Hệ thống điều khiển - Hướng dẫn nhanh

Hệ thống điều khiển là một hệ thống, cung cấp phản ứng mong muốn bằng cách kiểm soát đầu ra. Hình dưới đây mô tả sơ đồ khối đơn giản của một hệ thống điều khiển.

Ở đây, hệ thống điều khiển được biểu diễn bằng một khối duy nhất. Vì, đầu ra được điều khiển bởi các đầu vào khác nhau, hệ thống điều khiển có tên này. Chúng tôi sẽ thay đổi đầu vào này với một số cơ chế. Trong phần tiếp theo về hệ thống điều khiển vòng hở và vòng kín, chúng ta sẽ nghiên cứu chi tiết về các khối bên trong hệ thống điều khiển và cách thay đổi đầu vào này để có được phản ứng mong muốn.

Examples - Hệ thống điều khiển đèn giao thông, máy giặt

Traffic lights control systemlà một ví dụ về hệ thống điều khiển. Ở đây, một chuỗi tín hiệu đầu vào được áp dụng cho hệ thống điều khiển này và đầu ra là một trong ba đèn sẽ sáng trong một khoảng thời gian nào đó. Trong thời gian này, hai đèn còn lại sẽ tắt. Dựa trên nghiên cứu giao thông tại một giao lộ cụ thể, có thể xác định thời gian bật và tắt của đèn. Theo đó, tín hiệu đầu vào điều khiển đầu ra. Vì vậy, hệ thống điều khiển đèn giao thông hoạt động đúng giờ.

Phân loại hệ thống điều khiển

Dựa trên một số thông số, chúng ta có thể phân loại hệ thống điều khiển thành các cách sau.

Hệ thống điều khiển thời gian liên tục và thời gian rời rạc

• Hệ thống điều khiển có thể được phân loại là hệ thống điều khiển thời gian liên tục và hệ thống điều khiển thời gian rời rạc dựa trên type of the signal đã sử dụng.

• Trong continuous timehệ thống điều khiển, tất cả các tín hiệu liên tục trong thời gian. Nhưng, trongdiscrete time hệ thống điều khiển, tồn tại một hoặc nhiều tín hiệu thời gian rời rạc.

Hệ thống điều khiển SISO và MIMO

• Hệ thống điều khiển có thể được phân loại là hệ thống điều khiển SISO và hệ thống điều khiển MIMO dựa trên number of inputs and outputs hiện tại.

• SISO(Một đầu vào và một đầu ra) hệ thống điều khiển có một đầu vào và một đầu ra. Trong khi,MIMO (Nhiều đầu vào và nhiều đầu ra) hệ thống điều khiển có nhiều đầu vào và nhiều đầu ra.

Hệ thống điều khiển vòng lặp mở và vòng lặp đóng

Hệ thống điều khiển có thể được phân loại là hệ thống điều khiển vòng mở và hệ thống điều khiển vòng kín dựa trên feedback path.

Trong open loop control systems, đầu ra không được cung cấp trở lại đầu vào. Vì vậy, hành động điều khiển độc lập với đầu ra mong muốn.

Hình sau cho thấy sơ đồ khối của hệ thống điều khiển vòng hở.

Tại đây, một đầu vào được áp dụng cho bộ điều khiển và nó tạo ra tín hiệu kích hoạt hoặc tín hiệu điều khiển. Tín hiệu này được đưa ra như một đầu vào cho một nhà máy hoặc quá trình cần được kiểm soát. Vì vậy, nhà máy tạo ra một đầu ra, được kiểm soát. Hệ thống điều khiển đèn giao thông mà chúng ta đã thảo luận trước đó là một ví dụ về hệ thống điều khiển vòng hở.

Trong closed loop control systems, đầu ra được đưa trở lại đầu vào. Vì vậy, hành động điều khiển phụ thuộc vào đầu ra mong muốn.

Hình sau mô tả sơ đồ khối của hệ thống điều khiển vòng kín phản hồi âm.

Bộ phát hiện lỗi tạo ra một tín hiệu lỗi, là sự khác biệt giữa đầu vào và tín hiệu phản hồi. Tín hiệu phản hồi này nhận được từ khối (các phần tử phản hồi) bằng cách coi đầu ra của hệ thống tổng thể là đầu vào của khối này. Thay vì đầu vào trực tiếp, tín hiệu lỗi được áp dụng làm đầu vào cho bộ điều khiển.

Vì vậy, bộ điều khiển tạo ra một tín hiệu kích hoạt để điều khiển nhà máy. Trong sự kết hợp này, đầu ra của hệ thống điều khiển được điều chỉnh tự động cho đến khi chúng tôi nhận được phản hồi mong muốn. Do đó, hệ thống điều khiển vòng kín còn được gọi là hệ thống điều khiển tự động. Hệ thống điều khiển đèn giao thông có cảm biến ở đầu vào là một ví dụ về hệ thống điều khiển vòng kín.

Sự khác biệt giữa hệ thống điều khiển vòng hở và vòng kín được đề cập trong bảng sau.

Hệ thống điều khiển vòng lặp mở	Hệ thống kiểm soát vòng lặp kín
Hành động điều khiển độc lập với đầu ra mong muốn.	Hành động kiểm soát phụ thuộc vào đầu ra mong muốn.
Đường dẫn phản hồi không có.	Đường dẫn phản hồi hiện tại.
Chúng còn được gọi là non-feedback control systems.	Chúng còn được gọi là feedback control systems.
Dễ dàng thiết kế.	Khó thiết kế.
Đây là kinh tế.	Chúng đắt hơn.
Không chính xác.	Chính xác.

Nếu đầu ra hoặc một số phần của đầu ra được trả về phía đầu vào và được sử dụng như một phần của đầu vào hệ thống, thì nó được gọi là feedback. Thông tin phản hồi đóng một vai trò quan trọng để cải thiện hiệu suất của hệ thống điều khiển. Trong chương này, chúng ta hãy thảo luận về các loại phản hồi và tác dụng của phản hồi.

Các loại phản hồi

Có hai loại phản hồi -

• Phản hồi tích cực
• Phản hồi tiêu cực

Phản hồi tích cực

Phản hồi tích cực bổ sung đầu vào tham chiếu, $R(s)$và phản hồi đầu ra. Hình sau cho thấy sơ đồ khối củapositive feedback control system.

Khái niệm về hàm truyền sẽ được thảo luận trong các chương sau. Hiện tại, hãy xem xét chức năng chuyển giao của hệ thống điều khiển phản hồi tích cực là,

$T=\frac{G}{1-GH}$ (Phương trình 1)

Ở đâu,

• T là hàm truyền hoặc độ lợi tổng thể của hệ thống điều khiển phản hồi tích cực.

• G là độ lợi vòng hở, là hàm của tần số.

• H là độ lợi của đường phản hồi, là hàm của tần số.

Phản hồi tiêu cực

Phản hồi tiêu cực làm giảm lỗi giữa đầu vào tham chiếu, $R(s)$và đầu ra của hệ thống. Hình sau cho thấy sơ đồ khối củanegative feedback control system.

Chức năng chuyển giao của hệ thống điều khiển phản hồi tiêu cực là,

$T=\frac{G}{1+GH}$ (Phương trình 2)

Ở đâu,

• T là chức năng chuyển giao hoặc độ lợi tổng thể của hệ thống điều khiển phản hồi tiêu cực.

• G là độ lợi vòng hở, là hàm của tần số.

• H là độ lợi của đường phản hồi, là hàm của tần số.

Đạo hàm của hàm truyền trên được trình bày trong các chương sau.

Ảnh hưởng của phản hồi

Bây giờ chúng ta hãy hiểu tác động của phản hồi.

Ảnh hưởng của phản hồi đến mức tăng tổng thể

• Từ phương trình 2, chúng ta có thể nói rằng độ lợi tổng thể của hệ thống điều khiển vòng kín phản hồi tiêu cực là tỷ số giữa 'G' và (1 + GH). Vì vậy, mức tăng tổng thể có thể tăng hoặc giảm tùy thuộc vào giá trị của (1 + GH).

• Nếu giá trị của (1 + GH) nhỏ hơn 1, thì độ lợi tổng thể tăng lên. Trong trường hợp này, giá trị 'GH' là âm vì độ lợi của đường phản hồi là âm.

• Nếu giá trị của (1 + GH) lớn hơn 1, thì độ lợi tổng thể giảm. Trong trường hợp này, giá trị 'GH' là dương vì độ lợi của đường phản hồi là dương.

Nói chung, 'G' và 'H' là các hàm của tần số. Vì vậy, phản hồi sẽ làm tăng độ lợi tổng thể của hệ thống trong một dải tần số và giảm trong dải tần số khác.

Ảnh hưởng của phản hồi đến độ nhạy

Sensitivity tổng lợi ích của hệ thống điều khiển vòng kín phản hồi tiêu cực (T) đến sự biến đổi trong độ lợi vòng lặp mở (G) được định nghĩa là

$S_{G}^{T} = \frac{\frac{\partial T}{T}}{\frac{\partial G}{G}}=\frac{Percentage\: change \: in \:T}{Percentage\: change \: in \:G}$ (Phương trình 3)

Ở đâu, ∂T là sự thay đổi gia tăng trong T do sự thay đổi gia tăng trong G.

Chúng ta có thể viết lại phương trình 3 dưới dạng

$S_{G}^{T}=\frac{\partial T}{\partial G}\frac{G}{T}$ (Phương trình 4)

Thực hiện phân biệt từng phần đối với G trên cả hai vế của Phương trình 2.

$\frac{\partial T}{\partial G}=\frac{\partial}{\partial G}\left (\frac{G}{1+GH} \right )=\frac{(1+GH).1-G(H)}{(1+GH)^2}=\frac{1}{(1+GH)^2}$ (Phương trình 5)

Từ phương trình 2, bạn sẽ nhận được

$\frac{G}{T}=1+GH$ (Phương trình 6)

Thay thế phương trình 5 và phương trình 6 trong phương trình 4.

$$S_{G}^{T}=\frac{1}{(1+GH)^2}(1+GH)=\frac{1}{1+GH}$$

Vì vậy, chúng tôi có sensitivitycủa tổng độ lợi của hệ thống điều khiển vòng kín là nghịch đảo của (1 + GH). Vì vậy, Độ nhạy có thể tăng hoặc giảm tùy thuộc vào giá trị của (1 + GH).

• Nếu giá trị của (1 + GH) nhỏ hơn 1, thì độ nhạy tăng lên. Trong trường hợp này, giá trị 'GH' là âm vì độ lợi của đường phản hồi là âm.

• Nếu giá trị của (1 + GH) lớn hơn 1, thì độ nhạy giảm. Trong trường hợp này, giá trị 'GH' là dương vì độ lợi của đường phản hồi là dương.

Nói chung, 'G' và 'H' là các hàm của tần số. Vì vậy, phản hồi sẽ làm tăng độ nhạy của độ lợi hệ thống trong một dải tần và giảm trong dải tần khác. Do đó, chúng ta phải chọn các giá trị của 'GH' sao cho hệ thống không nhạy cảm hoặc ít nhạy cảm hơn với các biến thể tham số.

Ảnh hưởng của phản hồi đến tính ổn định

• Một hệ thống được cho là ổn định, nếu đầu ra của nó được kiểm soát. Nếu không, nó được cho là không ổn định.

• Trong phương trình 2, nếu giá trị mẫu số bằng 0 (tức là GH = -1), thì đầu ra của hệ thống điều khiển sẽ là vô hạn. Vì vậy, hệ thống điều khiển trở nên không ổn định.

Vì vậy, chúng ta phải lựa chọn đúng thông tin phản hồi để làm cho hệ thống điều khiển ổn định.

Ảnh hưởng của phản hồi đối với tiếng ồn

Để biết ảnh hưởng của phản hồi đối với nhiễu, chúng ta hãy so sánh quan hệ hàm truyền có và không có phản hồi do tín hiệu nhiễu.

Xem xét một open loop control system với tín hiệu nhiễu như hình dưới đây.

Các open loop transfer function do một mình tín hiệu nhiễu là

$\frac{C(s)}{N(s)}=G_b$ (Phương trình 7)

Nó có được bằng cách thực hiện đầu vào khác $R(s)$ bằng không.

Hãy xem xét một closed loop control system với tín hiệu nhiễu như hình dưới đây.

Các closed loop transfer function do một mình tín hiệu nhiễu là

$\frac{C(s)}{N(s)}=\frac{G_b}{1+G_aG_bH}$ (Phương trình 8)

Nó có được bằng cách thực hiện đầu vào khác $R(s)$ bằng không.

So sánh phương trình 7 và phương trình 8,

Trong hệ thống điều khiển vòng kín, độ lợi do tín hiệu nhiễu được giảm theo hệ số $(1+G_a G_b H)$ với điều kiện là thuật ngữ $(1+G_a G_b H)$ lớn hơn một.

Hệ thống điều khiển có thể được biểu diễn bằng một tập hợp các phương trình toán học được gọi là mathematical model. Các mô hình này rất hữu ích cho việc phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển. Phân tích hệ thống điều khiển có nghĩa là tìm ra đầu ra khi chúng ta biết đầu vào và mô hình toán học. Thiết kế hệ thống điều khiển có nghĩa là tìm ra mô hình toán học khi chúng ta biết đầu vào và đầu ra.

Các mô hình toán học sau đây hầu hết được sử dụng.

• Mô hình phương trình vi phân
• Chuyển mô hình chức năng
• Mô hình không gian trạng thái

Chúng ta hãy thảo luận về hai mô hình đầu tiên trong chương này.

Mô hình phương trình vi phân

Mô hình phương trình vi phân là một mô hình toán học miền thời gian của hệ thống điều khiển. Làm theo các bước sau cho mô hình phương trình vi phân.

• Áp dụng các luật cơ bản cho hệ thống điều khiển đã cho.

• Nhận phương trình vi phân theo đầu vào và đầu ra bằng cách loại bỏ (các) biến trung gian.

Thí dụ

Xét hệ thống điện sau đây như hình vẽ sau. Mạch này bao gồm điện trở, cuộn cảm và tụ điện. Tất cả các phần tử điện này được kết nối trongseries. Điện áp đầu vào đặt vào mạch này là$v_i$ và điện áp trên tụ là điện áp ra $v_o$.

Phương trình lưới cho mạch này là

$$v_i=Ri+L\frac{\text{d}i}{\text{d}t}+v_o$$

Thay thế, dòng điện đi qua tụ điện $i=c\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}$ trong phương trình trên.

$$\Rightarrow\:v_i=RC\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}+LC\frac{\text{d}^2v_o}{\text{d}t^2}+v_o$$

$$\Rightarrow\frac{\text{d}^2v_o}{\text{d}t^2}+\left ( \frac{R}{L} \right )\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{LC} \right )v_o=\left ( \frac{1}{LC} \right )v_i$$

Phương trình trên là một bậc hai differential equation.

Mô hình chức năng chuyển giao

Mô hình hàm truyền là một mô hình toán học miền s của các hệ thống điều khiển. CácTransfer function của hệ thống Bất biến thời gian tuyến tính (LTI) được định nghĩa là tỷ số giữa biến đổi Laplace của đầu ra và biến đổi Laplace của đầu vào bằng cách giả sử tất cả các điều kiện ban đầu bằng không.

Nếu $x(t)$ và $y(t)$ là đầu vào và đầu ra của hệ thống LTI, sau đó các phép biến đổi Laplace tương ứng là $X(s)$ và $Y(s)$.

Do đó, hàm truyền của hệ thống LTI bằng tỷ lệ $Y(s)$ và $X(s)$.

$$i.e.,\: Transfer\: Function =\frac{Y(s)}{X(s)}$$

Mô hình hàm truyền của hệ thống LTI được thể hiện trong hình sau.

Ở đây, chúng tôi đại diện cho một hệ thống LTI với một khối có chức năng truyền bên trong nó. Và khối này có một đầu vào$X(s)$ & đầu ra $Y(s)$.

Thí dụ

Trước đây, chúng ta có phương trình vi phân của hệ thống điện là

$$\frac{\text{d}^2v_o}{\text{d}t^2}+\left ( \frac{R}{L} \right )\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{LC} \right )v_o=\left ( \frac{1}{LC} \right )v_i$$

Áp dụng phép biến đổi Laplace trên cả hai mặt.

$$s^2V_o(s)+\left ( \frac{sR}{L} \right )V_o(s)+\left ( \frac{1}{LC} \right )V_o(s)=\left ( \frac{1}{LC} \right )V_i(s)$$

$$\Rightarrow \left \{ s^2+\left ( \frac{R}{L} \right )s+\frac{1}{LC} \right \}V_o(s)=\left ( \frac{1}{LC} \right )V_i(s)$$

$$\Rightarrow \frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{\frac{1}{LC}}{s^2+\left ( \frac{R}{L} \right )s+\frac{1}{LC}}$$

Ở đâu,

• $v_i(s)$ là biến đổi Laplace của điện áp đầu vào $v_i$

• $v_o(s)$ là biến đổi Laplace của điện áp đầu ra $v_o$

Phương trình trên là một transfer functioncủa hệ thống điện bậc hai. Mô hình chức năng chuyển giao của hệ thống này được hiển thị bên dưới.

Ở đây, chúng tôi hiển thị một hệ thống điện bậc hai với một khối có chức năng truyền tải bên trong nó. Và khối này có một đầu vào$V_i(s)$ & một đầu ra $V_o(s)$.

Trong chương này, chúng ta hãy thảo luận về differential equation modelingcủa hệ thống cơ khí. Có hai loại hệ thống cơ khí dựa trên loại chuyển động.

• Hệ thống cơ tịnh tiến
• Hệ thống cơ quay

Mô hình hóa các hệ thống cơ tịnh tiến

Hệ thống cơ tịnh tiến chuyển động dọc theo một straight line. Các hệ thống này chủ yếu bao gồm ba yếu tố cơ bản. Đó là khối lượng, lò xo và bảng điều khiển hoặc van điều tiết.

Nếu một lực tác dụng lên một hệ cơ học tịnh tiến, thì nó sẽ bị phản lại bởi các lực ngược lại do khối lượng, độ đàn hồi và ma sát của hệ. Vì lực tác dụng và lực tác dụng ngược chiều nhau nên tổng đại số của các lực tác dụng lên hệ bằng không. Bây giờ chúng ta hãy xem lực phản đối của ba yếu tố này.

Khối lượng

Khối lượng là tài sản của một cơ thể, nó lưu trữ kinetic energy. Nếu một lực được tác dụng lên một vật có khối lượngM, thì nó bị chống lại bởi một lực đối nghịch do khối lượng. Lực đối nghịch này tỷ lệ với gia tốc của cơ thể. Cho rằng lực đàn hồi và ma sát là không đáng kể.

$$F_m\propto\: a$$

$$\Rightarrow F_m=Ma=M\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}$$

$$F=F_m=M\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}$$

Ở đâu,

• F là lực tác dụng

• F_m là lực đối lập do khối lượng

• M là khối lượng

• a đang tăng tốc

• x là sự dịch chuyển

Mùa xuân

Spring là một phần tử, lưu trữ potential energy. Nếu một lực tác dụng vào lò xoKthì nó bị một lực ngược chiều do lò xo đàn hồi. Lực đối nghịch này tỉ lệ với độ dịch chuyển của lò xo. Giả sử khối lượng và ma sát không đáng kể.

$$F\propto\: x$$

$$\Rightarrow F_k=Kx$$

$$F=F_k=Kx$$

Ở đâu,

• F là lực tác dụng

• F_k là lực ngược lại do lò xo đàn hồi

• K là mùa xuân không đổi

• x là sự dịch chuyển

Dashpot

Nếu một lực được áp dụng trên dấu gạch ngang B, sau đó nó bị phản đối bởi một lực lượng đối lập do frictioncủa bảng điều khiển. Lực đối nghịch này tỷ lệ với vận tốc của cơ thể. Giả sử khối lượng và độ đàn hồi không đáng kể.

$$F_b\propto\: \nu$$

$$\Rightarrow F_b=B\nu=B\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$$

$$F=F_b=B\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$$

Ở đâu,

• F_b là lực đối lập do ma sát của dấu gạch ngang

• B là hệ số ma sát

• v là vận tốc

• x là sự dịch chuyển

Mô hình hóa các hệ thống cơ quay

Hệ cơ quay chuyển động quanh một trục cố định. Các hệ thống này chủ yếu bao gồm ba yếu tố cơ bản. Những người đang cómoment of inertia, torsional spring và dashpot.

Nếu một mômen được đặt vào một hệ thống cơ học quay, thì nó bị các mômen ngược chiều do mômen quán tính, đàn hồi và ma sát của hệ. Vì mômen tác dụng và mômen ngược chiều ngược nhau nên tổng đại số của mômen tác dụng lên hệ bằng không. Bây giờ chúng ta hãy xem mô-men xoắn đối lập bởi ba yếu tố này riêng lẻ.

Lực quán tính

Trong hệ cơ học tịnh tiến, khối lượng tích trữ động năng. Tương tự, trong hệ thống cơ học quay, mômen quán tính lưu trữkinetic energy.

Nếu một mômen được đặt lên một vật có mômen quán tính J, thì nó bị một mômen ngược chiều do mômen quán tính gây ra. Mômen đối kháng này tỷ lệ với gia tốc góc của vật. Cho rằng lực đàn hồi và ma sát là không đáng kể.

$$T_j\propto\: \alpha$$

$$\Rightarrow T_j=J\alpha=J\frac{\text{d}^2\theta}{\text{d}t^2}$$

$$T=T_j=J\frac{\text{d}^2\theta}{\text{d}t^2}$$

Ở đâu,

• T là mô-men xoắn được áp dụng

• T_j là mômen ngược chiều do mômen quán tính

• J là mômen quán tính

• α là gia tốc góc

• θ là dịch chuyển góc

Mùa xuân xoắn

Trong hệ thống cơ học tịnh tiến, lò xo tích trữ thế năng. Tương tự, trong hệ thống cơ học quay, lò xo xoắnpotential energy.

Nếu một mômen được đặt vào lò xo xoắn Kthì nó bị một mômen ngược chiều ngược lại do lực đàn hồi của lò xo xoắn. Mômen đối kháng này tỷ lệ với độ dịch chuyển góc của lò xo xoắn. Cho rằng mômen quán tính và ma sát là không đáng kể.

$$T_k\propto\: \theta$$

$$\Rightarrow T_k=K\theta$$

$$T=T_k=K\theta$$

Ở đâu,

• T là mô-men xoắn được áp dụng

• T_k là mômen ngược chiều do đàn hồi của lò xo xoắn

• K lò xo xoắn là hằng số

• θ là dịch chuyển góc

Dashpot

Nếu một mô-men xoắn được áp dụng trên bảng điều khiển B, sau đó nó bị chống lại bởi một mô-men xoắn ngược lại do rotational frictioncủa bảng điều khiển. Mômen đối kháng này tỷ lệ với vận tốc góc của vật. Cho rằng mômen quán tính và mômen đàn hồi không đáng kể.

$$T_b\propto\: \omega$$

$$\Rightarrow T_b=B\omega=B\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}$$

$$T=T_b=B\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}$$

Ở đâu,

• T_b là mô-men xoắn ngược lại do ma sát quay của dấu gạch ngang

• B là hệ số ma sát quay

• ω là vận tốc góc

• θ là dịch chuyển góc

Hai hệ thống được cho là analogous với nhau nếu thỏa mãn hai điều kiện sau.

• Hai hệ thống khác nhau về thể chất
• Mô hình phương trình vi phân của hai hệ thống này giống nhau

Hệ thống điện và hệ thống cơ khí là hai hệ thống vật lý khác nhau. Có hai loại tương tự điện của hệ thống cơ tịnh tiến. Đó là tương tự điện áp lực và tương tự lực lượng hiện tại.

Tương tự điện áp lực

Trong phép tương tự điện áp lực, các phương trình toán học của translational mechanical system được so sánh với phương trình lưới của hệ thống điện.

Xét hệ cơ tịnh tiến như hình vẽ sau.

Các force balanced equation cho hệ thống này là

$$F=F_m+F_b+F_k$$

$\Rightarrow F=M\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}+B\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+Kx$ (Equation 1)

Xét hệ thống điện sau đây như hình vẽ sau. Mạch này bao gồm một điện trở, một cuộn cảm và một tụ điện. Tất cả các phần tử điện này được kết nối trong một loạt. Điện áp đầu vào đặt vào mạch này là$V$ vôn và cường độ dòng điện chạy qua đoạn mạch là $i$ Amps.

Phương trình lưới cho mạch này là

$V=Ri+L\frac{\text{d}i}{\text{d}t}+\frac{1}{c}\int idt$ (Equation 2)

Thay thế, $i=\frac{\text{d}q}{\text{d}t}$ trong phương trình 2.

$$V=R\frac{\text{d}q}{\text{d}t}+L\frac{\text{d}^2q}{\text{d}t^2}+\frac{q}{C}$$

$\Rightarrow V=L\frac{\text{d}^2q}{\text{d}t^2}+R\frac{\text{d}q}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{c} \right )q$ (Equation 3)

Bằng cách so sánh phương trình 1 và phương trình 3, chúng ta sẽ nhận được các đại lượng tương tự của hệ thống cơ tịnh tiến và hệ thống điện. Bảng sau đây cho thấy các đại lượng tương tự này.

Hệ thống cơ tịnh tiến	Hệ thống điện
Lực lượng (F)	Điện áp (V)
Khối lượng (M)	Điện cảm (L)
Hệ số ma sát (B)	Kháng cự (R)
Hằng số mùa xuân (K)	Đối ứng của điện dung $(\frac{1}{c})$
Độ dịch chuyển (x)	Phí (q)
Vận tốc (v)	Hiện tại (i)

Tương tự, có sự tương tự điện áp mô-men xoắn đối với các hệ thống cơ học quay. Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về sự tương tự này.

Tương tự điện áp mô-men xoắn

Tương tự như vậy, các phương trình toán học của rotational mechanical system được so sánh với phương trình lưới của hệ thống điện.

Hệ thống cơ quay được thể hiện trong hình sau.

Phương trình cân bằng mômen là

$$T=T_j+T_b+T_k$$

$\Rightarrow T=J\frac{\text{d}^2\theta}{\text{d}t^2}+B\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}+k\theta$ (Equation 4)

Bằng cách so sánh phương trình 4 và phương trình 3, chúng ta sẽ nhận được các đại lượng tương tự của hệ thống cơ quay và hệ thống điện. Bảng sau đây cho thấy các đại lượng tương tự này.

Hệ thống cơ quay	Hệ thống điện
Mô-men xoắn (T)	Điện áp (V)
Mômen quán tính (J)	Điện cảm (L)
Hệ số ma sát quay (B)	Kháng cự (R)
Hằng số xoắn của lò xo (K)	Đối ứng của điện dung $(\frac{1}{c})$
Độ dịch chuyển góc (θ)	Phí (q)
Vận tốc góc (ω)	Hiện tại (i)

Lực lượng tương tự hiện tại

Trong phép tương tự hiện tại, các phương trình toán học của translational mechanical system được so sánh với các phương trình nút của hệ thống điện.

Xét hệ thống điện sau đây như hình vẽ sau. Mạch này bao gồm nguồn dòng, điện trở, cuộn cảm và tụ điện. Tất cả các phần tử điện này được kết nối song song.

Phương trình nút là

$i=\frac{V}{R}+\frac{1}{L}\int Vdt+C\frac{\text{d}V}{\text{d}t}$ (Equation 5)

Thay thế, $V=\frac{\text{d}\Psi}{\text{d}t}$ trong phương trình 5.

$$i=\frac{1}{R}\frac{\text{d}\Psi}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{L} \right )\Psi+C\frac{\text{d}^2\Psi}{\text{d}t^2}$$

$\Rightarrow i=C\frac{\text{d}^2\Psi}{\text{d}t^2}+\left ( \frac{1}{R} \right )\frac{\text{d}\Psi}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{L} \right )\Psi$ (Equation 6)

Bằng cách so sánh phương trình 1 và phương trình 6, chúng ta sẽ nhận được các đại lượng tương tự của hệ thống cơ tịnh tiến và hệ thống điện. Bảng sau đây cho thấy các đại lượng tương tự này.

Hệ thống cơ tịnh tiến	Hệ thống điện
Lực lượng (F)	Hiện tại (i)
Khối lượng (M)	Điện dung (C)
Hệ số ma sát (B)	Đối ứng của kháng chiến$(\frac{1}{R})$
Hằng số mùa xuân (K)	Đối ứng của điện cảm$(\frac{1}{L})$
Độ dịch chuyển (x)	Từ thông (ψ)
Vận tốc (v)	Điện áp (V)

Tương tự, có một sự tương tự về dòng mô-men xoắn đối với các hệ thống cơ khí quay. Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về sự tương tự này.

Tương tự mô-men xoắn hiện tại

Trong sự tương tự này, các phương trình toán học của rotational mechanical system được so sánh với các phương trình lưới nút của hệ thống điện.

Bằng cách so sánh phương trình 4 và phương trình 6, chúng ta sẽ nhận được các đại lượng tương tự của hệ thống cơ quay và hệ thống điện. Bảng sau đây cho thấy các đại lượng tương tự này.

Hệ thống cơ quay	Hệ thống điện
Mô-men xoắn (T)	Hiện tại (i)
Mômen quán tính (J)	Điện dung (C)
Hệ số ma sát quay (B)	Đối ứng của kháng chiến$(\frac{1}{R})$
Hằng số xoắn của lò xo (K)	Đối ứng của điện cảm$(\frac{1}{L})$
Độ dịch chuyển góc (θ)	Từ thông (ψ)
Vận tốc góc (ω)	Điện áp (V)

Trong chương này, chúng ta đã thảo luận về sự tương tự điện của các hệ thống cơ khí. Những phép loại suy này rất hữu ích để nghiên cứu và phân tích hệ thống không điện giống như hệ thống cơ khí từ hệ thống điện tương tự.

Sơ đồ khối bao gồm một khối duy nhất hoặc kết hợp nhiều khối. Chúng được sử dụng để biểu diễn hệ thống điều khiển ở dạng hình ảnh.

Các yếu tố cơ bản của sơ đồ khối

Các yếu tố cơ bản của một sơ đồ khối là một khối, điểm tổng và điểm cất cánh. Chúng ta hãy xem xét sơ đồ khối của một hệ thống điều khiển vòng kín như trong hình sau để xác định các phần tử này.

Sơ đồ khối trên bao gồm hai khối có chức năng truyền G (s) và H (s). Nó cũng có một điểm tổng kết và một điểm cất cánh. Các mũi tên chỉ hướng của luồng tín hiệu. Bây giờ chúng ta hãy thảo luận từng yếu tố một.

Khối

Chức năng truyền của một thành phần được biểu diễn bằng một khối. Khối có một đầu vào và một đầu ra.

Hình dưới đây cho thấy một khối có (các) đầu vào X, (các) đầu ra Y và (các) hàm truyền G.

Chức năng chuyển giao,$G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$

$$\Rightarrow Y(s)=G(s)X(s)$$

Đầu ra của khối có được bằng cách nhân hàm truyền của khối với đầu vào.

Điểm tổng kết

Điểm tổng hợp được biểu diễn bằng một vòng tròn có dấu chéo (X) bên trong nó. Nó có hai hoặc nhiều đầu vào và đầu ra duy nhất. Nó tạo ra tổng đại số của các đầu vào. Nó cũng thực hiện tổng hoặc trừ hoặc kết hợp tổng và trừ của các đầu vào dựa trên cực của các đầu vào. Hãy để chúng tôi xem ba hoạt động này từng cái một.

Hình dưới đây cho thấy điểm tổng với hai đầu vào (A, B) và một đầu ra (Y). Ở đây, các đầu vào A và B có dấu hiệu tích cực. Vì vậy, điểm tổng hợp tạo ra đầu ra, Y làsum of A and B.

tức là, Y = A + B.

Hình dưới đây cho thấy điểm tổng với hai đầu vào (A, B) và một đầu ra (Y). Ở đây, đầu vào A và B có dấu hiệu trái ngược nhau, tức là A có dấu dương và B là dấu âm. Vì vậy, điểm tổng hợp tạo ra đầu raY như là difference of A and B.

Y = A + (-B) = A - B.

Hình dưới đây cho thấy điểm tổng với ba đầu vào (A, B, C) và một đầu ra (Y). Ở đây, đầu vào A và B đang có dấu hiệu tích cực và C đang có dấu hiệu tiêu cực. Vì vậy, điểm tổng hợp tạo ra đầu raY như

Y = A + B + (−C) = A + B - C.

Điểm cất cánh

Điểm cất cánh là điểm mà từ đó cùng một tín hiệu đầu vào có thể được truyền qua nhiều nhánh. Điều đó có nghĩa là với sự trợ giúp của điểm cất cánh, chúng ta có thể áp dụng cùng một đầu vào cho một hoặc nhiều khối, tổng điểm.

Trong hình sau, điểm cất cánh được sử dụng để kết nối cùng một đầu vào, R (các) với hai khối nữa.

Trong hình sau đây, điểm cất cánh được sử dụng để kết nối (các) đầu ra C, là một trong những đầu vào cho điểm tổng.

Biểu diễn sơ đồ khối của hệ thống điện

Trong phần này, chúng ta hãy biểu diễn một hệ thống điện bằng sơ đồ khối. Hệ thống điện chủ yếu chứa ba yếu tố cơ bản:resistor, inductor and capacitor.

Xét một đoạn mạch RLC nối tiếp như hình vẽ sau. Trong đó, V _i (t) và V _o (t) là điện áp đầu vào và đầu ra. Gọi i (t) là cường độ dòng điện chạy qua mạch. Mạch này nằm trong miền thời gian.

Bằng cách áp dụng phép biến đổi Laplace cho mạch này, sẽ nhận được mạch trong miền s. Mạch điện như hình sau.

Từ mạch trên, ta có thể viết

$$I(s)=\frac{V_i(s)-V_o(s)}{R+sL}$$

$\Rightarrow I(s)=\left \{ \frac{1}{R+sL} \right \}\left \{ V_i(s)-V_o(s) \right \}$ (Equation 1)

$V_o(s)=\left ( \frac{1}{sC} \right )I(s)$ (Equation 2)

Bây giờ chúng ta hãy vẽ sơ đồ khối cho hai phương trình này riêng lẻ. Và sau đó kết hợp các sơ đồ khối đó một cách hợp lý để có được sơ đồ khối tổng thể của chuỗi mạch RLC (miền s).

Phương trình 1 có thể được thực hiện với một khối có chức năng truyền, $\frac{1}{R+sL}$. Đầu vào và đầu ra của khối này là$\left \{ V_i(s)-V_o(s) \right \}$ và $I(s)$. Chúng tôi yêu cầu một điểm tổng hợp để có được$\left \{ V_i(s)-V_o(s) \right \}$. Sơ đồ khối của Phương trình 1 được thể hiện trong hình sau.

Phương trình 2 có thể được thực hiện với một khối có chức năng truyền, $\frac{1}{sC}$. Đầu vào và đầu ra của khối này là$I(s)$ và $V_o(s)$. Sơ đồ khối của Phương trình 2 được thể hiện trong hình sau.

Sơ đồ khối tổng thể của chuỗi mạch RLC (miền s) được thể hiện trong hình sau.

Tương tự, bạn có thể vẽ block diagram của bất kỳ mạch điện hoặc hệ thống nào chỉ bằng cách làm theo quy trình đơn giản này.

• Biến đổi mạch điện miền thời gian thành mạch điện miền s bằng cách áp dụng phép biến đổi Laplace.

• Viết phương trình cho dòng điện chạy qua tất cả các phần tử nhánh nối tiếp và điện áp trên tất cả các nhánh shunt.

• Vẽ riêng các sơ đồ khối cho tất cả các phương trình trên.

• Kết hợp tất cả các sơ đồ khối này một cách hợp lý để có được sơ đồ khối tổng thể của mạch điện (miền s).

Đại số sơ đồ khối không là gì khác ngoài đại số liên quan đến các yếu tố cơ bản của sơ đồ khối. Đại số này đề cập đến việc biểu diễn bằng hình ảnh của các phương trình đại số.

Kết nối cơ bản cho các khối

Có ba kiểu kết nối cơ bản giữa hai khối.

Kết nối loạt

Kết nối chuỗi còn được gọi là cascade connection. Trong hình sau, hai khối có chức năng chuyển$G_1(s)$ và $G_2(s)$ được mắc nối tiếp.

Đối với sự kết hợp này, chúng tôi sẽ nhận được đầu ra $Y(s)$ như

$$Y(s)=G_2(s)Z(s)$$

Ở đâu, $Z(s)=G_1(s)X(s)$

$$\Rightarrow Y(s)=G_2(s)[G_1(s)X(s)]=G_1(s)G_2(s)X(s)$$

$$\Rightarrow Y(s)=\lbrace G_1(s)G_2(s)\rbrace X(s)$$

So sánh phương trình này với dạng chuẩn của phương trình đầu ra, $Y(s)=G(s)X(s)$. Ở đâu,$G(s) = G_1(s)G_2(s)$.

Điều đó có nghĩa là chúng tôi có thể đại diện cho series connectioncủa hai khối với một khối duy nhất. Chức năng chuyển giao của khối duy nhất này làproduct of the transfer functionscủa hai khối đó. Sơ đồ khối tương đương được hiển thị bên dưới.

Tương tự, bạn có thể biểu diễn kết nối chuỗi của các khối 'n' với một khối duy nhất. Hàm truyền của khối đơn này là sản phẩm của các hàm truyền của tất cả các khối 'n' đó.

Kết nối song song

Các khối được kết nối trong parallel sẽ có same input. Trong hình sau, hai khối có chức năng chuyển$G_1(s)$ và $G_2(s)$được kết nối song song. Đầu ra của hai khối này được kết nối với điểm tổng.

Đối với sự kết hợp này, chúng tôi sẽ nhận được đầu ra $Y(s)$ như

$$Y(s)=Y_1(s)+Y_2(s)$$

Ở đâu, $Y_1(s)=G_1(s)X(s)$ và $Y_2(s)=G_2(s)X(s)$

$$\Rightarrow Y(s)=G_1(s)X(s)+G_2(s)X(s)=\lbrace G_1(s)+G_2(s)\rbrace X(s)$$

So sánh phương trình này với dạng chuẩn của phương trình đầu ra, $Y(s)=G(s)X(s)$.

Ở đâu, $G(s)=G_1(s)+G_2(s)$.

Điều đó có nghĩa là chúng tôi có thể đại diện cho parallel connectioncủa hai khối với một khối duy nhất. Chức năng chuyển giao của khối duy nhất này làsum of the transfer functionscủa hai khối đó. Sơ đồ khối tương đương được hiển thị bên dưới.

Tương tự, bạn có thể biểu diễn kết nối song song của 'n' khối với một khối duy nhất. Hàm truyền của khối đơn này là tổng đại số của các hàm truyền của tất cả các khối 'n' đó.

Kết nối phản hồi

Như chúng ta đã thảo luận trong các chương trước, có hai loại feedback- phản hồi tích cực và phản hồi tiêu cực. Hình sau cho thấy hệ thống điều khiển phản hồi tiêu cực. Ở đây, hai khối có chức năng chuyển$G(s)$ và $H(s)$ tạo thành một vòng khép kín.

Đầu ra của điểm tổng hợp là -

$$E(s)=X(s)-H(s)Y(s)$$

Đầu ra $Y(s)$ Là -

$$Y(s)=E(s)G(s)$$

Người thay thế $E(s)$ giá trị trong phương trình trên.

$$Y(s)=\left \{ X(s)-H(s)Y(s)\rbrace G(s) \right\}$$

$$Y(s)\left \{ 1+G(s)H(s)\rbrace = X(s)G(s) \right\}$$

$$\Rightarrow \frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$$

Do đó, chức năng chuyển vòng kín phản hồi tiêu cực là $\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$

Điều này có nghĩa là chúng ta có thể biểu diễn kết nối phản hồi tiêu cực của hai khối với một khối duy nhất. Chức năng truyền của khối đơn này là chức năng truyền vòng kín của phản hồi âm. Sơ đồ khối tương đương được hiển thị bên dưới.

Tương tự, bạn có thể biểu diễn kết nối phản hồi tích cực của hai khối bằng một khối duy nhất. Hàm truyền của khối đơn này là hàm truyền vòng kín của phản hồi tích cực, tức là$\frac{G(s)}{1-G(s)H(s)}$

Đại số sơ đồ khối để tính tổng điểm

Có hai khả năng thay đổi điểm tổng đối với các khối -

• Chuyển điểm tổng kết sau khối
• Chuyển điểm tổng kết trước khối

Bây giờ chúng ta hãy xem những loại sắp xếp nào cần được thực hiện trong hai trường hợp trên.

Chuyển điểm tổng kết sau khối

Hãy xem xét sơ đồ khối được hiển thị trong hình sau. Ở đây, điểm tổng hợp hiện diện trước khối.

Điểm tổng có hai đầu vào $R(s)$ và $X(s)$. Đầu ra của nó là$\left \{R(s)+X(s)\right\}$.

Vì vậy, đầu vào cho khối $G(s)$ Là $\left \{R(s)+X(s)\right \}$ và đầu ra của nó là -

$$Y(s)=G(s)\left \{R(s)+X(s)\right \}$$

$\Rightarrow Y(s)=G(s)R(s)+G(s)X(s)$ (Equation 1)

Bây giờ, chuyển điểm tổng sau khối. Sơ đồ khối này được hiển thị trong hình sau.

Đầu ra của khối $G(s)$ Là $G(s)R(s)$.

Đầu ra của điểm tổng là

$Y(s)=G(s)R(s)+X(s)$ (Equation 2)

So sánh phương trình 1 và phương trình 2.

Nhiệm kỳ đầu tiên $‘G(s) R(s)’$giống nhau trong cả hai phương trình. Nhưng, có sự khác biệt trong thuật ngữ thứ hai. Để có được số hạng thứ hai cũng giống nhau, chúng tôi yêu cầu thêm một khối$G(s)$. Nó đang có đầu vào$X(s)$ và đầu ra của khối này được đưa ra làm đầu vào cho điểm tổng thay vì $X(s)$. Sơ đồ khối này được hiển thị trong hình sau.

Dịch chuyển điểm tổng kết trước khối

Hãy xem xét sơ đồ khối được hiển thị trong hình sau. Ở đây, điểm tổng hợp hiện diện sau khối.

Đầu ra của sơ đồ khối này là:

$Y(s)=G(s)R(s)+X(s)$ (Equation 3)

Bây giờ, hãy chuyển điểm tổng trước khối. Sơ đồ khối này được hiển thị trong hình sau.

Đầu ra của sơ đồ khối này là:

$Y(S)=G(s)R(s)+G(s)X(s)$ (Equation 4)

So sánh phương trình 3 và phương trình 4,

Nhiệm kỳ đầu tiên $‘G(s) R(s)’$giống nhau trong cả hai phương trình. Nhưng, có sự khác biệt trong thuật ngữ thứ hai. Để có được số hạng thứ hai cũng giống nhau, chúng tôi yêu cầu thêm một khối$\frac{1}{G(s)}$. Nó đang có đầu vào$X(s)$ và đầu ra của khối này được đưa ra làm đầu vào cho điểm tổng thay vì $X(s)$. Sơ đồ khối này được hiển thị trong hình sau.

Đại số sơ đồ khối cho điểm cất cánh

Có hai khả năng thay đổi điểm cất cánh đối với các khối -

• Dịch chuyển điểm cất cánh sau khối
• Dịch chuyển điểm cất cánh trước khối

Bây giờ chúng ta hãy xem loại sắp xếp nào sẽ được thực hiện trong hai trường hợp trên, từng cái một.

