Phân tích đáp ứng tần số
Chúng ta đã thảo luận về phân tích đáp ứng thời gian của hệ thống điều khiển và các đặc điểm kỹ thuật miền thời gian của hệ thống điều khiển bậc hai. Trong chương này, chúng ta hãy thảo luận về phân tích đáp ứng tần số của hệ thống điều khiển và các thông số kỹ thuật miền tần số của hệ thống điều khiển bậc hai.
Đáp ứng tần số là gì?
Phản hồi của một hệ thống có thể được phân chia thành cả phản ứng nhất thời và phản hồi trạng thái ổn định. Chúng ta có thể tìm phản ứng nhất thời bằng cách sử dụng tích phân Fourier. Đáp ứng trạng thái ổn định của hệ thống đối với tín hiệu hình sin đầu vào được gọi làfrequency response. Trong chương này, chúng ta sẽ chỉ tập trung vào phản ứng trạng thái ổn định.
Nếu một tín hiệu hình sin được áp dụng làm đầu vào cho hệ thống Bất biến Thời gian Tuyến tính (LTI), thì nó tạo ra đầu ra trạng thái ổn định, cũng là một tín hiệu hình sin. Tín hiệu hình sin đầu vào và đầu ra có cùng tần số, nhưng biên độ và góc pha khác nhau.
Để tín hiệu đầu vào là -
$$ r (t) = A \ sin (\ omega_0t) $$
Hàm truyền vòng lặp mở sẽ là:
$$ G (s) = G (j \ omega) $$
Chúng ta có thể biểu diễn $ G (j \ omega) $ theo độ lớn và pha như hình dưới đây.
$$ G (j \ omega) = | G (j \ omega) | \ angle G (j \ omega) $$
Thay thế, $ \ omega = \ omega_0 $ trong phương trình trên.
$$ G (j \ omega_0) = | G (j \ omega_0) | \ angle G (j \ omega_0) $$
Tín hiệu đầu ra là
$$ c (t) = A | G (j \ omega_0) | \ sin (\ omega_0t + \ angle G (j \ omega_0)) $$
Các amplitude của tín hiệu hình sin đầu ra thu được bằng cách nhân biên độ của tín hiệu hình sin đầu vào với độ lớn của $ G (j \ omega) $ tại $ \ omega = \ omega_0 $.
Các phase của tín hiệu hình sin đầu ra thu được bằng cách thêm pha của tín hiệu hình sin đầu vào và pha của $ G (j \ omega) $ tại $ \ omega = \ omega_0 $.
Ở đâu,
A là biên độ của tín hiệu hình sin đầu vào.
ω0 là tần số góc của tín hiệu hình sin đầu vào.
Chúng ta có thể viết, tần số góc $ \ omega_0 $ như hình dưới đây.
$$ \ omega_0 = 2 \ pi f_0 $$
Ở đây, $ f_0 $ là tần số của tín hiệu hình sin đầu vào. Tương tự, bạn có thể làm theo quy trình tương tự đối với hệ thống điều khiển vòng kín.
Thông số miền tần số
Các thông số kỹ thuật của miền tần số là resonant peak, resonant frequency and bandwidth.
Hãy xem xét chức năng truyền của hệ thống điều khiển vòng kín bậc hai là,
$$ T (s) = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$
Thay thế, $ s = j \ omega $ trong phương trình trên.
$$ T (j \ omega) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(j \ omega) ^ 2 + 2 \ delta \ omega_n (j \ omega) + \ omega_n ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow T (j \ omega) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {- \ omega ^ 2 + 2j \ delta \ omega \ omega_n + \ omega_n ^ 2} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {\ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $$
$$ \ Rightarrow T (j \ omega) = \ frac {1} {\ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} \ right) + j \ left (\ frac {2 \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $$
Giả sử, $ \ frac {\ omega} {\ omega_n} = u $ Thay giá trị này vào phương trình trên.
$$ T (j \ omega) = \ frac {1} {(1-u ^ 2) + j (2 \ delta u)} $$
Độ lớn của $ T (j \ omega) $ là -
$$ M = | T (j \ omega) | = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u) ^ 2}} $$
Giai đoạn của $ T (j \ omega) $ là -
$$ \ angle T (j \ omega) = - tan ^ {- 1} \ left (\ frac {2 \ delta u} {1-u ^ 2} \ right) $$
Tần số cộng hưởng
Đó là tần số mà độ lớn của đáp ứng tần số có giá trị cực đại lần đầu tiên. Nó được ký hiệu là $ \ omega_r $. Tại $ \ omega = \ omega_r $, giá trị suy giảm đầu tiên của độ lớn $ T (j \ omega) $ bằng 0.
