Hệ thống điều khiển - Vị trí gốc
Trong sơ đồ quỹ tích gốc, chúng ta có thể quan sát đường đi của các cực vòng kín. Do đó, chúng ta có thể xác định bản chất của hệ thống điều khiển. Trong kỹ thuật này, chúng ta sẽ sử dụng một hàm truyền vòng hở để biết độ ổn định của hệ thống điều khiển vòng kín.
Khái niệm cơ bản về Root Locus
Quỹ tích gốc là quỹ tích của các nghiệm nguyên của phương trình đặc trưng bằng cách thay đổi độ lợi hệ thống K từ 0 đến vô cùng.
Chúng ta biết rằng, phương trình đặc trưng của hệ thống điều khiển vòng kín là
$$ 1 + G (s) H (s) = 0 $$
Chúng ta có thể biểu thị $ G (s) H (s) $ as
$$ G (s) H (s) = K \ frac {N (s)} {D (s)} $$
Ở đâu,
K đại diện cho hệ số nhân
N (s) đại diện cho hạn tử số có (yếu tố) n th đa thức theo thứ tự 's'.
D (s) đại diện cho mẫu số hạn có (yếu tố) m th đa thức theo thứ tự 's'.
Thay thế, giá trị $ G (s) H (s) $ trong phương trình đặc trưng.
$$ 1 + k \ frac {N (s)} {D (s)} = 0 $$
$$ \ Rightarrow D (s) + KN (s) = 0 $$
Case 1 − K = 0
Nếu $ K = 0 $ thì $ D (s) = 0 $.
Điều đó có nghĩa là, các cực của vòng kín bằng với các cực của vòng hở khi K bằng không.
Case 2 − K = ∞
Viết lại phương trình đặc trưng trên dưới dạng
$$ K \ left (\ frac {1} {K} + \ frac {N (s)} {D (s)} \ right) = 0 \ Rightarrow \ frac {1} {K} + \ frac {N ( s)} {D (s)} = 0 $$
Thay thế, $ K = \ infty $ trong phương trình trên.
$$ \ frac {1} {\ infty} + \ frac {N (s)} {D (s)} = 0 \ Rightarrow \ frac {N (s)} {D (s)} = 0 \ Rightarrow N ( s) = 0 $$
Nếu $ K = \ infty $ thì $ N (s) = 0 $. Nó có nghĩa là các cực của vòng kín bằng với các số không của vòng mở khi K là vô cùng.
Từ hai trường hợp trên, chúng ta có thể kết luận rằng các nhánh quỹ đạo gốc bắt đầu ở cực vòng mở và kết thúc ở số không vòng mở.
Điều kiện góc và Điều kiện độ lớn
Các điểm trên quỹ tích gốc các nhánh thỏa mãn điều kiện góc. Vì vậy, điều kiện góc được sử dụng để biết liệu điểm có tồn tại trên nhánh quỹ tích gốc hay không. Chúng ta có thể tìm giá trị của K cho các điểm trên các nhánh quỹ tích gốc bằng cách sử dụng điều kiện độ lớn. Vì vậy, chúng ta có thể sử dụng điều kiện độ lớn cho các điểm, và điều kiện này thỏa mãn điều kiện góc.
Phương trình đặc trưng của hệ thống điều khiển vòng kín là
$$ 1 + G (s) H (s) = 0 $$
$$ \ Rightarrow G (s) H (s) = - 1 + j0 $$
Các phase angle trong tổng số $ G (s) H (s) $ là
$$ \ angle G (s) H (s) = \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {0} {- 1} \ right) = (2n + 1) \ pi $$
Các angle conditionlà điểm tại đó góc của hàm truyền vòng hở là bội số lẻ của 180 0 .
Độ lớn của $ G (s) H (s) $ là -
$$ | G (s) H (s) | = \ sqrt {(-1) ^ 2 + 0 ^ 2} = 1 $$
Điều kiện độ lớn là điểm (thỏa mãn điều kiện góc) tại đó độ lớn của hàm truyền vòng hở là một.