Z-Dönüşümleri Özellikleri

Z-Dönüşümü aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Doğrusallık Özelliği

$ \, X (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X (Z) $ ise

ve $ \, y (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} Y (Z) $

Daha sonra doğrusallık özelliği şunu belirtir:

$ a \, x (n) + b \, y (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} a \, X (Z) + b \, Y (Z) $


Zaman Kaydıran Özellik

$ \, X (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X (Z) $ ise

Sonra Zaman kaydırma özelliği şunu belirtir:

$ x (nm) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} z ^ {- m} X (Z) $

Üstel Sıra Özelliği ile Çarpma


$ \, X (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X (Z) $ ise

Daha sonra üstel bir dizi özelliği ile çarpma,

$ a ^ n \,. x (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X (Z / a) $


Zaman Tersine Çevirme Özelliği

$ \, X (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X (Z) $ ise

Sonra zamanın tersine çevrilmesi özelliği şunu belirtir:

$ x (-n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X (1 / Z) $


Z Alanında Farklılaşma VEYA n Özelliğe Göre Çarpma

$ \, X (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X (Z) $ ise

Daha sonra n ile çarpma veya z-alanı özelliğindeki farklılaşma şunu belirtir:

$ n ^ kx (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} [-1] ^ kz ^ k {d ^ k X (Z) \ over dZ ^ K} $


Evrişim Özelliği

$ \, X (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X (Z) $ ise

ve $ \, y (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} Y (Z) $

Sonra evrişim özelliği şunu belirtir:

$ x (n) * y (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X (Z) .Y (Z) $


Korelasyon Özelliği

$ \, X (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X (Z) $ ise

ve $ \, y (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} Y (Z) $

Daha sonra korelasyon özelliği şunu belirtir:

$ x (n) \ otimes y (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X (Z) .Y (Z ^ {- 1}) $


İlk Değer ve Son Değer Teoremleri

Z-dönüşümünün başlangıç ​​değeri ve son değer teoremleri nedensel sinyal için tanımlanmıştır.

Başlangıç ​​Değer Teoremi

Nedensel bir sinyal x (n) için, başlangıç ​​değer teoremi şunu belirtir:

$ x (0) = \ lim_ {z \ ila \ infty} ⁡X (z) $

Bu, ters z-dönüşümü almadan sinyalin başlangıç ​​değerini bulmak için kullanılır.

Nihai Değer Teoremi

Nedensel bir sinyal x (n) için, nihai değer teoremi şunu belirtir:

$ x (\ infty) = \ lim_ {z \ ila 1} [z-1] ⁡X (z) $

Bu, ters z-dönüşümü almadan sinyalin son değerini bulmak için kullanılır.

Z-Dönüşümünün Yakınsama Bölgesi (ROC)

Z-dönüşümünün yakınsadığı z'nin varyasyon aralığı, z-dönüşümünün yakınsama bölgesi olarak adlandırılır.

Z-Dönüşümlerinin ROC'sinin Özellikleri

  • Z-dönüşümünün ROC'si, z-düzleminde daire ile gösterilir.

  • ROC herhangi bir kutup içermez.

  • X (n), sonlu süreli bir nedensel dizi veya sağ taraflı bir dizi ise, o zaman ROC, z = 0 haricinde tüm z düzlemidir.

  • X (n), sonlu süreli bir nedensiz dizi veya sol taraftaki bir dizi ise, bu durumda ROC, z = ∞ haricinde tüm z düzlemidir.

  • Eğer x (n) sonsuz süreli bir nedensel dizi ise, ROC yarıçapı aie | z | > a.

  • Eğer x (n) sonsuz süreli bir anti-nedensel dizi ise, ROC yarıçapı aie | z | <a.

  • X (n), sonlu süreli iki taraflı bir dizi ise, o zaman ROC, z = 0 ve z = ∞ haricinde tüm z düzlemidir.

ROC kavramı aşağıdaki örnekle açıklanabilir:

Example 1: $ A ^ nu [n] + a ^ {-} nu [-n-1] $ z-dönüşümünü ve ROC'sini bulun

$ ZT [a ^ nu [n]] + ZT [a ^ {- n} u [-n-1]] = {Z \ za üzerinden} + {Z \ Z üzerinden {-1 \ a}} $

$$ ROC: | z | \ gt a \ quad \ quad ROC: | z | \ lt {1 \ over a} $$

ROC'nin grafiği, a> 1 ve a <1 olmak üzere iki koşula sahiptir, çünkü a.

Bu durumda, ROC kombinasyonu yoktur.

Burada, ROC kombinasyonu $ a \ lt | z | \ lt {1 \ a} $ üzerinden

Dolayısıyla bu problem için, a <1 olduğunda z-dönüşümü mümkündür.

Nedensellik ve İstikrar

Ayrık zamanlı LTI sistemleri için nedensellik koşulu aşağıdaki gibidir:

Ayrık zamanlı bir LTI sistemi,

  • ROC en dıştaki kutbun dışında.

  • Transfer fonksiyonunda H [Z], pay sırası paydanın sırasından daha büyük olamaz.

Ayrık Zamanlı LTI Sistemleri için Kararlılık Koşulu

Ayrık bir LTI sistemi ne zaman kararlıdır?

  • sistem işlevi H [Z] birim çemberi içerir | z | = 1.

  • transfer fonksiyonunun tüm kutupları birim çember | z | = 1 içinde uzanır.

Temel Sinyallerin Z Dönüşümü

x (t) X [Z]
$ \ delta $ 1
$ u (n) $ $ {Z \ over Z-1} $
$ u (-n-1) $ $ - {Z \ over Z-1} $
$ \ delta (nm) $ $ z ^ {- m} $
$ a ^ nu [n] $ Za} $ üzerinden $ {Z \
$ a ^ nu [-n-1] $ $ - {Z \ over Za} $
$ n \, a ^ nu [n] $ $ {aZ \ over | Za | ^ 2} $
$ n \, a ^ nu [-n-1] $ $ - {aZ \ over | Za | ^ 2} $
$ a ^ n \ cos \ omega nu [n] $ $ {Z ^ 2-aZ \ cos \ omega \ over Z ^ 2-2aZ \ cos \ omega + a ^ 2} $
$ a ^ n \ sin \ omega nu [n] $ $ {aZ \ sin \ omega \ over Z ^ 2 -2aZ \ cos \ omega + a ^ 2} $