Hệ thống điều khiển - Lô cực

Trong các chương trước, chúng ta đã thảo luận về các lô Bode. Ở đó, chúng ta có hai đồ thị riêng biệt cho cả độ lớn và pha là hàm của tần số. Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về lô cực. Biểu đồ cực là một biểu đồ có thể được vẽ giữa độ lớn và pha. Ở đây, độ lớn chỉ được biểu thị bằng giá trị bình thường.

Dạng cực của $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ là

$$ G (j \ omega) H (j \ omega) = | G (j \ omega) H (j \ omega) | \ angle G (j \ omega) H (j \ omega) $$

Các Polar plotlà một đồ thị, có thể được vẽ giữa độ lớn và góc pha của $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ bằng cách thay đổi $ \ omega $ từ 0 đến ∞. Biểu đồ cực được hiển thị trong hình sau.

Biểu đồ này bao gồm các đường tròn đồng tâm và các đường xuyên tâm. Cácconcentric circlesradial lineslần lượt biểu diễn độ lớn và góc pha. Các góc này được thể hiện bằng các giá trị dương theo hướng phản đồng hồ. Tương tự, chúng ta có thể biểu diễn các góc có giá trị âm theo chiều kim đồng hồ. Ví dụ, góc 270 0 theo hướng ngược chiều kim đồng hồ bằng góc −90 0 theo chiều kim đồng hồ.

Quy tắc vẽ các lô cực

Hãy tuân theo các quy tắc này để đánh lô cực.

  • Thay thế, $ s = j \ omega $ trong hàm truyền vòng lặp mở.

  • Viết biểu thức độ lớn và pha của $ G (j \ omega) H (j \ omega) $.

  • Tìm độ lớn ban đầu và pha của $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ bằng cách thay $ \ omega = 0 $. Vì vậy, đồ thị cực bắt đầu với độ lớn này và góc pha.

  • Tìm độ lớn kết thúc và pha của $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ bằng cách thay $ \ omega = \ infty $. Vì vậy, đồ thị cực kết thúc với độ lớn và góc pha này.

  • Kiểm tra xem biểu đồ cực có giao với trục thực hay không, bằng cách biến số hạng ảo của $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ bằng 0 và tìm (các) giá trị của $ \ omega $.

  • Kiểm tra xem biểu đồ cực có giao với trục ảo hay không bằng cách biến số hạng thực của $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ bằng 0 và tìm (các) giá trị của $ \ omega $.

  • Để vẽ biểu đồ cực rõ ràng hơn, hãy tìm độ lớn và pha của $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ bằng cách xem xét (các) giá trị khác của $ \ omega $.

Thí dụ

Xem xét chức năng truyền vòng hở của hệ thống điều khiển vòng kín.

$$ G (s) H (s) = \ frac {5} {s (s + 1) (s + 2)} $$

Hãy để chúng tôi vẽ biểu đồ cực cho hệ thống điều khiển này bằng cách sử dụng các quy tắc trên.

Step 1 - Thay thế, $ s = j \ omega $ trong hàm truyền vòng lặp mở.

$$ G (j \ omega) H (j \ omega) = \ frac {5} {j \ omega (j \ omega + 1) (j \ omega + 2)} $$

Độ lớn của hàm truyền vòng hở là

$$ M = \ frac {5} {\ omega (\ sqrt {\ omega ^ 2 + 1}) (\ sqrt {\ omega ^ 2 + 4})} $$

Góc pha của hàm truyền vòng hở là

$$ \ phi = -90 ^ 0- \ tan ^ {- 1} \ omega- \ tan ^ {- 1} \ frac {\ omega} {2} $$

Step 2 - Bảng sau đây cho thấy độ lớn và góc pha của hàm truyền vòng hở tại $ \ omega = 0 $ rad / giây và $ \ omega = \ infty $ rad / giây.

Tần số (rad / giây) Tầm quan trọng Góc pha (độ)
0 -90 hoặc 270
0 -270 hoặc 90

Vì vậy, đồ thị cực bắt đầu tại (∞, −90 0 ) và kết thúc tại (0, −270 0 ). Số hạng đầu tiên và số hạng thứ hai trong ngoặc cho biết độ lớn và góc pha tương ứng.

Step 3- Dựa vào tọa độ điểm bắt đầu và tọa độ cực kết thúc, biểu đồ cực này sẽ cắt trục thực âm. Góc pha ứng với trục thực âm là −180 0 hoặc 180 0 . Vì vậy, bằng cách cân bằng góc pha của hàm truyền vòng hở thành −180 0 hoặc 180 0 , chúng ta sẽ nhận được giá trị $ \ omega $ là $ \ sqrt {2} $.

Bằng cách thay $ \ omega = \ sqrt {2} $ theo độ lớn của hàm truyền vòng lặp mở, chúng ta sẽ nhận được $ M = 0,83 $. Do đó, biểu đồ cực giao với trục thực âm khi $ \ omega = \ sqrt {2} $ và tọa độ cực là (0,83, −180 0 ).

Vì vậy, chúng ta có thể vẽ đồ thị cực với thông tin trên trên trang đồ thị cực.