Dịch chuyển điểm cất cánh sau khối

Hãy xem xét sơ đồ khối được hiển thị trong hình sau. Trong trường hợp này, điểm cất cánh hiện diện trước khối.

Đây, $X(s)=R(s)$ và $Y(s)=G(s)R(s)$

Khi bạn thay đổi điểm cất cánh sau khối, đầu ra $Y(s)$sẽ giống nhau. Nhưng, có sự khác biệt trong$X(s)$giá trị. Vì vậy, để có được cùng một$X(s)$ giá trị, chúng tôi yêu cầu thêm một khối $\frac{1}{G(s)}$. Nó đang có đầu vào$Y(s)$ và đầu ra là $X(s)$. Sơ đồ khối này được hiển thị trong hình sau.

Dịch chuyển điểm cất cánh trước khối

Hãy xem xét sơ đồ khối được hiển thị trong hình sau. Tại đây, điểm cất cánh hiện diện sau khối.

Here, $X(s)=Y(s)=G(s)R(s)$

When you shift the take-off point before the block, the output $Y(s)$ will be same. But, there is difference in $X(s)$ value. So, in order to get same $X(s)$ value, we require one more block $G(s)$. It is having the input $R(s)$ and the output is $X(s)$. This block diagram is shown in the following figure.

The concepts discussed in the previous chapter are helpful for reducing (simplifying) the block diagrams.

Block Diagram Reduction Rules

Follow these rules for simplifying (reducing) the block diagram, which is having many blocks, summing points and take-off points.

• Rule 1 − Check for the blocks connected in series and simplify.

• Rule 2 − Check for the blocks connected in parallel and simplify.

• Rule 3 − Check for the blocks connected in feedback loop and simplify.

• Rule 4 − If there is difficulty with take-off point while simplifying, shift it towards right.

• Rule 5 − If there is difficulty with summing point while simplifying, shift it towards left.

• Rule 6 − Repeat the above steps till you get the simplified form, i.e., single block.

Note − The transfer function present in this single block is the transfer function of the overall block diagram.

Example

Consider the block diagram shown in the following figure. Let us simplify (reduce) this block diagram using the block diagram reduction rules.

Step 1 − Use Rule 1 for blocks $G_1$ and $G_2$. Use Rule 2 for blocks $G_3$ and $G_4$. The modified block diagram is shown in the following figure.

Step 2 − Use Rule 3 for blocks $G_1G_2$ and $H_1$. Use Rule 4 for shifting take-off point after the block $G_5$. The modified block diagram is shown in the following figure.

Step 3 − Use Rule 1 for blocks $(G_3 + G_4)$ and $G_5$. The modified block diagram is shown in the following figure.

Step 4 − Use Rule 3 for blocks $(G_3 + G_4)G_5$ and $H_3$. The modified block diagram is shown in the following figure.

Step 5 − Use Rule 1 for blocks connected in series. The modified block diagram is shown in the following figure.

Step 6 − Use Rule 3 for blocks connected in feedback loop. The modified block diagram is shown in the following figure. This is the simplified block diagram.

Therefore, the transfer function of the system is

$$\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{G_1G_2G_5^2(G_3+G_4)}{(1+G_1G_2H_1)\lbrace 1+(G_3+G_4)G_5H_3\rbrace G_5-G_1G_2G_5(G_3+G_4)H_2}$$

Note − Follow these steps in order to calculate the transfer function of the block diagram having multiple inputs.

• Step 1 − Find the transfer function of block diagram by considering one input at a time and make the remaining inputs as zero.

• Step 2 − Repeat step 1 for remaining inputs.

• Step 3 − Get the overall transfer function by adding all those transfer functions.

The block diagram reduction process takes more time for complicated systems. Because, we have to draw the (partially simplified) block diagram after each step. So, to overcome this drawback, use signal flow graphs (representation).

In the next two chapters, we will discuss about the concepts related to signal flow graphs, i.e., how to represent signal flow graph from a given block diagram and calculation of transfer function just by using a gain formula without doing any reduction process.

Signal flow graph is a graphical representation of algebraic equations. In this chapter, let us discuss the basic concepts related signal flow graph and also learn how to draw signal flow graphs.

Basic Elements of Signal Flow Graph

Nodes and branches are the basic elements of signal flow graph.

Node

Node is a point which represents either a variable or a signal. There are three types of nodes — input node, output node and mixed node.

• Input Node − It is a node, which has only outgoing branches.

• Output Node − It is a node, which has only incoming branches.

• Mixed Node − It is a node, which has both incoming and outgoing branches.

Example

Let us consider the following signal flow graph to identify these nodes.

• The nodes present in this signal flow graph are y₁, y₂, y₃ and y₄.

• y₁ and y₄ are the input node and output node respectively.

• y₂ and y₃ are mixed nodes.

Branch

Branch is a line segment which joins two nodes. It has both gain and direction. For example, there are four branches in the above signal flow graph. These branches have gains of a, b, c and -d.

Construction of Signal Flow Graph

Let us construct a signal flow graph by considering the following algebraic equations −

$$y_2=a_{12}y_1+a_{42}y_4$$

$$y_3=a_{23}y_2+a_{53}y_5$$

$$y_4=a_{34}y_3$$

$$y_5=a_{45}y_4+a_{35}y_3$$

$$y_6=a_{56}y_5$$

There will be six nodes (y₁, y₂, y₃, y₄, y₅ and y₆) and eight branches in this signal flow graph. The gains of the branches are a₁₂, a₂₃, a₃₄, a₄₅, a₅₆, a₄₂, a₅₃ and a₃₅.

To get the overall signal flow graph, draw the signal flow graph for each equation, then combine all these signal flow graphs and then follow the steps given below −

Step 1 − Signal flow graph for $y_2 = a_{13}y_1 + a_{42}y_4$ is shown in the following figure.

Step 2 − Signal flow graph for $y_3 = a_{23}y_2 + a_{53}y_5$ is shown in the following figure.

Step 3 − Signal flow graph for $y_4 = a_{34}y_3$ is shown in the following figure.

Step 4 − Signal flow graph for $y_5 = a_{45}y_4 + a_{35}y_3$ is shown in the following figure.

Step 5 − Signal flow graph for $y_6 = a_{56}y_5$ is shown in the following figure.

Step 6 − Signal flow graph of overall system is shown in the following figure.

Conversion of Block Diagrams into Signal Flow Graphs

Follow these steps for converting a block diagram into its equivalent signal flow graph.

• Represent all the signals, variables, summing points and take-off points of block diagram as nodes in signal flow graph.

• Represent the blocks of block diagram as branches in signal flow graph.

• Represent the transfer functions inside the blocks of block diagram as gains of the branches in signal flow graph.

• Connect the nodes as per the block diagram. If there is connection between two nodes (but there is no block in between), then represent the gain of the branch as one. For example, between summing points, between summing point and takeoff point, between input and summing point, between take-off point and output.

Thí dụ

Chúng ta hãy chuyển sơ đồ khối sau thành đồ thị luồng tín hiệu tương đương của nó.

Biểu diễn tín hiệu đầu vào $R(s)$ và tín hiệu đầu ra $C(s)$ sơ đồ khối làm nút đầu vào $R(s)$ và nút đầu ra $C(s)$ của đồ thị luồng tín hiệu.

Chỉ để tham khảo, các nút còn lại (y ₁ đến y ₉ ) được gắn nhãn trong sơ đồ khối. Có chín nút khác với các nút đầu vào và đầu ra. Đó là bốn nút cho bốn điểm tổng hợp, bốn nút cho bốn điểm cất cánh và một nút cho biến giữa các khối$G_1$ và $G_2$.

Hình sau cho thấy đồ thị luồng tín hiệu tương đương.

Với sự trợ giúp của công thức độ lợi Mason (được thảo luận trong chương tiếp theo), bạn có thể tính hàm truyền của đồ thị luồng tín hiệu này. Đây là ưu điểm của đồ thị luồng tín hiệu. Ở đây, chúng ta không cần phải đơn giản hóa (giảm) các đồ thị luồng tín hiệu để tính toán hàm truyền.

Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về Công thức tăng trưởng của Mason. Giả sử có 'N' đường chuyển tiếp trong đồ thị luồng tín hiệu. Độ lợi giữa các nút đầu vào và đầu ra của biểu đồ luồng tín hiệu không là gì khác ngoàitransfer functioncủa hệ thống. Nó có thể được tính bằng cách sử dụng công thức tăng của Mason.

Mason’s gain formula is

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\Sigma ^N _{i=1}P_i\Delta _i}{\Delta}$$

Ở đâu,

• C(s) là nút đầu ra

• R(s) là nút đầu vào

• T là chức năng chuyển giao hoặc đạt được giữa $R(s)$ và $C(s)$

• P_ilà lợi ích con đường phía trước ^thứ tôi

$\Delta =1-(sum \: of \: all \: individual \: loop \: gains)$

$+(sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: two \:nontouching \: loops)$

$$-(sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: three \: nontouching \: loops)+...$$

Δ _i nhận được từ Δ bằng cách loại bỏ các vòng dây đang chạm vào đường chuyển tiếp ^thứ i .

Xem xét biểu đồ luồng tín hiệu sau để hiểu các thuật ngữ cơ bản liên quan ở đây.

Con đường

Nó là một đường đi ngang của các nhánh từ một nút đến bất kỳ nút nào khác theo hướng của các mũi tên nhánh. Nó không nên đi qua bất kỳ nút nào nhiều hơn một lần.

Examples - $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5$ và $y_5 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$

Con đường phía trước

Đường dẫn tồn tại từ nút đầu vào đến nút đầu ra được gọi là forward path.

Examples - $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$ và $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$.

Tăng trưởng về phía trước

Nó thu được bằng cách tính tích của tất cả các khoản lãi nhánh của đường chuyển tiếp.

Examples - $abcde$ là con đường phía trước đạt được $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$ và abge là lợi ích con đường phía trước của $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$.

Vòng

Đường dẫn bắt đầu từ một nút và kết thúc tại cùng một nút được gọi là loop. Do đó, nó là một con đường khép kín.

Examples - $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$ và $y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$.

Tăng vòng lặp

Nó thu được bằng cách tính tích của tất cả các lợi ích nhánh của một vòng lặp.

Examples - $b_j$ là vòng lặp đạt được của $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$ và $g_h$ là vòng lặp đạt được của $y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$.

Vòng lặp không chạm

Đây là các vòng lặp, không nên có bất kỳ nút chung nào.

Examples - Các vòng lặp, $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$ và $y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_4$ không đụng hàng.

Tính toán hàm chuyển bằng công thức tăng của Mason

Chúng ta hãy xem xét cùng một đồ thị luồng tín hiệu để tìm hàm truyền.

• Số đường đi, N = 2.

• Con đường chuyển tiếp đầu tiên là - $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$.

• Con đường thuận lợi đầu tiên, $p_1 = abcde$.

• Con đường phía trước thứ hai là - $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$.

• Tăng đường dẫn thứ hai, $p_2 = abge$.

• Số vòng lặp riêng lẻ, L = 5.

• Các vòng lặp là - $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$, $y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$, $y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$, $y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_4$ và $y_5 \rightarrow y_5$.

• Tăng vòng lặp là - $l_1 = bj$, $l_2 = gh$, $l_3 = cdh$, $l_4 = di$ và $l_5 = f$.

• Số vòng dây không chạm nhau = 2.

• Cặp vòng lặp không chạm đầu tiên là - $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$, $y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_4$.

• Nhận sản phẩm của cặp vòng lặp không chạm đầu tiên, $l_1l_4 = bjdi$

• Cặp vòng lặp không chạm thứ hai là - $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$, $y_5 \rightarrow y_5$.

• Tích số thu được của cặp vòng lặp không chạm thứ hai là - $l_1l_5 = bjf$

Số lượng (hơn hai) vòng lặp không chạm cao hơn không có trong biểu đồ luồng tín hiệu này.

Chúng tôi biết,

$\Delta =1-(sum \: of \: all \: individual \: loop \: gains)$

$+(sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: two \:nontouching \: loops)$

$$-(sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: three \: nontouching \: loops)+...$$

Thay thế các giá trị trong phương trình trên,

$\Delta =1-(bj+gh+cdh+di+f)+(bjdi+bjf)-(0)$

$\Rightarrow \Delta=1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf$

Không có vòng lặp nào không chạm vào đường chuyển tiếp đầu tiên.

Vì thế, $\Delta_1=1$.

Tương tự, $\Delta_2=1$. Kể từ đó, không có vòng lặp nào không chạm vào đường chuyển tiếp thứ hai.

Thay thế, N = 2 trong công thức tăng của Mason

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\Sigma ^2 _{i=1}P_i\Delta _i}{\Delta}$$

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{P_1\Delta_1+P_2\Delta_2}{\Delta}$$

Thay tất cả các giá trị cần thiết vào phương trình trên.

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{(abcde)1+(abge)1}{1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf}$$

$$\Rightarrow T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{(abcde)+(abge)}{1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf}$$

Do đó, hàm truyền là -

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{(abcde)+(abge)}{1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf}$$

Chúng ta có thể phân tích đáp ứng của hệ thống điều khiển trong cả miền thời gian và miền tần số. Chúng ta sẽ thảo luận về phân tích đáp ứng tần số của hệ thống điều khiển trong các chương sau. Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về phân tích đáp ứng thời gian của hệ thống điều khiển.

Phản hồi thời gian là gì?

Nếu đầu ra của hệ thống điều khiển cho một đầu vào thay đổi theo thời gian, thì nó được gọi là time responsecủa hệ thống điều khiển. Phản hồi thời gian bao gồm hai phần.

• Phản hồi thoáng qua
• Phản hồi trạng thái ổn định

Đáp ứng của hệ thống điều khiển trong miền thời gian được thể hiện trong hình sau.

Ở đây, cả trạng thái nhất thời và trạng thái ổn định đều được chỉ ra trong hình. Các phản ứng tương ứng với các trạng thái này được gọi là các phản ứng trạng thái tạm thời và ổn định.

Về mặt toán học, chúng ta có thể viết phản hồi thời gian c (t) là

$$c(t)=c_{tr}(t)+c_{ss}(t)$$

Ở đâu,

• c _tr (t) là phản ứng nhất thời
• c _ss (t) là phản ứng ở trạng thái ổn định

Phản hồi thoáng qua

Sau khi áp dụng đầu vào vào hệ thống điều khiển, đầu ra cần một thời gian nhất định để đạt trạng thái ổn định. Vì vậy, đầu ra sẽ ở trạng thái tạm thời cho đến khi nó chuyển sang trạng thái ổn định. Do đó, phản ứng của hệ thống điều khiển trong trạng thái nhất thời được gọi làtransient response.

Phản hồi nhất thời sẽ bằng 0 đối với các giá trị lớn của 't'. Về mặt lý tưởng, giá trị này của 't' là vô cùng và trên thực tế, nó không đổi năm lần.

Về mặt toán học, chúng ta có thể viết nó là

$$\lim_{t\rightarrow \infty }c_{tr}(t)=0$$

Phản hồi ở trạng thái ổn định

Phần phản hồi thời gian vẫn còn ngay cả sau khi phản hồi nhất thời có giá trị bằng 0 đối với các giá trị lớn của 't' được gọi là steady state response. Điều này có nghĩa là, phản hồi nhất thời sẽ bằng 0 ngay cả trong trạng thái ổn định.

Example

Hãy để chúng tôi tìm các điều khoản trạng thái tạm thời và ổn định của phản ứng thời gian của hệ thống điều khiển $c(t)=10+5e^{-t}$

Đây, thuật ngữ thứ hai $5e^{-t}$ sẽ bằng 0 như tbiểu thị vô cùng. Vì vậy, đây làtransient term. Và số hạng đầu tiên 10 vẫn bằngttiệm cận vô cùng. Vì vậy, đây làsteady state term.

Tín hiệu kiểm tra tiêu chuẩn

Các tín hiệu thử nghiệm tiêu chuẩn là xung, bước, đoạn đường nối và parabol. Các tín hiệu này được sử dụng để biết hiệu suất của hệ thống điều khiển bằng cách sử dụng đáp ứng thời gian của đầu ra.

Tín hiệu xung đơn vị

Một tín hiệu xung đơn vị, δ (t) được định nghĩa là

$\delta (t)=0$ cho $t\neq 0$

và $\int_{0^-}^{0^+} \delta (t)dt=1$

Hình sau cho thấy tín hiệu xung đơn vị.

Vì vậy, tín hiệu xung đơn vị chỉ tồn tại tại 't' bằng không. Diện tích của tín hiệu này trong khoảng thời gian nhỏ xung quanh 't' bằng 0 là một. Giá trị của tín hiệu xung đơn vị bằng 0 đối với tất cả các giá trị khác của 't'.

Tín hiệu bước đơn vị

Một tín hiệu bước đơn vị, u (t) được định nghĩa là

$$u(t)=1;t\geq 0$$

$=0; t<0$

Hình sau cho thấy tín hiệu bước đơn vị.

Vì vậy, tín hiệu bước đơn vị tồn tại cho tất cả các giá trị dương của 't' bao gồm cả 0. Và giá trị của nó là một trong khoảng thời gian này. Giá trị của tín hiệu bước đơn vị bằng 0 đối với tất cả các giá trị âm của 't'.

Tín hiệu đường dốc đơn vị

Một tín hiệu dốc đơn vị, r (t) được định nghĩa là

$$r(t)=t; t\geq 0$$

$=0; t<0$

Chúng ta có thể viết tín hiệu đường dốc đơn vị, $r(t)$ về tín hiệu bước đơn vị, $u(t)$ như

$$r(t)=tu(t)$$

Hình sau cho thấy tín hiệu dốc đơn vị.

Vì vậy, tín hiệu dốc đơn vị tồn tại cho tất cả các giá trị dương của 't' bao gồm cả 0. Và giá trị của nó tăng tuyến tính đối với 't' trong khoảng thời gian này. Giá trị của tín hiệu đường dốc đơn vị bằng 0 đối với tất cả các giá trị âm của 't'.

Tín hiệu Parabol đơn vị

Một tín hiệu parabol đơn vị, p (t) được định nghĩa là,

$$p(t)=\frac{t^2}{2}; t\geq 0$$

$=0; t<0$

Chúng ta có thể viết tín hiệu parabol đơn vị, $p(t)$ xét về tín hiệu bước đơn vị, $u(t)$ như,

$$p(t)=\frac{t^2}{2}u(t)$$

Hình sau đây cho thấy tín hiệu parabol đơn vị.

Vì vậy, tín hiệu parabol đơn vị tồn tại cho tất cả các giá trị dương của ‘t’kể cả số không. Và giá trị của nó tăng không tuyến tính đối với 't' trong khoảng thời gian này. Giá trị của tín hiệu parabol đơn vị bằng 0 đối với tất cả các giá trị âm của 't'.

Trong chương này, chúng ta hãy thảo luận về phản ứng thời gian của hệ thống bậc nhất. Hãy xem xét sơ đồ khối sau của hệ thống điều khiển vòng kín. Đây, một chức năng chuyển vòng lặp mở,$\frac{1}{sT}$ được kết nối với một phản hồi tiêu cực thống nhất.

Chúng tôi biết rằng chức năng truyền của hệ thống điều khiển vòng kín có phản hồi tiêu cực thống nhất như,

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}$$

Thay thế, $G(s)=\frac{1}{sT}$ trong phương trình trên.

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\frac{1}{sT}}{1+\frac{1}{sT}}=\frac{1}{sT+1}$$

Lũy thừa của s là một ở mẫu số. Do đó, hàm truyền ở trên là bậc nhất và hệ thống được cho làfirst order system.

Chúng ta có thể viết lại phương trình trên dưới dạng

$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$$

Ở đâu,

• C(s) là biến đổi Laplace của tín hiệu đầu ra c (t),

• R(s) là biến đổi Laplace của tín hiệu đầu vào r (t), và

• T là hằng số thời gian.

Làm theo các bước sau để nhận được phản hồi (đầu ra) của hệ thống bậc nhất trong miền thời gian.

• Thực hiện phép biến đổi Laplace của tín hiệu đầu vào $r(t)$.

• Hãy xem xét phương trình, $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

• Người thay thế $R(s)$ giá trị trong phương trình trên.

• Thực hiện từng phần của $C(s)$ nếu được yêu cầu.

• Áp dụng biến đổi Laplace ngược cho $C(s)$.

Trong chương trước, chúng ta đã thấy các tín hiệu kiểm tra tiêu chuẩn như xung, bước, đoạn đường nối và parabol. Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu các phản hồi của hệ thống đặt hàng đầu tiên cho từng đầu vào, từng cái một. Tên của phản hồi được đưa ra theo tên của tín hiệu đầu vào. Ví dụ, đáp ứng của hệ thống đối với đầu vào xung được gọi là đáp ứng xung.

Phản ứng xung động của hệ thống đặt hàng đầu tiên

Xem xét unit impulse signal như một đầu vào cho hệ thống đơn hàng đầu tiên.

Vì thế, $r(t)=\delta (t)$

Áp dụng phép biến đổi Laplace trên cả hai mặt.

$R(s)=1$

Hãy xem xét phương trình, $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

Thay thế, $R(s) = 1$ trong phương trình trên.

$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )(1)=\frac{1}{sT+1}$$

Sắp xếp lại phương trình trên theo một trong các dạng chuẩn của phép biến đổi Laplace.

$$C(s)=\frac{1}{T\left (\ s+\frac{1}{T} \right )} \Rightarrow C(s)=\frac{1}{T}\left ( \frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right )$$

Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược cho cả hai phía.

$$c(t)=\frac{1}{T}e^\left ( {-\frac{t}{T}} \right )u(t)$$

Đáp ứng xung đơn vị được hiển thị trong hình sau.

Các unit impulse response, c (t) là một tín hiệu giảm dần theo cấp số nhân cho các giá trị dương của 't' và nó bằng 0 đối với các giá trị âm của 't'.

Phản hồi bước của Hệ thống đặt hàng đầu tiên

Xem xét unit step signal như một đầu vào cho hệ thống đặt hàng đầu tiên.

Vì thế, $r(t)=u(t)$

Áp dụng phép biến đổi Laplace trên cả hai mặt.

$$R(s)=\frac{1}{s}$$

Hãy xem xét phương trình, $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

Thay thế, $R(s)=\frac{1}{s}$ trong phương trình trên.

$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )\left ( \frac{1}{s} \right )=\frac{1}{s\left ( sT+1 \right )}$$

Làm phân số từng phần của C (s).

$$C(s)=\frac{1}{s\left ( sT+1 \right )}=\frac{A}{s}+\frac{B}{sT+1}$$

$$\Rightarrow \frac{1}{s\left ( sT+1 \right )}=\frac{A\left ( sT+1 \right )+Bs}{s\left ( sT+1 \right )}$$

Ở cả hai phía, mẫu số là như nhau. Vì vậy, họ sẽ bị hủy bỏ bởi nhau. Do đó, cân bằng các số hạng tử số.

$$1=A\left ( sT+1 \right )+Bs$$

Bằng cách cân bằng các số hạng không đổi ở cả hai vế, bạn sẽ nhận được A = 1.

Thay thế, A = 1 và tương đương với hệ số của s điều khoản của cả hai bên.

$$0=T+B \Rightarrow B=-T$$

Thay thế, A = 1 và B = −T trong khai triển một phần của $C(s)$.

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{T}{sT+1}=\frac{1}{s}-\frac{T}{T\left ( s+\frac{1}{T} \right )}$$

$$\Rightarrow C(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{1}{T}}$$

Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược trên cả hai mặt.

$$c(t)=\left ( 1-e^{-\left ( \frac{t}{T} \right )} \right )u(t)$$

Các unit step response, c (t) có cả điều khoản trạng thái quá độ và trạng thái dừng.

Thuật ngữ tạm thời trong phản ứng bước đơn vị là -

$$c_{tr}(t)=-e^{-\left ( \frac{t}{T} \right )}u(t)$$

Thuật ngữ trạng thái ổn định trong phản ứng bước đơn vị là -

$$c_{ss}(t)=u(t)$$

Hình sau đây cho thấy phản ứng bước đơn vị.

Giá trị của unit step response, c(t)bằng 0 tại t = 0 và với mọi giá trị âm của t. Nó đang tăng dần từ giá trị 0 và cuối cùng đạt đến một ở trạng thái ổn định. Vì vậy, giá trị trạng thái ổn định phụ thuộc vào độ lớn của đầu vào.

Phản hồi của hệ thống đơn hàng đầu tiên

Xem xét unit ramp signal như một đầu vào cho hệ thống đơn hàng đầu tiên.

$So, r(t)=tu(t)$

Áp dụng phép biến đổi Laplace trên cả hai mặt.

$$R(s)=\frac{1}{s^2}$$

Hãy xem xét phương trình, $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

Thay thế, $R(s)=\frac{1}{s^2}$ trong phương trình trên.

$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )\left ( \frac{1}{s^2} \right )=\frac{1}{s^2(sT+1)}$$

Thực hiện từng phần của $C(s)$.

$$C(s)=\frac{1}{s^2(sT+1)}=\frac{A}{s^2}+\frac{B}{s}+\frac{C}{sT+1}$$

$$\Rightarrow \frac{1}{s^2(sT+1)}=\frac{A(sT+1)+Bs(sT+1)+Cs^2}{s^2(sT+1)}$$

Ở cả hai phía, mẫu số là như nhau. Vì vậy, họ sẽ bị hủy bỏ bởi nhau. Do đó, cân bằng các số hạng tử số.

$$1=A(sT+1)+Bs(sT+1)+Cs^2$$

Bằng cách cân bằng các số hạng không đổi ở cả hai vế, bạn sẽ nhận được A = 1.

Thay thế, A = 1 và cân bằng hệ số của s số hạng ở cả hai phía.

$$0=T+B \Rightarrow B=-T$$

Tương tự, thay B = −T và cân bằng hệ số của $s^2$điều khoản của cả hai bên. Bạn sẽ nhận được$C=T^2$.

Thay thế A = 1, B = −T và $C = T^2$ trong khai triển một phần của $C(s)$.

$$C(s)=\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T^2}{sT+1}=\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T^2}{T\left ( s+\frac{1}{T} \right )}$$

$$\Rightarrow C(s)=\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T}{s+\frac{1}{T}}$$

Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược trên cả hai mặt.

$$c(t)=\left ( t-T+Te^{-\left ( \frac{t}{T} \right )} \right )u(t)$$

Các unit ramp response, c (t) có cả điều khoản trạng thái quá độ và trạng thái dừng.

Thuật ngữ tạm thời trong phản hồi đoạn đường nối đơn vị là -

$$c_{tr}(t)=Te^{-\left ( \frac{t}{T} \right )}u(t)$$

Thuật ngữ trạng thái ổn định trong phản ứng dốc đơn vị là -

$$c_{ss}(t)=(t-T)u(t)$$

Hình sau đây cho thấy đáp ứng của đoạn đường nối đơn vị.

Các unit ramp response, c (t) theo sau tín hiệu đầu vào dốc đơn vị cho tất cả các giá trị dương của t. Tuy nhiên, có sự sai lệch của T đơn vị so với tín hiệu đầu vào.

Đáp ứng parabol của hệ thống đơn hàng đầu tiên

Xem xét unit parabolic signal như một đầu vào cho hệ thống đơn hàng đầu tiên.

Vì thế, $r(t)=\frac{t^2}{2}u(t)$

Áp dụng phép biến đổi Laplace trên cả hai mặt.

$$R(s)=\frac{1}{s^3}$$

Hãy xem xét phương trình, $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

Người thay thế $R(s)=\frac{1}{s^3}$ trong phương trình trên.

$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )\left( \frac{1}{s^3} \right )=\frac{1}{s^3(sT+1)}$$

Thực hiện từng phần của $C(s)$.

$$C(s)=\frac{1}{s^3(sT+1)}=\frac{A}{s^3}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s}+\frac{D}{sT+1}$$

Sau khi đơn giản hóa, bạn sẽ nhận được các giá trị của A, B, C và D là 1, $-T, \: T^2\: and \: −T^3$tương ứng. Thay thế các giá trị này trong khai triển từng phần ở trên của C (các).

$C(s)=\frac{1}{s^3}-\frac{T}{s^2}+\frac{T^2}{s}-\frac{T^3}{sT+1} \: \Rightarrow C(s)=\frac{1}{s^3}-\frac{T}{s^2}+\frac{T^2}{s}-\frac{T^2}{s+\frac{1}{T}}$

Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược trên cả hai mặt.

$$c(t)=\left ( \frac{t^2}{2} -Tt+T^2-T^2e^{-\left ( \frac{t}{T} \right )} \right )u(t)$$

Các unit parabolic response, c (t) có cả điều khoản trạng thái quá độ và trạng thái dừng.

Số hạng nhất thời trong phản ứng parabol đơn vị là

$$C_{tr}(t)=-T^2e^{-\left ( \frac{t}{T} \right )}u(t)$$

Thuật ngữ trạng thái ổn định trong phản ứng parabol đơn vị là

$$C_{ss}(t)=\left ( \frac{t^2}{2} -Tt+T^2 \right )u(t)$$

Từ những phản hồi này, chúng ta có thể kết luận rằng hệ thống điều khiển bậc nhất không ổn định với đầu vào đường dốc và parabol vì những phản hồi này tiếp tục tăng lên ngay cả trong khoảng thời gian vô hạn. Hệ thống điều khiển bậc đầu tiên ổn định với đầu vào xung và bước vì những phản hồi này có đầu ra giới hạn. Nhưng, phản ứng xung không có thời hạn trạng thái ổn định. Vì vậy, tín hiệu bước được sử dụng rộng rãi trong miền thời gian để phân tích hệ thống điều khiển từ các phản hồi của chúng.

