gösterimi

Bir sinyalin x (t) = x (t + T) veya x (n) = x (n + N) koşulunu sağlaması durumunda periyodik olduğu söylenir.

T = temel zaman periyodu olduğunda,

ω ₀ = temel frekans = 2π / T

İki temel periyodik sinyal vardır:

$ x (t) = \ cos \ omega_0t $ (sinüzoidal) &

$ x (t) = e ^ {j \ omega_0 t} $ (karmaşık üstel)

Bu iki sinyal periyodiktir ve $ T = 2 \ pi / \ omega_0 $ periyodu vardır.

Harmonik olarak ilişkili bir dizi karmaşık üstel, {$ \ phi_k (t) $} olarak temsil edilebilir

$$ {\ phi_k (t)} = \ {e ^ {jk \ omega_0t} \} = \ {e ^ {jk ({2 \ pi \ over T}) t} \} \ text {nerede} \, k = 0 \ pm 1, \ pm 2 ..n \, \, \, ..... (1) $$

Tüm bu sinyaller periyodiktir ve T periyodu

Bir x (t) fonksiyonunun n ile ortogonal sinyal uzayı yaklaşımına göre, karşılıklı ortogonal fonksiyonlar ile verilir

$$ x (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0t} ..... (2) $$

$$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_kk e ^ {jk \ omega_0t} $$

$ A_k $ = Fourier katsayısı = yaklaşım katsayısı.

Bu x (t) sinyali de T periyoduyla periyodiktir.

Denklem 2, periyodik sinyal x (t) 'nin Fourier serisi temsilini temsil eder.

K = 0 terimi sabittir.

Terimi, $ k = \ PM1 $ omega_0 temel frekans $ \ sahip, 1 olarak adlandırılan $ ^st harmonik.

$ 2 \ omega_0 $ temel frekansına sahip $ k = \ pm2 $ terimi, ^2. harmonik olarak adlandırılır ve bu böyle devam eder ...

$ N \ omega0 $ temel frekansına sahip $ k = ± n $ terimi, ^n'inci harmonikler olarak adlandırılır .

Fourier Katsayısının Türetilmesi

$ X (t) = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} ...... (1) $ olduğunu biliyoruz

Her iki tarafta $ e ^ {- jn \ omega_0 t} $ 'ı çarpın. Sonra

$$ x (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}. e ^ {- jn \ omega_0 t} $$

Her iki taraftaki integrali düşünün.

$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}. e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \, \, = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j (kn) \ omega_0 t} . dt $$

$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. \, \, ..... (2) $$

Euler formülüne göre,

$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ int_ {0} ^ {T} \ cos (kn) \ omega_0 dt + j \ int_ {0} ^ {T} \ sin (kn) \ omega_0t \, dt $$

$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ left \ {\ begin {dizi} {ll} T & \ quad k = n \\ 0 & \ quad k \ neq n \ end {dizi} \ right. $$

Dolayısıyla denklem 2'de, k = n hariç tüm k değerleri için integral sıfırdır. Denklem 2'ye k = n koyun.

$$ \ Rightarrow \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt = a_n T $$

$$ \ Rightarrow a_n = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$

N'yi k ile değiştirin.

$$ \ Rightarrow a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $$

$$ \ bu nedenle x (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j (kn) \ omega_0 t} $$

$$ \ text {nerede} a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $$