Hệ thống điều khiển - Lỗi trạng thái ổn định

Độ lệch của đầu ra của hệ thống điều khiển so với đáp ứng mong muốn trong trạng thái ổn định được gọi là steady state error. Nó được biểu thị là $ e_ {ss} $. Chúng ta có thể tìm lỗi trạng thái ổn định bằng cách sử dụng định lý giá trị cuối cùng như sau.

$$ e_ {ss} = \ lim_ {t \ to \ infty} e (t) = \ lim_ {s \ to 0} sE (s) $$

Ở đâu,

E (s) là biến đổi Laplace của tín hiệu lỗi, $ e (t) $

Chúng ta hãy thảo luận cách tìm lỗi trạng thái ổn định cho hệ thống điều khiển phản hồi thống nhất và phản hồi không thống nhất từng cái một.

Lỗi trạng thái ổn định cho hệ thống phản hồi thống nhất

Hãy xem xét sơ đồ khối sau của hệ thống điều khiển vòng kín, đang có phản hồi tiêu cực thống nhất.

Ở đâu,

R (s) là biến đổi Laplace của tín hiệu đầu vào tham chiếu $ r (t) $
C (s) là biến đổi Laplace của tín hiệu đầu ra $ c (t) $

Chúng tôi biết chức năng chuyển giao của hệ thống điều khiển vòng kín phản hồi tiêu cực thống nhất như

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$

$$ \ Rightarrow C (s) = \ frac {R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$

Đầu ra của điểm tổng hợp là -

$$ E (s) = R (s) -C (s) $$

Thay giá trị $ C (s) $ vào phương trình trên.

$$ E (s) = R (s) - \ frac {R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$

$$ \ Rightarrow E (s) = \ frac {R (s) + R (s) G (s) -R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$

$$ \ Rightarrow E (s) = \ frac {R (s)} {1 + G (s)} $$

Thay thế $ E (các) giá trị $ trong công thức lỗi ở trạng thái ổn định

$$ e_ {ss} = \ lim_ {s \ to 0} \ frac {sR (s)} {1 + G (s)} $$

Bảng sau đây cho thấy các lỗi trạng thái ổn định và các hằng số lỗi cho các tín hiệu đầu vào tiêu chuẩn như bước đơn vị, đường dốc đơn vị và tín hiệu parabol đơn vị.

Tín hiệu đầu vào	Lỗi trạng thái ổn định $ e_ {ss} $	Hằng số lỗi
tín hiệu bước đơn vị	$ \ frac {1} {1 + k_p} $	$ K_p = \ lim_ {s \ đến 0} G (s) $
tín hiệu dốc đơn vị	$ \ frac {1} {K_v} $	$ K_v = \ lim_ {s \ đến 0} sG (s) $
tín hiệu parabol đơn vị	$ \ frac {1} {K_a} $	$ K_a = \ lim_ {s \ đến 0} s ^ 2G (s) $

Trong đó, $ K_p $, $ K_v $ và $ K_a $ lần lượt là hằng số lỗi vị trí, hằng số lỗi vận tốc và hằng số lỗi gia tốc.

Note - Nếu bất kỳ tín hiệu đầu vào nào ở trên có biên độ khác với biên độ, thì nhân sai số trạng thái ổn định tương ứng với biên độ đó.

Note- Chúng tôi không thể xác định lỗi trạng thái ổn định cho tín hiệu xung đơn vị vì nó chỉ tồn tại tại điểm gốc. Vì vậy, chúng tôi không thể so sánh phản ứng xung với đầu vào xung đơn vị nhưt biểu thị vô cùng.

Thí dụ

Hãy để chúng tôi tìm lỗi trạng thái ổn định cho tín hiệu đầu vào $ r (t) = \ left (5 + 2t + \ frac {t ^ 2} {2} \ right) u (t) $ của hệ thống điều khiển phản hồi tiêu cực thống nhất với $ G (s) = \ frac {5 (s + 4)} {s ^ 2 (s + 1) (s + 20)} $

Tín hiệu đầu vào đã cho là sự kết hợp của ba tín hiệu bước, đoạn đường nối và đường parabol. Bảng sau đây cho thấy các hằng số lỗi và các giá trị lỗi trạng thái ổn định cho ba tín hiệu này.

Tín hiệu đầu vào	Hằng số lỗi	Lỗi trạng thái ổn định
$ r_1 (t) = 5u (t) $	$ K_p = \ lim_ {s \ to 0} G (s) = \ infty $	$ e_ {ss1} = \ frac {5} {1 + k_p} = 0 $
$ r_2 (t) = 2tu (t) $	$ K_v = \ lim_ {s \ to 0} sG (s) = \ infty $	$ e_ {ss2} = \ frac {2} {K_v} = 0 $
$ r_3 (t) = \ frac {t ^ 2} {2} u (t) $	$ K_a = \ lim_ {s \ to 0} s ^ 2G (s) = 1 $	$ e_ {ss3} = \ frac {1} {k_a} = 1 $

Chúng ta sẽ nhận được lỗi trạng thái ổn định tổng thể, bằng cách cộng ba lỗi trạng thái ổn định ở trên.

$$ e_ {ss} = e_ {ss1} + e_ {ss2} + e_ {ss3} $$

$$ \ Rightarrow e_ {ss} = 0 + 0 + 1 = 1 $$

Do đó, chúng tôi gặp lỗi trạng thái ổn định $ e_ {ss} $ as 1 cho ví dụ này.

Lỗi trạng thái ổn định đối với hệ thống phản hồi không thống nhất

Hãy xem xét sơ đồ khối sau của hệ thống điều khiển vòng kín, đang có phản hồi tiêu cực phi cơ quan.

Chúng tôi có thể tìm thấy lỗi trạng thái ổn định chỉ đối với hệ thống phản hồi thống nhất. Vì vậy, chúng ta phải chuyển đổi hệ thống phản hồi không thống nhất thành hệ thống phản hồi thống nhất. Đối với điều này, hãy bao gồm một đường phản hồi tích cực thống nhất và một đường phản hồi tiêu cực thống nhất trong sơ đồ khối ở trên. Sơ đồ khối mới trông giống như hình dưới đây.

Đơn giản hóa sơ đồ khối trên bằng cách giữ phản hồi tiêu cực thống nhất như nó vốn có. Sau đây là sơ đồ khối đơn giản.

Sơ đồ khối này giống với sơ đồ khối của hệ thống điều khiển vòng kín phản hồi tiêu cực thống nhất. Ở đây, khối duy nhất đang có hàm truyền $ \ frac {G (s)} {1 + G (s) H (s) -G (s)} $ thay vì $ G (s) $. Bây giờ bạn có thể tính toán sai số trạng thái ổn định bằng cách sử dụng công thức sai số trạng thái ổn định cho hệ thống phản hồi tiêu cực thống nhất.

Note- Việc tìm ra sai số trạng thái ổn định đối với hệ thống vòng kín không ổn định là vô nghĩa. Vì vậy, chúng ta phải tính toán các sai số trạng thái ổn định chỉ cho các hệ thống ổn định vòng kín. Điều này có nghĩa là chúng ta cần kiểm tra xem hệ thống điều khiển có ổn định hay không trước khi tìm ra các lỗi ở trạng thái ổn định. Trong chương tiếp theo, chúng ta sẽ thảo luận về sự ổn định liên quan đến các khái niệm.