Xây dựng vị trí gốc
Các root locuslà một biểu diễn đồ họa trong miền s và nó đối xứng qua trục thực. Bởi vì các cực và số không của vòng lặp mở tồn tại trong miền s có các giá trị là thực hoặc là các cặp liên hợp phức tạp. Trong chương này, chúng ta hãy thảo luận về cách xây dựng (vẽ) quỹ tích nghiệm.
Quy tắc xây dựng vị trí gốc
Tuân theo các quy tắc này để xây dựng quỹ tích gốc.
Rule 1 - Xác định vị trí các cực và số không của vòng lặp mở trong mặt phẳng 's'.
Rule 2 - Tìm số nhánh quỹ tích gốc.
Chúng ta biết rằng các nhánh quỹ đạo gốc bắt đầu ở các cực của vòng mở và kết thúc ở các số không của vòng mở. Vì vậy, số nhánh quỹ tích gốcN bằng số cực vòng hở hữu hạn P hoặc số lượng số không vòng lặp mở hữu hạn Z, giá trị nào lớn hơn.
Về mặt toán học, chúng ta có thể viết số nhánh quỹ tích căn N như
$ N = P $ nếu $ P \ geq Z $
$ N = Z $ nếu $ P <Z $
Rule 3 - Xác định và vẽ các real axis root locus branches.
Nếu góc của hàm truyền vòng hở tại một điểm là bội số lẻ của 180 0 , thì điểm đó nằm trên quỹ tích gốc. Nếu số lẻ của cực vòng hở và số không tồn tại ở phía bên trái của một điểm trên trục thực, thì điểm đó nằm trên nhánh quỹ đạo gốc. Do đó, nhánh của điểm thỏa mãn điều kiện này là trục thực của nhánh quỹ tích gốc.
Rule 4 - Tìm tâm và góc của tâm không triệu chứng.
Nếu $ P = Z $, thì tất cả các nhánh quỹ tích gốc bắt đầu tại các cực vòng mở hữu hạn và kết thúc tại các số không vòng mở hữu hạn.
Nếu $ P> Z $, thì $ Z $ số nhánh quỹ tích gốc bắt đầu tại cực vòng hở hữu hạn và kết thúc tại số 0 hữu hạn vòng mở và $ P - Z $ số nhánh quỹ tích gốc bắt đầu tại cực vòng mở hữu hạn và kết thúc tại vô hạn số không vòng lặp mở.
Nếu $ P <Z $, thì P số nhánh quỹ tích gốc bắt đầu tại cực vòng hở hữu hạn và kết thúc tại số 0 hữu hạn vòng mở và $ Z - P $ số nhánh quỹ tích gốc bắt đầu tại cực vòng mở vô hạn và kết thúc tại vòng mở hữu hạn số không.
Vì vậy, một số nhánh quỹ đạo gốc tiến tới vô cùng, khi $ P \ neq Z $. Các rễ không triệu chứng cung cấp hướng của các nhánh quỹ đạo rễ này. Giao điểm của các dấu không triệu chứng trên trục thực được gọi làcentroid.
Chúng tôi có thể tính toán centroid α bằng cách sử dụng công thức này,
$ \ alpha = \ frac {\ sum Real \: part \: of \: finite \: open \: loop \: cực \: - \ sum Real \: part \: of \: finite \: open \: loop \ : số không} {PZ} $
Công thức của góc asymptotes θ Là
$$ \ theta = \ frac {(2q + 1) 180 ^ 0} {PZ} $$
Ở đâu,
$$ q = 0,1,2, ...., (PZ) -1 $$
Rule 5 - Tìm giao điểm của các nhánh quỹ tích với một trục tưởng tượng.
Chúng ta có thể tính điểm tại đó nhánh quỹ tích gốc giao với trục ảo và giá trị của K tại thời điểm đó bằng cách sử dụng phương thức mảng Routh và đặc biệt case (ii).
Nếu tất cả các phần tử của bất kỳ hàng nào của mảng Routh đều bằng 0, thì nhánh quỹ tích gốc giao với trục ảo và ngược lại.
Xác định hàng theo cách mà nếu chúng ta đặt phần tử đầu tiên là 0, thì các phần tử của toàn bộ hàng là 0. Tìm giá trị củaK cho sự kết hợp này.
Thay thế cái này Kgiá trị trong phương trình phụ. Bạn sẽ nhận được giao điểm của nhánh quỹ tích gốc với một trục tưởng tượng.
Rule 6 - Tìm điểm Break-away và Break-in.
Nếu tồn tại một nhánh quỹ tích gốc trục thực giữa hai cực vòng hở, thì sẽ có break-away point ở giữa hai cực vòng hở này.
Nếu tồn tại một nhánh quỹ đạo gốc trục thực giữa hai số không vòng lặp mở, thì sẽ có break-in point ở giữa hai số không vòng lặp mở này.
Note - Điểm ngắt và điểm ngắt chỉ tồn tại trên các nhánh quỹ tích gốc trục thực.
Làm theo các bước sau để tìm các điểm đột nhập và đột nhập.
Viết $ K $ dưới dạng $ s $ từ phương trình đặc trưng $ 1 + G (s) H (s) = 0 $.
Phân biệt $ K $ với s và làm cho nó bằng không. Thay các giá trị $ s $ này vào phương trình trên.
Các giá trị của $ s $ mà giá trị $ K $ dương là giá trị break points.
Rule 7 - Tìm góc đi và góc tới.
Góc đi và góc tới có thể được tính toán lần lượt tại các cực của vòng hở liên hợp phức và các cực của vòng hở liên hợp phức.
Công thức cho angle of departure $ \ phi_d $ là
$$ \ phi_d = 180 ^ 0- \ phi $$
Công thức cho angle of arrival $ \ phi_a $ là
$$ \ phi_a = 180 ^ 0 + \ phi $$
Ở đâu,
$$ \ phi = \ sum \ phi_P- \ sum \ phi_Z $$
Thí dụ
Bây giờ chúng ta hãy vẽ quỹ tích gốc của hệ thống điều khiển có chức năng truyền vòng lặp mở, $ G (s) H (s) = \ frac {K} {s (s + 1) (s + 5)} $
Step 1- Hàm truyền vòng hở đã cho có ba cực tại $ s = 0, s = −1 $ và $ s = −5 $. Nó không có bất kỳ số 0 nào. Do đó, số nhánh quỹ đạo nghiệm số bằng số cực của hàm truyền vòng hở.
$$ N = P = 3 $$
Ba cực được đặt trong hình trên. Đoạn thẳng giữa $ s = −1 $ và $ s = 0 $ là một nhánh của quỹ tích nghiệm trên trục thực. Và nhánh còn lại của quỹ tích gốc trên trục thực là đoạn thẳng bên trái $ s = −5 $.
Step 2 - Chúng tôi sẽ nhận được các giá trị của tâm và góc của không triệu chứng bằng cách sử dụng các công thức đã cho.
Centroid $ \ alpha = −2 $
Góc của các dấu không triệu chứng là $ \ theta = 60 ^ 0,180 ^ 0 $ và $ 300 ^ 0 $.
Trung tâm và ba không triệu chứng được hiển thị trong hình sau.
Step 3- Vì hai tiệm cận có các góc $ 60 ^ 0 $ và $ 300 ^ 0 $ nên hai quỹ tích gốc nhánh cắt trục ảo. Bằng cách sử dụng phương pháp mảng Routh và trường hợp đặc biệt (ii), các nhánh quỹ tích gốc giao với trục ảo tại $ j \ sqrt {5} $ và $ −j \ sqrt {5} $.
Sẽ có một điểm ngắt trên nhánh quỹ đạo gốc trục thực giữa các cực $ s = −1 $ và $ s = 0 $. Bằng cách làm theo quy trình đã cho để tính điểm phá vỡ, chúng ta sẽ nhận được nó là $ s = −0.473 $.
Biểu đồ quỹ tích gốc của hệ thống điều khiển đã cho được thể hiện trong hình sau.
Bằng cách này, bạn có thể vẽ sơ đồ quỹ tích gốc của bất kỳ hệ thống điều khiển nào và quan sát sự chuyển động của các cực của hàm truyền vòng kín.
Từ sơ đồ quỹ tích nghiệm, chúng ta có thể biết khoảng giá trị K đối với các loại dao động tắt dần.
Hiệu ứng của việc thêm các cực vòng lặp mở và Zeros trên vị trí gốc
Quỹ đạo gốc có thể được chuyển sang ‘s’ plane bằng cách thêm các cực của vòng lặp mở và các số không của vòng lặp mở.
Nếu chúng ta bao gồm một cực trong hàm truyền vòng hở, thì một số nhánh quỹ tích gốc sẽ di chuyển về phía nửa bên phải của mặt phẳng 's'. Do đó, tỷ số giảm xóc $ \ delta $ giảm. Điều này ngụ ý, tần số giảm $ \ omega_d $ tăng lên và các đặc điểm của miền thời gian như thời gian trễ $ t_d $, thời gian tăng $ t_r $ và thời gian cao điểm $ t_p $ giảm. Tuy nhiên, nó ảnh hưởng đến sự ổn định của hệ thống.
Nếu chúng ta bao gồm một số 0 trong hàm truyền vòng lặp mở, thì một số nhánh quỹ tích gốc sẽ di chuyển về phía nửa bên trái của mặt phẳng 's'. Vì vậy, nó sẽ tăng tính ổn định của hệ thống điều khiển. Trong trường hợp này, tỷ lệ giảm xóc $ \ delta $ tăng lên. Điều này ngụ ý rằng, tần suất giảm $ \ omega_d $ giảm xuống và các thông số kỹ thuật của miền thời gian như thời gian trễ $ t_d $, thời gian tăng $ t_r $ và thời gian cao điểm $ t_p $ tăng.
Vì vậy, dựa trên yêu cầu, chúng ta có thể đưa (thêm) các cực hoặc số không của vòng lặp mở vào hàm truyền.