Trong chương này, chúng ta hãy thảo luận về phản ứng thời gian của hệ thống bậc hai. Hãy xem xét sơ đồ khối sau của hệ thống điều khiển vòng kín. Đây, một chức năng chuyển vòng lặp mở,$\frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)}$ được kết nối với một phản hồi tiêu cực thống nhất.

Chúng tôi biết rằng chức năng chuyển giao của hệ thống điều khiển vòng kín có phản hồi tiêu cực thống nhất như

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}$$

Thay thế, $G(s)=\frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)}$ trong phương trình trên.

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\left (\frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)} \right )}{1+ \left ( \frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)} \right )}=\frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta \omega _ns+\omega _n^2}$$

Lũy thừa của 's' là hai trong mẫu số. Do đó, hàm truyền ở trên thuộc bậc hai và hệ thống được cho làsecond order system.

Phương trình đặc trưng là -

$$s^2+2\delta \omega _ns+\omega _n^2=0$$

Rễ của phương trình đặc trưng là -

$$s=\frac{-2\omega \delta _n\pm \sqrt{(2\delta\omega _n)^2-4\omega _n^2}}{2}=\frac{-2(\delta\omega _n\pm \omega _n\sqrt{\delta ^2-1})}{2}$$

$$\Rightarrow s=-\delta \omega_n \pm \omega _n\sqrt{\delta ^2-1}$$

• Hai gốc là ảo khi δ = 0.
• Hai nghiệm thực và bằng nhau khi δ = 1.
• Hai gốc thực nhưng không bằng nhau khi δ> 1.
• Hai gốc là liên hợp phức khi 0 <δ <1.

Chúng tôi có thể viết $C(s)$ phương trình như,

$$C(s)=\left ( \frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2} \right )R(s)$$

Ở đâu,

• C(s) là biến đổi Laplace của tín hiệu đầu ra, c (t)

• R(s) là biến đổi Laplace của tín hiệu đầu vào, r (t)

• ω_n là tần số tự nhiên

• δ là tỷ số tắt dần.

Thực hiện theo các bước sau để nhận phản hồi (đầu ra) của hệ thống bậc hai trong miền thời gian.

• Thực hiện biến đổi Laplace của tín hiệu đầu vào, $r(t)$.

• Hãy xem xét phương trình, $C(s)=\left ( \frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2} \right )R(s)$

• Người thay thế $R(s)$ giá trị trong phương trình trên.

• Thực hiện từng phần của $C(s)$ nếu được yêu cầu.

• Áp dụng biến đổi Laplace ngược cho $C(s)$.

Phản hồi bước của Hệ thống đặt hàng thứ hai

Coi tín hiệu bước đơn vị là đầu vào của hệ thống bậc hai.

Biến đổi Laplace của tín hiệu bước đơn vị là,

$$R(s)=\frac{1}{s}$$

Chúng ta biết chức năng truyền của hệ thống điều khiển vòng kín bậc hai là,

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2}$$

Trường hợp 1: δ = 0

Thay thế, $\delta = 0$ trong chức năng chuyển giao.

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+\omega_n^2}$$

$$\Rightarrow C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{s^2+\omega_n^2} \right )R(s)$$

Thay thế, $R(s) = \frac{1}{s}$ trong phương trình trên.

$$C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{s^2+\omega_n^2} \right )\left( \frac{1}{s} \right )=\frac{\omega_n^2}{s(s^2+\omega_n^2)}$$

Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược trên cả hai mặt.

$$c(t)=\left ( 1-\cos(\omega_n t) \right )u(t)$$

Vì vậy, phản ứng bước đơn vị của hệ thống bậc hai khi $/delta = 0$ sẽ là tín hiệu thời gian liên tục với biên độ và tần số không đổi.

Trường hợp 2: δ = 1

Thay thế, $/delta = 1$ trong chức năng chuyển giao.

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\omega_ns+\omega_n^2}$$

$$\Rightarrow C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\omega_n)^2} \right)R(s)$$

Thay thế, $R(s) = \frac{1}{s}$ trong phương trình trên.

$$C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\omega_n)^2} \right)\left ( \frac{1}{s} \right)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\omega_n)^2}$$

Thực hiện từng phần của $C(s)$.

$$C(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\omega_n)^2}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+\omega_n}+\frac{C}{(s+\omega_n)^2}$$

Sau khi đơn giản hóa, bạn sẽ nhận được các giá trị của A, B và C là $1,\: -1\: and \: −\omega _n$tương ứng. Thay thế các giá trị này trong phần mở rộng từng phần ở trên của$C(s)$.

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\omega_n}-\frac{\omega_n}{(s+\omega_n)^2}$$

Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược trên cả hai mặt.

$$c(t)=(1-e^{-\omega_nt}-\omega _nte^{-\omega_nt})u(t)$$

Vì vậy, phản ứng bước đơn vị của hệ thống bậc hai sẽ cố gắng đạt được đầu vào bước ở trạng thái ổn định.

Trường hợp 3: 0 <δ <1

Chúng ta có thể sửa đổi thuật ngữ mẫu số của hàm truyền như sau:

$$s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2=\left \{ s^2+2(s)(\delta \omega_n)+(\delta \omega_n)^2 \right \}+\omega_n^2-(\delta\omega_n)^2$$

$$=(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)$$

Chức năng chuyển giao trở thành,

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$

$$\Rightarrow C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)} \right )R(s)$$

Thay thế, $R(s) = \frac{1}{s}$ trong phương trình trên.

$$C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)} \right )\left( \frac{1}{s} \right )=\frac{\omega_n^2}{s\left ((s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2) \right)}$$

Thực hiện từng phần của $C(s)$.

$$C(s)=\frac{\omega_n^2}{s\left ((s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2) \right)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$

Sau khi đơn giản hóa, bạn sẽ nhận được các giá trị của A, B và C là $1,\: -1 \: and \: −2\delta \omega _n$tương ứng. Thay thế các giá trị này trong khai triển từng phần ở trên của C (các).

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{s+2\delta\omega_n}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{s+\delta\omega_n}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}-\frac{\delta\omega_n}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$

$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{(s+\delta\omega_n)}{(s+\delta\omega_n)^2+(\omega_n\sqrt{1-\delta^2})^2}-\frac{\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}\left ( \frac{\omega_n\sqrt{1-\delta^2}}{(s+\delta\omega_n)^2+(\omega_n\sqrt{1-\delta^2})^2} \right )$

Thay thế, $\omega_n\sqrt{1-\delta^2}$ như $\omega_d$ trong phương trình trên.

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{(s+\delta\omega_n)}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_d^2}-\frac{\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}\left ( \frac{\omega_d}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_d^2} \right )$$

Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược trên cả hai mặt.

$$c(t)=\left ( 1-e^{-\delta \omega_nt}\cos(\omega_dt)-\frac{\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}e^{-\delta\omega_nt}\sin(\omega_dt) \right )u(t)$$

$$c(t)=\left ( 1-\frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}}\left ( (\sqrt{1-\delta^2})\cos(\omega_dt)+\delta \sin(\omega_dt) \right ) \right )u(t)$$

Nếu $\sqrt{1-\delta^2}=\sin(\theta)$, thì 'δ' sẽ là cos (θ). Thay các giá trị này vào phương trình trên.

$$c(t)=\left ( 1-\frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}}(\sin(\theta)\cos(\omega_dt)+\cos(\theta)\sin(\omega_dt)) \right )u(t)$$

$$\Rightarrow c(t)=\left ( 1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta) \right )u(t)$$

Vì vậy, đáp ứng bước đơn vị của hệ thống bậc hai đang có dao động tắt dần (biên độ giảm) khi 'δ' nằm giữa 0 và 1.

Trường hợp 4: δ> 1

Chúng ta có thể sửa đổi thuật ngữ mẫu số của hàm truyền như sau:

$$s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2=\left \{ s^2+2(s)(\delta\omega_n)+(\delta\omega_n)^2 \right \}+\omega_n^2-(\delta\omega_n)^2$$

$$=\left ( s+\delta\omega_n \right )^2-\omega_n^2\left ( \delta^2-1 \right )$$

Chức năng chuyển giao trở thành,

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2-\omega_n^2(\delta^2-1)}$$

$$\Rightarrow C(s)=\left ( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2-\omega_n^2(\delta^2-1)} \right )R(s)$$

Thay thế, $R(s) = \frac{1}{s}$ trong phương trình trên.

$C(s)=\left ( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2-(\omega_n\sqrt{\delta^2-1})^2} \right )\left ( \frac{1}{s} \right )=\frac{\omega_n^2}{s(s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})(s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1})}$

Thực hiện từng phần của $C(s)$.

$$C(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})(s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1})}$$

$$=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1}}+\frac{C}{s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1}}$$

Sau khi đơn giản hóa, bạn sẽ nhận được các giá trị của A, B và C là 1, $\frac{1}{2(\delta+\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})}$ và $\frac{-1}{2(\delta-\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})}$tương ứng. Thay thế các giá trị này trong phần mở rộng từng phần ở trên của$C(s)$.

$$C(s)=\frac{1}{s}+\frac{1}{2(\delta+\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})}\left ( \frac{1}{s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1}} \right )-\left ( \frac{1}{2(\delta-\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})} \right )\left ( \frac{1}{s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1}} \right )$$

Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược trên cả hai mặt.

$c(t)=\left ( 1+\left ( \frac{1}{2(\delta+\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})} \right )e^{-(\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})t}-\left ( \frac{1}{2(\delta-\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})} \right )e^{-(\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1})t} \right )u(t)$

Vì nó bị giảm xóc quá mức, phản ứng bước đơn vị của hệ thống bậc hai khi δ> 1 sẽ không bao giờ đạt đầu vào bước ở trạng thái ổn định.

Phản ứng xung động của hệ thống đặt hàng thứ hai

Các impulse response của hệ thống bậc hai có thể nhận được bằng cách sử dụng bất kỳ một trong hai phương pháp này.

• Thực hiện theo quy trình liên quan trong khi nhận được phản hồi từng bước bằng cách xem xét giá trị $R(s)$ như 1 thay vì $\frac{1}{s}$.

• Thực hiện sự khác biệt của phản ứng bước.

Bảng sau đây cho thấy đáp ứng xung của hệ thống bậc hai đối với 4 trường hợp của tỷ số tắt dần.

Điều kiện của tỷ lệ giảm chấn	Đáp ứng xung cho t ≥ 0
δ = 0	$\omega_n\sin(\omega_nt)$
δ = 1	$\omega_n^2te^{-\omega_nt}$
0 <δ <1	$\left ( \frac{\omega_ne^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt)$
δ> 1	$\left ( \frac{\omega_n}{2\sqrt{\delta^2-1}} \right )\left ( e^{-(\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1})t}-e^{-(\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})t} \right )$

Trong chương này, chúng ta hãy thảo luận về các đặc tả miền thời gian của hệ thống bậc hai. Đáp ứng bước của hệ thống bậc hai đối với trường hợp bị che khuất được thể hiện trong hình sau.

Tất cả các thông số kỹ thuật của miền thời gian được thể hiện trong hình này. Đáp ứng cho đến thời điểm lắng được gọi là đáp ứng nhất thời và đáp ứng sau thời gian lắng được gọi là đáp ứng trạng thái ổn định.

Thời gian trì hoãn

Đây là thời gian cần thiết để phản hồi đạt được half of its final valuetừ con số 0 tức thì. Nó được ký hiệu là$t_d$.

Hãy xem xét phản ứng bước của hệ thống bậc hai đối với t ≥ 0, khi 'δ' nằm giữa 0 và 1.

$$c(t)=1-\left ( \frac{e^{-\delta \omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta)$$

Giá trị cuối cùng của phản hồi bước là một.

Do đó, tại $t=t_d$, giá trị của phản hồi bước sẽ là 0,5. Thay thế, các giá trị này trong phương trình trên.

$$c(t_d)=0.5=1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_d}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_d+\theta)$$

$$\Rightarrow \left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_d}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_d+\theta)=0.5$$

Bằng cách sử dụng phép gần đúng tuyến tính, bạn sẽ nhận được delay time t_d như

$$t_d=\frac{1+0.7\delta}{\omega_n}$$

Thời gian trỗi dậy

Đây là thời gian cần thiết để phản hồi tăng từ 0% to 100% of its final value. Điều này áp dụng chounder-damped systems. Đối với hệ thống quá giảm độ ẩm, hãy xem xét khoảng thời gian từ 10% đến 90% giá trị cuối cùng. Thời gian tăng được biểu thị bằngt_r.

Tại t = t ₁ = 0, c (t) = 0.

Chúng tôi biết rằng giá trị cuối cùng của phản hồi bước là một.

Do đó, tại $t = t_2$, giá trị của phản hồi bước là một. Thay thế, các giá trị này trong phương trình sau.

$$c(t)=1-\left ( \frac{e^{-\delta \omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta)$$

$$c(t_2)=1=1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_2}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_2+\theta)$$

$$\Rightarrow \left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_2}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_2+\theta)=0$$

$$\Rightarrow \sin(\omega_dt_2+\theta)=0$$

$$\Rightarrow \omega_dt_2+\theta=\pi$$

$$\Rightarrow t_2=\frac{\pi-\theta}{\omega_d}$$

Thay các giá trị t ₁ và t ₂ vào phương trình sau củarise time,

$$t_r=t_2-t_1$$

$$\therefore \: t_r=\frac{\pi-\theta}{\omega_d}$$

Từ phương trình trên, chúng ta có thể kết luận rằng thời gian tăng $t_r$ và tần số giảm âm $\omega_d$ tỉ lệ nghịch với nhau.

Thời gian cao điểm

Đó là thời gian cần thiết để phản hồi đạt đến peak valuelần đầu tiên. Nó được ký hiệu là$t_p$. Tại$t = t_p$, kết quả đầu tiên của phản hồi là 0.

