Hệ thống điều khiển - Phân tích không gian trạng thái

Trong chương trước, chúng ta đã học cách lấy mô hình không gian trạng thái từ phương trình vi phân và hàm truyền. Trong chương này, chúng ta hãy thảo luận về cách lấy hàm truyền từ mô hình không gian trạng thái.

Chuyển chức năng từ mô hình không gian trạng thái

Chúng ta biết mô hình không gian trạng thái của hệ thống Bất biến Thời gian Tuyến tính (LTI) là -

$$ \ dot {X} = AX + BU $$

$$ Y = CX + DU $$

Áp dụng Biến đổi Laplace trên cả hai mặt của phương trình trạng thái.

$$ sX (s) = AX (s) + BU (s) $$

$$ \ Rightarrow (sI-A) X (s) = BU (s) $$

$$ \ Rightarrow X (s) = (sI-A) ^ {- 1} BU (s) $$

Áp dụng Biến đổi Laplace trên cả hai mặt của phương trình đầu ra.

$$ Y (s) = CX (s) + DU (s) $$

Giá trị thay thế, X (s) trong phương trình trên.

$$ \ Rightarrow Y (s) = C (sI-A) ^ {- 1} BU (s) + DU (s) $$

$$ \ Rightarrow Y (s) = [C (sI-A) ^ {- 1} B + D] U (s) $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B + D $$

Phương trình trên biểu diễn hàm truyền của hệ thống. Vì vậy, chúng ta có thể tính toán hàm truyền của hệ thống bằng cách sử dụng công thức này cho hệ thống được biểu diễn trong mô hình không gian trạng thái.

Note - Khi $ D = [0] $, hàm truyền sẽ là

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B $$

Example

Hãy để chúng tôi tính toán hàm truyền của hệ thống được biểu diễn trong mô hình không gian trạng thái là,

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

Đây,

$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ quad và \ quad D = [0] $$

Công thức cho hàm truyền khi $ D = [0] $ là -

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B $$

Ma trận thay thế, A, B & C trong phương trình trên.

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s + 1 & 1 \\ - 1 & s \ end {bmatrix } ^ {- 1} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ frac {\ begin {bmatrix} s & -1 \\ 1 & s + 1 \ end {bmatrix}} {(s + 1) s-1 (-1)} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s \\ 1 \ end {bmatrix}} {s ^ 2 + s + 1} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

Do đó, hàm truyền của hệ đối với mô hình không gian trạng thái đã cho là

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

Ma trận chuyển đổi trạng thái và các thuộc tính của nó

Nếu hệ thống đang có các điều kiện ban đầu, thì nó sẽ tạo ra một đầu ra. Vì, đầu ra này hiện diện ngay cả khi không có đầu vào, nó được gọi làzero input response$ x_ {ZIR} (t) $. Về mặt toán học, chúng ta có thể viết nó là,

$$ x_ {ZIR} (t) = e ^ {At} X (0) = L ^ {- 1} \ left \ {\ left [sI-A \ right] ^ {- 1} X (0) \ right \} $$

Từ quan hệ trên, chúng ta có thể viết ma trận chuyển trạng thái $ \ phi (t) $ dưới dạng

$$ \ phi (t) = e ^ {At} = L ^ {- 1} [sI-A] ^ {- 1} $$

Vì vậy, phản hồi đầu vào bằng không có thể nhận được bằng cách nhân ma trận chuyển đổi trạng thái $ \ phi (t) $ với ma trận điều kiện ban đầu.

Sau đây là các thuộc tính của ma trận chuyển trạng thái.

Nếu $ t = 0 $, thì ma trận chuyển trạng thái sẽ bằng ma trận Identity.

$$ \ phi (0) = I $$
Nghịch đảo của ma trận chuyển trạng thái sẽ giống như nghịch đảo của ma trận chuyển trạng thái chỉ bằng cách trả lại 't' bởi '-t'.

$$ \ phi ^ {- 1} (t) = \ phi (−t) $$
Nếu $ t = t_1 + t_2 $, thì ma trận chuyển trạng thái tương ứng bằng phép nhân của hai ma trận chuyển trạng thái tại $ t = t_1 $ và $ t = t_2 $.

$$ \ phi (t_1 + t_2) = \ phi (t_1) \ phi (t_2) $$

Khả năng kiểm soát và khả năng quan sát

Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về khả năng điều khiển và khả năng quan sát của hệ thống điều khiển từng cái một.

Khả năng kiểm soát

Một hệ thống kiểm soát được cho là controllable nếu trạng thái ban đầu của hệ thống điều khiển được chuyển (thay đổi) sang một số trạng thái mong muốn khác bởi một đầu vào được kiểm soát trong khoảng thời gian hữu hạn.

Chúng ta có thể kiểm tra khả năng điều khiển của hệ thống điều khiển bằng cách sử dụng Kalman’s test.

Viết ma trận $ Q_c $ dưới dạng sau.

$$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ quad A ^ 2B \ quad ... \ quad A ^ {n-1} B \ right] $$
Tìm định thức của ma trận $ Q_c $ và nếu nó không bằng 0 thì hệ thống điều khiển có thể điều khiển được.

Khả năng quan sát

Một hệ thống kiểm soát được cho là observable nếu nó có thể xác định các trạng thái ban đầu của hệ thống điều khiển bằng cách quan sát các đầu ra trong khoảng thời gian hữu hạn.

Chúng ta có thể kiểm tra khả năng quan sát của hệ thống điều khiển bằng cách sử dụng Kalman’s test.

Viết ma trận $ Q_o $ dưới dạng sau.

$$ Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ quad (A ^ T) ^ 2C ^ T \ quad ... \ quad (A ^ T) ^ {n-1} C ^ T \ đúng] $$
Tìm định thức của ma trận $ Q_o $ và nếu nó không bằng 0 thì hệ thống điều khiển có thể quan sát được.

Example

Hãy để chúng tôi xác minh khả năng điều khiển và khả năng quan sát của một hệ thống điều khiển được biểu diễn trong mô hình không gian trạng thái như,

$$ \ dot {x} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

Đây,

$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad \ begin {bmatrix } 0 & 1 \ end {bmatrix}, D = [0] \ quad và \ quad n = 2 $$

Với $ n = 2 $, ma trận $ Q_c $ sẽ là

$$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ right] $$

Chúng ta sẽ nhận được tích của ma trận A và B là,

$$ AB = \ begin {bmatrix} -1 \\ 1 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow Q_c = \ begin {bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} $$

$$ | Q_c | = 1 \ neq 0 $$

Vì định thức của ma trận $ Q_c $ không bằng 0 nên hệ thống điều khiển đã cho có thể điều khiển được.

Với $ n = 2 $, ma trận $ Q_o $ sẽ là -

$$ Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ right] $$

Đây,

$$ A ^ T = \ begin {bmatrix} -1 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {bmatrix} \ quad và \ quad C ^ T = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} $ $

Chúng ta sẽ nhận được tích của các ma trận $ A ^ T $ và $ C ^ T $ là