Mason's Gain Formula

Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về Công thức tăng trưởng của Mason. Giả sử có 'N' đường chuyển tiếp trong đồ thị luồng tín hiệu. Độ lợi giữa các nút đầu vào và đầu ra của biểu đồ luồng tín hiệu không là gì ngoàitransfer functioncủa hệ thống. Nó có thể được tính bằng cách sử dụng công thức tăng của Mason.

Mason’s gain formula is

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ N _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$

Ở đâu,

  • C(s) là nút đầu ra

  • R(s) là nút đầu vào

  • T là hàm truyền hoặc thu được giữa $ R (s) $ và $ C (s) $

  • Pilà lợi ích con đường phía trước thứ tôi

$ \ Delta = 1- (sum \: của \: tất cả \: cá nhân \: loop \: tăng) $

$ + (sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: could \: two \: nontouching \: loops) $

$$ - (sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: could \: three \: nontouching \: loops) + ... $$

Δ i nhận được từ Δ bằng cách loại bỏ các vòng dây đang chạm vào đường chuyển tiếp thứ i .

Hãy xem xét biểu đồ luồng tín hiệu sau để hiểu các thuật ngữ cơ bản liên quan ở đây.

Con đường

Nó là một đường đi ngang của các nhánh từ một nút đến bất kỳ nút nào khác theo hướng của các mũi tên nhánh. Nó không nên đi qua bất kỳ nút nào nhiều hơn một lần.

Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 $ và $ y_5 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $

Con đường chuyển tiếp

Đường dẫn tồn tại từ nút đầu vào đến nút đầu ra được gọi là forward path.

Examples - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ và $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

Tăng trưởng về phía trước

Nó thu được bằng cách tính tích của tất cả các khoản lãi nhánh của đường chuyển tiếp.

Examples - $ abcde $ là phần lợi của đường đi phía trước của $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ và abge là mức tăng của đường đi phía trước của $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

Vòng

Đường dẫn bắt đầu từ một nút và kết thúc tại cùng một nút được gọi là loop. Do đó, nó là một con đường khép kín.

Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ và $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $.

Tăng vòng lặp

Nó thu được bằng cách tính tích của tất cả các lợi ích nhánh của một vòng lặp.

Examples - $ b_j $ là mức tăng vòng lặp của $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ và $ g_h $ là mức tăng vòng lặp của $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $.

Vòng lặp không chạm

Đây là các vòng lặp, không nên có bất kỳ nút chung nào.

Examples - Các vòng lặp, $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ và $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ là không chạm.

Tính toán hàm chuyển bằng công thức tăng của Mason

Chúng ta hãy xem xét cùng một đồ thị luồng tín hiệu để tìm hàm truyền.

  • Số lượng đường đi, N = 2.

  • Đường chuyển tiếp đầu tiên là - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

  • Mức tăng đường dẫn chuyển tiếp đầu tiên, $ p_1 = abcde $.

  • Con đường chuyển tiếp thứ hai là - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

  • Mức tăng đường dẫn thứ hai, $ p_2 = abge $.

  • Số vòng lặp riêng lẻ, L = 5.

  • Các vòng lặp là - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ và $ y_5 \ rightarrow y_5 $.

  • Lợi nhuận vòng lặp là - $ l_1 = bj $, $ l_2 = gh $, $ l_3 = cdh $, $ l_4 = di $ và $ l_5 = f $.

  • Số vòng dây không chạm nhau = 2.

  • Cặp vòng lặp không chạm đầu tiên là - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $.

  • Nhận sản phẩm của cặp vòng lặp không chạm đầu tiên, $ l_1l_4 = bjdi $

  • Cặp vòng lặp không chạm thứ hai là - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_5 \ rightarrow y_5 $.

  • Sản phẩm thu được của cặp vòng lặp không chạm thứ hai là - $ l_1l_5 = bjf $

Số lượng vòng lặp không chạm cao hơn (nhiều hơn hai) không có trong biểu đồ luồng tín hiệu này.

Chúng tôi biết,

$ \ Delta = 1- (sum \: của \: tất cả \: cá nhân \: loop \: tăng) $

$ + (sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: could \: two \: nontouching \: loops) $

$$ - (sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: could \: three \: nontouching \: loops) + ... $$

Thay thế các giá trị trong phương trình trên,

$ \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + (bjdi + bjf) - (0) $

$ \ Rightarrow \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf $

Không có vòng lặp nào không chạm vào đường chuyển tiếp đầu tiên.

Vì vậy, $ \ Delta_1 = 1 $.

Tương tự, $ \ Delta_2 = 1 $. Vì, không có vòng lặp nào không chạm vào đường dẫn thứ hai.

Thay thế, N = 2 trong công thức tăng của Mason

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ 2 _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {P_1 \ Delta_1 + P_2 \ Delta_2} {\ Delta} $$

Thay tất cả các giá trị cần thiết vào phương trình trên.

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) 1+ (abge) 1} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$

$$ \ Rightarrow T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$

Do đó, hàm truyền là -

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf} $ $