Chúng tôi biết phản ứng bước của hệ thống bậc hai đối với trường hợp không được giảm ẩm là

$$c(t)=1-\left ( \frac{e^{-\delta \omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta)$$

Phân biệt $c(t)$ đối với 't'.

$$\frac{\text{d}c(t)}{\text{d}t}=-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\omega_d\cos(\omega_dt+\theta)-\left ( \frac{-\delta\omega_ne^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta)$$

Thay thế, $t=t_p$ và $\frac{\text{d}c(t)}{\text{d}t}=0$ trong phương trình trên.

$$0=-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_p}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\left [ \omega_d\cos(\omega_dt_p+\theta)-\delta\omega_n\sin(\omega_dt_p+\theta) \right ]$$

$$\Rightarrow \omega_n\sqrt{1-\delta^2}\cos(\omega_dt_p+\theta)-\delta\omega_n\sin(\omega_dt_p+\theta)=0$$

$$\Rightarrow \sqrt{1-\delta^2}\cos(\omega_dt_p+\theta)-\delta\sin(\omega_dt_p+\theta)=0$$

$$\Rightarrow \sin(\theta)\cos(\omega_dt_p+\theta)-\cos(\theta)\sin(\omega_dt_p+\theta)=0$$

$$\Rightarrow \sin(\theta-\omega_dt_p-\theta)=0$$

$$\Rightarrow sin(-\omega_dt_p)=0\Rightarrow -\sin(\omega_dt_p)=0\Rightarrow sin(\omega_dt_p)=0$$

$$\Rightarrow \omega_dt_p=\pi$$

$$\Rightarrow t_p=\frac{\pi}{\omega_d}$$

Từ phương trình trên, chúng ta có thể kết luận rằng thời gian cao điểm $t_p$ và tần số giảm âm $\omega_d$ tỉ lệ nghịch với nhau.

Vượt Đỉnh

Vượt đỉnh M_pđược định nghĩa là độ lệch của phản hồi tại thời điểm cao điểm so với giá trị cuối cùng của phản hồi. Nó còn được gọi làmaximum overshoot.

Về mặt toán học, chúng ta có thể viết nó là

$$M_p=c(t_p)-c(\infty)$$

Ở đâu,

c (t _p ) là giá trị đỉnh của phản ứng.

c (∞) là giá trị cuối cùng (trạng thái ổn định) của phản ứng.

Tại $t = t_p$, phản ứng c (t) là -

$$c(t_p)=1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_p}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_p+\theta)$$

Thay thế, $t_p=\frac{\pi}{\omega_d}$ trong vế phải của phương trình trên.

$$c(t_P)=1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_n\left ( \frac{\pi}{\omega_d} \right )}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin\left ( \omega_d\left ( \frac{\pi}{\omega_d} \right ) +\theta\right )$$

$$\Rightarrow c(t_p)=1-\left ( \frac{e^{-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )(-\sin(\theta))$$

Chúng ta biết rằng

$$\sin(\theta)=\sqrt{1-\delta^2}$$

Vì vậy, chúng tôi sẽ nhận được $c(t_p)$ như

$$c(t_p)=1+e^{-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )}$$

Thay thế các giá trị của $c(t_p)$ và $c(\infty)$ trong phương trình độ vọt lố đỉnh.

$$M_p=1+e^{-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )}-1$$

$$\Rightarrow M_p=e^{-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )}$$

Percentage of peak overshoot % $M_p$ có thể được tính bằng cách sử dụng công thức này.

$$\%M_p=\frac{M_p}{c(\infty )}\times 100\%$$

Bằng cách thay thế các giá trị của $M_p$ và $c(\infty)$ trong công thức trên, chúng ta sẽ nhận được Phần trăm của độ vượt đỉnh $\%M_p$ như

$$\%M_p=\left ( e^ {-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )} \right )\times 100\%$$

Từ phương trình trên, chúng ta có thể kết luận rằng phần trăm độ vọt lố đỉnh $\% M_p$ sẽ giảm nếu tỷ lệ giảm chấn $\delta$ tăng.

Cài đặt thời gian

Đó là thời gian cần thiết để phản ứng đạt đến trạng thái ổn định và nằm trong dải dung sai quy định xung quanh giá trị cuối cùng. Nói chung, các dải dung sai là 2% và 5%. Thời gian giải quyết được ký hiệu là$t_s$.

Thời gian lắng cho dải dung sai 5% là -

$$t_s=\frac{3}{\delta\omega_n}=3\tau$$

Thời gian lắng cho dải dung sai 2% là -

$$t_s=\frac{4}{\delta\omega_n}=4\tau$$

Ở đâu, $\tau$ là hằng số thời gian và bằng $\frac{1}{\delta\omega_n}$.

• Cả thời gian giải quyết $t_s$ và thời gian không đổi $\tau$ tỷ lệ nghịch với tỷ lệ giảm chấn $\delta$.

• Cả thời gian giải quyết $t_s$ và thời gian không đổi $\tau$độc lập với hệ thống đạt được. Điều đó có nghĩa là ngay cả khi hệ thống đạt được thay đổi, thời gian$t_s$ và thời gian không đổi $\tau$ sẽ không bao giờ thay đổi.

Thí dụ

Bây giờ chúng ta hãy tìm các thông số kỹ thuật miền thời gian của hệ thống điều khiển có chức năng truyền vòng kín $\frac{4}{s^2+2s+4}$ khi tín hiệu bước đơn vị được áp dụng làm đầu vào cho hệ thống điều khiển này.

Chúng ta biết rằng dạng chuẩn của hàm truyền của hệ thống điều khiển vòng kín bậc hai như

$$\frac{\omega_n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2}$$

Bằng cách cân bằng hai hàm truyền này, chúng ta sẽ nhận được tần số tự nhiên không bị cản trở $\omega_n$ là 2 rad / giây và tỷ số giảm chấn $\delta$ như 0,5.

Chúng tôi biết công thức cho tần số giảm xóc $\omega_d$ như

$$\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\delta^2}$$

Thay thế, $\omega_n$ và $\delta$ giá trị trong công thức trên.

$$\Rightarrow \omega_d=2\sqrt{1-(0.5)^2}$$

$$\Rightarrow \omega_d=1.732 \: rad/sec$$

Thay thế, $\delta$ giá trị trong mối quan hệ sau

$$\theta=\cos^{-1}\delta$$

$$\Rightarrow \theta=\cos^{-1}(0.5)=\frac{\pi}{3}\:rad$$

Thay thế các giá trị cần thiết ở trên trong công thức của từng đặc tả miền thời gian và đơn giản hóa để nhận các giá trị của đặc tả miền thời gian cho hàm truyền đã cho.

Bảng sau đây cho thấy các công thức của đặc tả miền thời gian, sự thay thế các giá trị cần thiết và các giá trị cuối cùng.

Đặc tả miền thời gian	Công thức	Thay thế các giá trị trong Công thức	Giá trị cuối cùng
Thời gian trì hoãn	$t_d=\frac{1+0.7\delta}{\omega_n}$	$t_d=\frac{1+0.7(0.5)}{2}$	$t_d$= 0,675 giây
Thời gian tăng	$t_r=\frac{\pi-\theta}{\omega_d}$	$t_r=\frac{\pi-(\frac{\pi}{3})}{1.732}$	$t_r$= 1,207 giây
Thời gian cao điểm	$t_p=\frac{\pi}{\omega_d}$	$t_p=\frac{\pi}{1.732}$	$t_p$= 1,813 giây
% Vượt quá đỉnh	$\%M_p=\left( e^{-\left (\frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right ) }\right )\times 100\%$	$\%M_p=\left( e^{-\left (\frac{0.5\pi}{\sqrt{1-(0.5)^2}} \right ) }\right )\times 100\%$	$\% \: M_p$= 16,32%
Thời gian ổn định cho dải dung sai 2%	$t_s=\frac{4}{\delta\omega_n}$	$t_S=\frac{4}{(0.5)(2)}$	$t_s$= 4 giây

Độ lệch của đầu ra của hệ thống điều khiển so với phản ứng mong muốn trong trạng thái ổn định được gọi là steady state error. Nó được đại diện là$e_{ss}$. Chúng ta có thể tìm lỗi trạng thái ổn định bằng cách sử dụng định lý giá trị cuối cùng như sau.

$$e_{ss}=\lim_{t \to \infty}e(t)=\lim_{s \to 0}sE(s)$$

Ở đâu,

E (s) là biến đổi Laplace của tín hiệu lỗi, $e(t)$

Hãy để chúng tôi thảo luận về cách tìm lỗi trạng thái ổn định cho hệ thống điều khiển phản hồi thống nhất và phản hồi không thống nhất từng cái một.

Lỗi trạng thái ổn định cho hệ thống phản hồi thống nhất

Hãy xem xét sơ đồ khối sau của hệ thống điều khiển vòng kín, có phản hồi tiêu cực thống nhất.

Ở đâu,

• R (s) là biến đổi Laplace của tín hiệu đầu vào tham chiếu $r(t)$
• C (s) là biến đổi Laplace của tín hiệu đầu ra $c(t)$

Chúng tôi biết chức năng chuyển giao của hệ thống điều khiển vòng kín phản hồi tiêu cực thống nhất như

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}$$

$$\Rightarrow C(s)=\frac{R(s)G(s)}{1+G(s)}$$

Đầu ra của điểm tổng hợp là -

$$E(s)=R(s)-C(s)$$

Người thay thế $C(s)$ giá trị trong phương trình trên.

$$E(s)=R(s)-\frac{R(s)G(s)}{1+G(s)}$$

$$\Rightarrow E(s)=\frac{R(s)+R(s)G(s)-R(s)G(s)}{1+G(s)}$$

$$\Rightarrow E(s)=\frac{R(s)}{1+G(s)}$$

Người thay thế $E(s)$ giá trị trong công thức lỗi trạng thái ổn định

$$e_{ss}=\lim_{s \to 0} \frac{sR(s)}{1+G(s)}$$

Bảng sau đây cho thấy các lỗi trạng thái ổn định và các hằng số lỗi cho các tín hiệu đầu vào tiêu chuẩn như bước đơn vị, đường dốc đơn vị và tín hiệu parabol đơn vị.

Tín hiệu đầu vào	Lỗi trạng thái ổn định $e_{ss}$	Hằng số lỗi
tín hiệu bước đơn vị	$\frac{1}{1+k_p}$	$K_p=\lim_{s \to 0}G(s)$
tín hiệu dốc đơn vị	$\frac{1}{K_v}$	$K_v=\lim_{s \to 0}sG(s)$
tín hiệu parabol đơn vị	$\frac{1}{K_a}$	$K_a=\lim_{s \to 0}s^2G(s)$

Ở đâu, $K_p$, $K_v$ và $K_a$ lần lượt là hằng số sai số vị trí, hằng số sai số vận tốc và hằng số sai số gia tốc.

Note - Nếu bất kỳ tín hiệu đầu vào nào ở trên có biên độ khác với biên độ, thì nhân sai số trạng thái ổn định tương ứng với biên độ đó.

Note- Chúng tôi không thể xác định lỗi trạng thái ổn định cho tín hiệu xung đơn vị bởi vì nó chỉ tồn tại tại điểm gốc. Vì vậy, chúng tôi không thể so sánh phản ứng xung với đầu vào xung đơn vị nhưt biểu thị vô cùng.

Thí dụ

Hãy để chúng tôi tìm lỗi trạng thái ổn định cho tín hiệu đầu vào $r(t)=\left( 5+2t+\frac{t^2}{2} \right )u(t)$ thống nhất hệ thống điều khiển phản hồi tiêu cực với $G(s)=\frac{5(s+4)}{s^2(s+1)(s+20)}$

Tín hiệu đầu vào đã cho là sự kết hợp của ba tín hiệu bước, đoạn đường nối và đường parabol. Bảng sau đây cho thấy các hằng số lỗi và các giá trị lỗi trạng thái ổn định cho ba tín hiệu này.

Tín hiệu đầu vào	Hằng số lỗi	Lỗi trạng thái ổn định
$r_1(t)=5u(t)$	$K_p=\lim_{s \to 0}G(s)=\infty$	$e_{ss1}=\frac{5}{1+k_p}=0$
$r_2(t)=2tu(t)$	$K_v=\lim_{s \to 0}sG(s)=\infty$	$e_{ss2}=\frac{2}{K_v}=0$
$r_3(t)=\frac{t^2}{2}u(t)$	$K_a=\lim_{s \to 0}s^2G(s)=1$	$e_{ss3}=\frac{1}{k_a}=1$

Chúng ta sẽ nhận được lỗi trạng thái ổn định tổng thể, bằng cách cộng ba lỗi trạng thái ổn định ở trên.

$$e_{ss}=e_{ss1}+e_{ss2}+e_{ss3}$$

$$\Rightarrow e_{ss}=0+0+1=1$$

Do đó, chúng tôi gặp lỗi trạng thái ổn định $e_{ss}$ như 1 cho ví dụ này.

Lỗi trạng thái ổn định đối với hệ thống phản hồi không thống nhất

Hãy xem xét sơ đồ khối sau của hệ thống điều khiển vòng kín, đang có phản hồi tiêu cực phi cơ quan.

Chúng tôi có thể tìm thấy lỗi trạng thái ổn định chỉ đối với hệ thống phản hồi thống nhất. Vì vậy, chúng ta phải chuyển đổi hệ thống phản hồi không thống nhất thành hệ thống phản hồi thống nhất. Đối với điều này, hãy bao gồm một đường phản hồi tích cực thống nhất và một đường phản hồi tiêu cực thống nhất trong sơ đồ khối ở trên. Sơ đồ khối mới trông giống như hình dưới đây.

Đơn giản hóa sơ đồ khối trên bằng cách giữ phản hồi tiêu cực thống nhất như nó vốn có. Sau đây là sơ đồ khối đơn giản hóa.

Sơ đồ khối này giống với sơ đồ khối của hệ thống điều khiển vòng kín phản hồi tiêu cực thống nhất. Ở đây, khối đơn đang có chức năng chuyển$\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)-G(s)}$ thay vì $G(s)$. Bây giờ bạn có thể tính toán sai số trạng thái ổn định bằng cách sử dụng công thức sai số trạng thái ổn định cho hệ thống phản hồi tiêu cực thống nhất.

Note- Việc tìm ra sai số trạng thái ổn định đối với hệ thống vòng kín không ổn định là vô nghĩa. Vì vậy, chúng ta phải tính toán các sai số trạng thái ổn định chỉ cho các hệ thống ổn định vòng kín. Điều này có nghĩa là chúng ta cần kiểm tra xem hệ thống điều khiển có ổn định hay không trước khi tìm ra các lỗi ở trạng thái ổn định. Trong chương tiếp theo, chúng ta sẽ thảo luận về sự ổn định liên quan đến các khái niệm.

Tính ổn định là một khái niệm quan trọng. Trong chương này, chúng ta hãy thảo luận về tính ổn định của hệ thống và các loại hệ thống dựa trên tính ổn định.

Ổn định là gì?

Một hệ thống được cho là ổn định, nếu đầu ra của nó được kiểm soát. Nếu không, nó được cho là không ổn định. Astable system tạo ra một đầu ra có giới hạn cho một đầu vào có giới hạn nhất định.

Hình sau đây cho thấy phản ứng của một hệ thống ổn định.

