Hệ thống điều khiển - Mô hình toán học
Hệ thống điều khiển có thể được biểu diễn bằng một tập hợp các phương trình toán học được gọi là mathematical model. Các mô hình này rất hữu ích cho việc phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển. Phân tích hệ thống điều khiển có nghĩa là tìm ra đầu ra khi chúng ta biết đầu vào và mô hình toán học. Thiết kế hệ thống điều khiển có nghĩa là tìm ra mô hình toán học khi chúng ta biết đầu vào và đầu ra.
Các mô hình toán học sau đây hầu hết được sử dụng.
- Mô hình phương trình vi phân
- Chuyển mô hình chức năng
- Mô hình không gian trạng thái
Chúng ta hãy thảo luận về hai mô hình đầu tiên trong chương này.
Mô hình phương trình vi phân
Mô hình phương trình vi phân là một mô hình toán học miền thời gian của các hệ thống điều khiển. Làm theo các bước sau cho mô hình phương trình vi phân.
Áp dụng các luật cơ bản cho hệ thống điều khiển đã cho.
Nhận phương trình vi phân theo đầu vào và đầu ra bằng cách loại bỏ (các) biến trung gian.
Thí dụ
Xét hệ thống điện sau đây như hình vẽ sau. Mạch này bao gồm điện trở, cuộn cảm và tụ điện. Tất cả các phần tử điện này được kết nối trongseries. Điện áp đầu vào đặt vào đoạn mạch này là $ v_i $ và điện áp trên tụ là điện áp đầu ra $ v_o $.
Phương trình lưới cho mạch này là
$$ v_i = Ri + L \ frac {\ text {d} i} {\ text {d} t} + v_o $$
Thay thế, dòng điện đi qua tụ điện $ i = c \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} $ trong phương trình trên.
$$ \ Rightarrow \: v_i = RC \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + LC \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + v_o $$
$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$
Phương trình trên là một bậc hai differential equation.
Mô hình chức năng chuyển
Mô hình hàm truyền là một mô hình toán học miền s của các hệ thống điều khiển. CácTransfer function của hệ thống Bất biến thời gian tuyến tính (LTI) được định nghĩa là tỷ số giữa biến đổi Laplace của đầu ra và biến đổi Laplace của đầu vào bằng cách giả sử tất cả các điều kiện ban đầu bằng 0.
Nếu $ x (t) $ và $ y (t) $ là đầu vào và đầu ra của hệ thống LTI, thì các phép biến đổi Laplace tương ứng là $ X (s) $ và $ Y (s) $.
Do đó, hàm truyền của hệ thống LTI bằng tỷ lệ của $ Y (s) $ và $ X (s) $.
$$ tức là, \: Chuyển \: Function = \ frac {Y (s)} {X (s)} $$
Mô hình hàm truyền của hệ thống LTI được thể hiện trong hình sau.
Ở đây, chúng tôi đại diện cho một hệ thống LTI với một khối có chức năng truyền tải bên trong nó. Và khối này có đầu vào là $ X (s) $ và đầu ra là $ Y (s) $.
Thí dụ
Trước đây, chúng ta có phương trình vi phân của hệ thống điện là
$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$
Áp dụng phép biến đổi Laplace trên cả hai mặt.
$$ s ^ 2V_o (s) + \ left (\ frac {sR} {L} \ right) V_o (s) + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) V_o (s) = \ left ( \ frac {1} {LC} \ right) V_i (s) $$
$$ \ Rightarrow \ left \ {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC} \ right \} V_o (s) = \ left (\ frac { 1} {LC} \ right) V_i (s) $$
$$ \ Rightarrow \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ frac {\ frac {1} {LC}} {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC}} $$
Ở đâu,
$ v_i (s) $ là biến đổi Laplace của điện áp đầu vào $ v_i $
$ v_o (s) $ là biến đổi Laplace của điện áp đầu ra $ v_o $
Phương trình trên là một transfer functioncủa hệ thống điện bậc hai. Mô hình chức năng chuyển giao của hệ thống này được hiển thị bên dưới.
Ở đây, chúng tôi cho thấy một hệ thống điện bậc hai với một khối có chức năng truyền tải bên trong nó. Và khối này có đầu vào là $ V_i (s) $ và đầu ra là $ V_o (s) $.