Phân biệt $ M $ với $ u $.
$$ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} = - \ frac {1} {2} \ left [(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {-3} {2}} \ left [2 (1-u ^ 2) (- 2u) +2 (2 \ delta u) (2 \ delta) \ right] $$
$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} = - \ frac {1} {2} \ left [(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u ) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {-3} {2}} \ left [4u (u ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) \ right] $$
Thay thế, $ u = u_r $ và $ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} == 0 $ trong phương trình trên.
$$ 0 = - \ frac {1} {2} \ left [(1-u_r ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_r) ^ 2 \ right] ^ {- \ frac {3} {2}} \ left [4u_r (u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) \ right] $$
$$ \ Rightarrow 4u_r (u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) = 0 $$
$$ \ Rightarrow u_r ^ 2-1 + 2 \ delta ^ 2 = 0 $$
$$ \ Rightarrow u_r ^ 2 = 1-2 \ delta ^ 2 $$
$$ \ Rightarrow u_r = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$
Thay thế, $ u_r = \ frac {\ omega_r} {\ omega_n} $ trong phương trình trên.
$$ \ frac {\ omega_r} {\ omega_n} = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow \ omega_r = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$
Đỉnh cộng hưởng
Đây là giá trị đỉnh (lớn nhất) của độ lớn $ T (j \ omega) $. Nó được ký hiệu là $ M_r $.
Tại $ u = u_r $, Độ lớn của $ T (j \ omega) $ là -
$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u_r ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_r) ^ 2}} $$
Thay thế, $ u_r = \ sqrt {1 - 2 \ delta ^ 2} $ và $ 1 - u_r ^ 2 = 2 \ delta ^ 2 $ trong phương trình trên.
$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {(2 \ delta ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2}) ^ 2}} $$
$$ \ Rightarrow M_r = \ frac {1} {2 \ delta \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} $$
Đỉnh cộng hưởng trong đáp ứng tần số tương ứng với mức vượt đỉnh trong đáp ứng thoáng qua miền thời gian đối với các giá trị nhất định của tỷ lệ tắt dần $ \ delta $. Vì vậy, đỉnh cộng hưởng và độ vượt đỉnh có tương quan với nhau.
Băng thông
Đó là dải tần mà độ lớn của $ T (j \ omega) $ giảm xuống 70,7% so với giá trị tần số 0 của nó.
Tại $ \ omega = 0 $, giá trị của $ u $ sẽ bằng 0.
Thay thế, $ u = 0 $ trong M.
$$ M = \ frac {1} {\ sqrt {(1-0 ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta (0)) ^ 2}} = 1 $$
Do đó, độ lớn của $ T (j \ omega) $ là một tại $ \ omega = 0 $.
Ở tần số 3 dB, độ lớn của $ T (j \ omega) $ sẽ bằng 70,7% độ lớn của $ T (j \ omega) $ tại $ \ omega = 0 $.
tức là, tại $ \ omega = \ omega_B, M = 0,707 (1) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} $
$$ \ Rightarrow M = \ frac {1} {\ sqrt {2}} = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_b) ^ 2}} $$
$$ \ Rightarrow 2 = (1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta) ^ 2 u_b ^ 2 $$
Giả sử, $ u_b ^ 2 = x $
$$ \ Rightarrow 2 = (1-x) ^ 2 + (2 \ delta) ^ 2 x $$
$$ \ Rightarrow x ^ 2 + (4 \ delta ^ 2-2) x-1 = 0 $$
$$ \ Rightarrow x = \ frac {- (4 \ delta ^ 2 -2) \ pm \ sqrt {(4 \ delta ^ 2-2) ^ 2 + 4}} {2} $$
Chỉ xét giá trị dương của x.
$$ x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2 \ delta ^ 2-1) ^ 2 + 1} $$
$$ \ Rightarrow x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)} $$
Thay thế, $ x = u_b ^ 2 = \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} $
$$ \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)} $$
$$ \ Rightarrow \ omega_b = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)}} $$
Băng thông $ \ omega_b $ trong đáp ứng tần số tỷ lệ nghịch với thời gian tăng $ t_r $ trong đáp ứng thoáng qua miền thời gian.