Hệ thống điều khiển - Nyquist Plots

Biểu đồ Nyquist là sự tiếp tục của các biểu đồ cực để tìm độ ổn định của hệ thống điều khiển vòng kín bằng cách thay đổi ω từ −∞ đến ∞. Điều đó có nghĩa là, đồ thị Nyquist được sử dụng để vẽ đáp ứng tần số hoàn chỉnh của hàm truyền vòng hở.

Tiêu chí về độ ổn định của Nyquist

Tiêu chí ổn định Nyquist hoạt động dựa trên principle of argument. Nó nói rằng nếu có các cực P và các số không Z được bao bởi đường đóng của mặt phẳng 's', thì mặt phẳng $ G (s) H (s) $ tương ứng phải bao quanh gốc $ P - Z $ lần. Vì vậy, chúng ta có thể viết số vùng bao quanh N là,

$$ N = PZ $$

Nếu đường khép kín trong mặt phẳng 's' chỉ chứa các cực, thì hướng của đường bao trong mặt phẳng $ G (s) H (s) $ sẽ ngược với hướng của đường khép kín trong mặt phẳng 's'.
Nếu đường dẫn đóng trong mặt phẳng 's' được bao gồm chỉ chứa các số không, thì hướng của vùng bao quanh trong mặt phẳng $ G (s) H (s) $ sẽ cùng hướng với hướng của đường dẫn đóng trong 's' máy bay.

Bây giờ chúng ta hãy áp dụng nguyên tắc đối số cho toàn bộ nửa bên phải của mặt phẳng 's' bằng cách chọn nó như một đường khép kín. Đường dẫn đã chọn này được gọi làNyquist viền.

Chúng ta biết rằng hệ thống điều khiển vòng kín là ổn định nếu tất cả các cực của hàm truyền vòng kín nằm ở nửa bên trái của mặt phẳng 's'. Vì vậy, các cực của hàm truyền vòng kín không là gì khác ngoài gốc của phương trình đặc trưng. Khi bậc của phương trình đặc trưng tăng lên, rất khó để tìm ra nghiệm nguyên. Vì vậy, chúng ta hãy tương quan các gốc này của phương trình đặc trưng như sau.

Các cực của phương trình đặc trưng giống như các cực của hàm truyền vòng hở.
Các số không của phương trình đặc trưng giống với các cực của hàm truyền vòng kín.

Chúng ta biết rằng hệ thống điều khiển vòng hở sẽ ổn định nếu không có cực vòng hở ở nửa bên phải của mặt phẳng 's'.

tức là $ P = 0 \ Rightarrow N = -Z $

Chúng ta biết rằng hệ thống điều khiển vòng kín sẽ ổn định nếu không có cực vòng kín ở nửa bên phải của mặt phẳng 's'.

tức là, $ Z = 0 \ Rightarrow N = P $

Nyquist stability criterioncho biết số vòng bao quanh điểm tới hạn (1 + j0) phải bằng các cực của phương trình đặc trưng, không là gì khác ngoài các cực của hàm truyền vòng hở trong nửa bên phải của mặt phẳng 's'. Sự dịch chuyển điểm gốc đến (1 + j0) cho mặt phẳng phương trình đặc trưng.

Các quy tắc để vẽ các lô Nyquist

Thực hiện theo các quy tắc sau để lập các âm mưu Nyquist.

Xác định vị trí các cực và các số không của hàm truyền vòng hở $ G (s) H (s) $ trong mặt phẳng 's'.
Vẽ biểu đồ cực bằng cách thay đổi $ \ omega $ từ 0 đến vô cùng. Nếu điểm cực hoặc điểm không xuất hiện tại s = 0, thì thay đổi $ \ omega $ từ 0+ đến vô cùng để vẽ biểu đồ cực.
Vẽ hình ảnh phản chiếu của đồ thị cực trên cho các giá trị của $ \ omega $ nằm trong khoảng từ −∞ đến không (0 ^- nếu có cực hoặc điểm 0 bất kỳ tại s = 0).
Số nửa đường tròn bán kính vô hạn sẽ bằng số cực hoặc số không tại gốc. Nửa đường tròn bán kính vô hạn sẽ bắt đầu tại điểm kết thúc hình ảnh phản chiếu của đồ thị cực. Và nửa vòng tròn bán kính vô hạn này sẽ kết thúc tại điểm bắt đầu của đồ thị cực.

Sau khi vẽ biểu đồ Nyquist, chúng ta có thể tìm độ ổn định của hệ thống điều khiển vòng kín bằng cách sử dụng tiêu chí độ ổn định Nyquist. Nếu điểm tới hạn (-1 + j0) nằm bên ngoài vòng vây thì hệ thống điều khiển vòng kín hoàn toàn ổn định.

Phân tích độ ổn định bằng cách sử dụng Nyquist Plots

Từ đồ thị Nyquist, chúng ta có thể xác định hệ thống điều khiển ổn định, ổn định biên hay không ổn định dựa trên giá trị của các tham số này.

Đạt được chéo qua tần số và chéo pha qua tần số
Lợi nhuận biên và lợi nhuận giai đoạn

Chéo pha qua tần số

Tần số tại đó biểu đồ Nyquist giao với trục thực âm (góc pha là 180 ⁰ ) được gọi làphase cross over frequency. Nó được ký hiệu là $ \ omega_ {pc} $.

Đạt được chéo qua tần số

Tần suất mà âm mưu Nyquist có độ lớn của một được gọi là gain cross over frequency. Nó được ký hiệu là $ \ omega_ {gc} $.

Sự ổn định của hệ thống điều khiển dựa trên mối quan hệ giữa pha chéo qua tần số và độ lợi chéo qua tần số được liệt kê dưới đây.

Nếu điểm chéo pha qua tần số $ \ omega_ {pc} $ lớn hơn độ lợi chéo qua tần số $ \ omega_ {gc} $, thì hệ thống điều khiển là stable.
Nếu pha chéo qua tần số $ \ omega_ {pc} $ bằng độ lợi chéo qua tần số $ \ omega_ {gc} $, thì hệ thống điều khiển là marginally stable.
Nếu pha chéo qua tần số $ \ omega_ {pc} $ nhỏ hơn độ lợi chéo qua tần số $ \ omega_ {gc} $, thì hệ thống điều khiển là unstable.

Lợi nhuận ký quỹ

Biên lợi nhuận $ GM $ bằng nghịch đảo của độ lớn của đồ thị Nyquist tại điểm chéo pha trên tần số.

$$ GM = \ frac {1} {M_ {pc}} $$

Trong đó, $ M_ {pc} $ là độ lớn trong thang bình thường tại điểm chéo pha trên tần số.

Biên độ pha

Biên độ pha $ PM $ bằng tổng 180 ⁰ và góc pha tại điểm thu được chéo qua tần số.

$$ PM = 180 ^ 0 + \ phi_ {gc} $$

Trong đó, $ \ phi_ {gc} $ là góc pha tại điểm thu được chéo qua tần số.

Sự ổn định của hệ thống điều khiển dựa trên mối quan hệ giữa biên độ lợi và biên độ pha được liệt kê dưới đây.

Nếu biên lợi nhuận $ GM $ lớn hơn một và biên độ pha $ PM $ là dương, thì hệ thống điều khiển là stable.
Nếu biên độ lợi $ GM $ bằng một và biên độ pha $ PM $ bằng 0 độ, thì hệ thống điều khiển là marginally stable.
Nếu biên lợi nhuận $ GM $ nhỏ hơn một và / hoặc biên độ pha $ PM $ là số âm, thì hệ thống điều khiển là unstable.