Đây là phản hồi của hệ thống điều khiển bậc nhất đối với đầu vào bước đơn vị. Phản hồi này có các giá trị từ 0 đến 1. Vì vậy, nó là đầu ra bị giới hạn. Chúng tôi biết rằng tín hiệu bước đơn vị có giá trị là một đối với tất cả các giá trị dương củatkể cả số không. Vì vậy, nó là đầu vào có giới hạn. Do đó, hệ thống điều khiển đơn hàng đầu tiên là ổn định vì cả đầu vào và đầu ra đều bị ràng buộc.

Các loại hệ thống dựa trên tính ổn định

Chúng ta có thể phân loại các hệ thống dựa trên độ ổn định như sau.

• Hệ thống ổn định tuyệt đối
• Hệ thống ổn định có điều kiện
• Hệ thống ổn định nhẹ

Hệ thống ổn định tuyệt đối

Nếu hệ thống ổn định đối với tất cả các phạm vi giá trị thành phần hệ thống, thì nó được gọi là absolutely stable system. Hệ thống điều khiển vòng hở hoàn toàn ổn định nếu tất cả các cực của chức năng chuyển vòng hở có mặt ở nửa bên trái của‘s’ plane. Tương tự, hệ thống điều khiển vòng kín hoàn toàn ổn định nếu tất cả các cực của hàm truyền vòng kín nằm ở nửa bên trái của mặt phẳng 's'.

Hệ thống ổn định có điều kiện

Nếu hệ thống ổn định trong một phạm vi nhất định của các giá trị thành phần hệ thống, thì nó được gọi là conditionally stable system.

Hệ thống ổn định biên

Nếu hệ thống ổn định bằng cách tạo ra tín hiệu đầu ra với biên độ không đổi và tần số dao động không đổi cho đầu vào có giới hạn, thì nó được gọi là marginally stable system. Hệ thống điều khiển vòng hở sẽ ổn định một chút nếu có hai cực bất kỳ của hàm truyền vòng hở trên trục ảo. Tương tự, hệ thống điều khiển vòng kín ổn định một chút nếu có hai cực bất kỳ của hàm truyền vòng kín trên trục tưởng tượng.

Trong chương này, chúng ta hãy thảo luận về phân tích độ ổn định trong ‘s’miền sử dụng tiêu chí ổn định RouthHurwitz. Trong tiêu chí này, chúng tôi yêu cầu phương trình đặc trưng để tìm tính ổn định của hệ thống điều khiển vòng kín.

Tiêu chí về độ ổn định của Routh-Hurwitz

Tiêu chí ổn định của Routh-Hurwitz là có một điều kiện cần và một điều kiện đủ để ổn định. Nếu bất kỳ hệ thống điều khiển nào không thỏa mãn điều kiện cần thiết, thì chúng ta có thể nói rằng hệ thống điều khiển không ổn định. Nhưng, nếu hệ thống điều khiển thỏa mãn điều kiện cần thiết thì nó có thể ổn định hoặc không. Vì vậy, điều kiện đủ rất hữu ích để biết hệ thống điều khiển có ổn định hay không.

Điều kiện cần thiết để ổn định Routh-Hurwitz

Điều kiện cần là các hệ số của đa thức đặc trưng phải là số dương. Điều này ngụ ý rằng tất cả các nghiệm nguyên của phương trình đặc trưng phải có phần thực âm.

Xét phương trình đặc trưng của bậc 'n' là -

$$a_0s^n+a_1s^{n-1}+a_2s^{n-2}+...+a_{n-1}s^1+a_ns^0=0$$

Lưu ý rằng, không được thiếu bất kỳ thuật ngữ nào trong n^thphương trình đặc tính bậc. Điều này có nghĩa làn^th phương trình đặc tính bậc không được có bất kỳ hệ số nào có giá trị bằng không.

Điều kiện đủ cho sự ổn định của Routh-Hurwitz

Điều kiện đủ là tất cả các phần tử của cột đầu tiên của mảng Routh phải có cùng dấu. Điều này có nghĩa là tất cả các phần tử của cột đầu tiên của mảng Routh phải là số dương hoặc âm.

Phương pháp mảng Routh

Nếu tất cả các nghiệm nguyên của phương trình đặc trưng nằm ở nửa bên trái của mặt phẳng 's' thì hệ thống điều khiển ổn định. Nếu tồn tại ít nhất một nghiệm nguyên của phương trình đặc trưng ở nửa bên phải của mặt phẳng 's' thì hệ thống điều khiển không ổn định. Vì vậy, chúng ta phải tìm gốc của phương trình đặc tính để biết hệ thống điều khiển là ổn định hay không ổn định. Nhưng, rất khó để tìm ra gốc của phương trình đặc trưng khi bậc tăng lên.

Vì vậy, để khắc phục vấn đề này, chúng tôi có Routh array method. Trong phương pháp này, không cần tính các nghiệm nguyên của phương trình đặc trưng. Đầu tiên, lập bảng Routh và tìm số lần thay đổi dấu hiệu trong cột đầu tiên của bảng Routh. Số lượng dấu hiệu thay đổi trong cột đầu tiên của bảng Routh cho biết số nghiệm của phương trình đặc trưng tồn tại ở nửa bên phải của mặt phẳng 's' và hệ thống điều khiển không ổn định.

Làm theo quy trình này để tạo bảng Routh.

• Điền vào hai hàng đầu tiên của mảng Routh với các hệ số của đa thức đặc trưng như được đề cập trong bảng dưới đây. Bắt đầu với hệ số của$s^n$ và tiếp tục lên đến hệ số $s^0$.

• Điền vào các hàng còn lại của mảng Routh với các phần tử như được đề cập trong bảng bên dưới. Tiếp tục quá trình này cho đến khi bạn nhận được phần tử cột đầu tiên củarow $s^0$ Là $a_n$. Đây,$a_n$ là hệ số của $s^0$ trong đa thức đặc trưng.

Note - Nếu bất kỳ phần tử hàng nào của bảng Routh có một số yếu tố chung, thì bạn có thể chia các phần tử hàng với hệ số đó cho đơn giản hóa sẽ dễ dàng.

Các chương trình bảng sau mảng Routh của n ^thứ trật tự đa thức đặc trưng.

$$a_0s^n+a_1s^{n-1}+a_2s^{n-2}+...+a_{n-1}s^1+a_ns^0$$

$s^n$	$a_0$	$a_2$	$a_4$	$a_6$	...	...
$s^{n-1}$	$a_1$	$a_3$	$a_5$	$a_7$	...	...
$s^{n-2}$	$b_1=\frac{a_1a_2-a_3a_0}{a_1}$	$b_2=\frac{a_1a_4-a_5a_0}{a_1}$	$b_3=\frac{a_1a_6-a_7a_0}{a_1}$	...	...	...
$s^{n-3}$	$c_1=\frac{b_1a_3-b_2a_1}{b_1}$	$c_2=\frac{b_1a_55-b_3a_1}{b_1}$	$\vdots$
$\vdots $	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$s^1$	$\vdots$	$\vdots$
$s^0$	$a_n$

Example

Hãy để chúng tôi tìm sự ổn định của hệ thống điều khiển có phương trình đặc tính,

$$s^4+3s^3+3s^2+2s+1=0$$

Step 1 - Xác minh điều kiện cần thiết cho sự ổn định của Routh-Hurwitz.

Tất cả các hệ số của đa thức đặc trưng, $s^4+3s^3+3s^2+2s+1$là tích cực. Vậy, hệ thống điều khiển thỏa mãn điều kiện cần thiết.

Step 2 - Hình thành mảng Routh cho đa thức đặc trưng đã cho.

$s^4$	$1$	$3$	$1$
$s^3$	$3$	$2$
$s^2$	$\frac{(3 \times 3)-(2 \times 1)}{3}=\frac{7}{3}$	$\frac{(3 \times 1)-(0 \times 1)}{3}=\frac{3}{3}=1$
$s^1$	$\frac{\left ( \frac{7}{3}\times 2 \right )-(1 \times 3)}{\frac{7}{3}}=\frac{5}{7}$
$s^0$	$1$

Step 3 - Xác minh điều kiện đủ cho sự ổn định của Routh-Hurwitz.

Tất cả các phần tử của cột đầu tiên của mảng Routh đều dương. Không có sự thay đổi dấu hiệu trong cột đầu tiên của mảng Routh. Vì vậy, hệ thống điều khiển ổn định.

Các trường hợp đặc biệt của mảng Routh

Chúng ta có thể gặp hai loại tình huống trong khi hình thành bảng Routh. Rất khó để hoàn thành bảng Routh từ hai tình huống này.

Hai trường hợp đặc biệt là -

• Phần tử đầu tiên của bất kỳ hàng nào của mảng Routh bằng không.
• Tất cả các phần tử của bất kỳ hàng nào của mảng Routh đều bằng không.

Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về cách vượt qua khó khăn trong hai trường hợp này, từng trường hợp một.

Phần tử đầu tiên của bất kỳ hàng nào của mảng Routh bằng 0

Nếu bất kỳ hàng nào của mảng Routh chỉ chứa phần tử đầu tiên là 0 và ít nhất một trong các phần tử còn lại có giá trị khác 0, thì hãy thay thế phần tử đầu tiên bằng một số nguyên dương nhỏ, $\epsilon$. Và sau đó tiếp tục quá trình hoàn thành bảng Routh. Bây giờ, hãy tìm số lần thay đổi dấu hiệu trong cột đầu tiên của bảng Routh bằng cách thay thế$\epsilon$ có xu hướng bằng không.

Example

Hãy để chúng tôi tìm sự ổn định của hệ thống điều khiển có phương trình đặc tính,

$$s^4+2s^3+s^2+2s+1=0$$

Step 1 - Xác minh điều kiện cần thiết cho sự ổn định của Routh-Hurwitz.

Tất cả các hệ số của đa thức đặc trưng, $s^4+2s^3+s^2+2s+1$là tích cực. Vì vậy, hệ thống điều khiển đã thỏa mãn điều kiện cần thiết.

Step 2 - Hình thành mảng Routh cho đa thức đặc trưng đã cho.

$s^4$	$1$	$1$	$1$
$s^3$	2 1	2 1
$s^2$	$\frac{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$	$\frac{(1 \times 1)-(0 \times 1)}{1}=1$
$s^1$
$s^0$

Hàng $s^3$phần tử có 2 là nhân tử chung. Vì vậy, tất cả các yếu tố này được chia cho 2.

Special case (i) - Chỉ phần tử đầu tiên của hàng $s^2$bằng không. Vì vậy, hãy thay thế nó bằng$\epsilon$ và tiếp tục quá trình hoàn thành bảng Routh.

$s^4$	1	1	1
$s^3$	1	1
$s^2$	$\epsilon$	1
$s^1$	$\frac{\left ( \epsilon \times 1 \right )-\left ( 1 \times 1 \right )}{\epsilon}=\frac{\epsilon-1}{\epsilon}$
$s^0$	1

Step 3 - Xác minh điều kiện đủ cho sự ổn định của Routh-Hurwitz.

Như $\epsilon$ có xu hướng bằng không, bảng Routh trở thành như thế này.

$s^4$	1	1	1
$s^3$	1	1
$s^2$	0	1
$s^1$	-∞
$s^0$	1

Có hai thay đổi dấu hiệu trong cột đầu tiên của bảng Routh. Do đó, hệ thống điều khiển không ổn định.

Tất cả các Phần tử của bất kỳ hàng nào của mảng Routh đều bằng 0

Trong trường hợp này, hãy làm theo hai bước sau:

• Viết phương trình phụ, A (các) hàng, ngay trên hàng các số không.

• Phân biệt phương trình phụ, A (s) với s. Điền vào hàng các số không với các hệ số này.

Example

Hãy để chúng tôi tìm sự ổn định của hệ thống điều khiển có phương trình đặc tính,

$$s^5+3s^4+s^3+3s^2+s+3=0$$

Step 1 - Xác minh điều kiện cần thiết cho sự ổn định của Routh-Hurwitz.

Tất cả các hệ số của đa thức đặc trưng đã cho đều dương. Vì vậy, hệ thống điều khiển đã thỏa mãn điều kiện cần thiết.

Step 2 - Hình thành mảng Routh cho đa thức đặc trưng đã cho.

$s^5$	1	1	1
$s^4$	3 1	3 1	3 1
$s^3$	$\frac{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$	$\frac{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$
$s^2$
$s^1$
$s^0$

Hàng $s^4$ các phần tử có nhân tử chung là 3. Vì vậy, tất cả các phần tử này đều chia hết cho 3.

Special case (ii) - Tất cả các phần tử của hàng $s^3$là số không. Vì vậy, hãy viết phương trình phụ, A (các) hàng$s^4$.

$$A(s)=s^4+s^2+1$$

Phân biệt phương trình trên đối với s.

$$\frac{\text{d}A(s)}{\text{d}s}=4s^3+2s$$

Đặt các hệ số này vào hàng $s^3$.

$s^5$	1	1	1
$s^4$	1	1	1
$s^3$	4 2	2 1
$s^2$	$\frac{(2 \times 1)-(1 \times 1)}{2}=0.5$	$\frac{(2 \times 1)-(0 \times 1)}{2}=1$
$s^1$	$\frac{(0.5 \times 1)-(1 \times 2)}{0.5}=\frac{-1.5}{0.5}=-3$
$s^0$	1

Step 3 - Xác minh điều kiện đủ cho sự ổn định của Routh-Hurwitz.

Có hai thay đổi dấu hiệu trong cột đầu tiên của bảng Routh. Do đó, hệ thống điều khiển không ổn định.

Trong tiêu chí ổn định của Routh-Hurwitz, chúng ta có thể biết liệu các cực của vòng kín nằm ở nửa bên trái của mặt phẳng 's' hay ở nửa bên phải của mặt phẳng 's' hoặc trên trục tưởng tượng. Vì vậy, chúng ta không thể tìm ra bản chất của hệ thống điều khiển. Để khắc phục hạn chế này, có một kỹ thuật được gọi là quỹ tích gốc. Chúng ta sẽ thảo luận về kỹ thuật này trong hai chương tiếp theo.

Trong sơ đồ quỹ tích gốc, chúng ta có thể quan sát đường đi của các cực vòng kín. Do đó, chúng ta có thể xác định bản chất của hệ thống điều khiển. Trong kỹ thuật này, chúng ta sẽ sử dụng một hàm truyền vòng hở để biết độ ổn định của hệ thống điều khiển vòng kín.

Khái niệm cơ bản về Root Locus

Quỹ tích gốc là quỹ tích của các nghiệm nguyên của phương trình đặc trưng bằng cách thay đổi độ lợi hệ thống K từ 0 đến vô cùng.

Chúng ta biết rằng, phương trình đặc trưng của hệ thống điều khiển vòng kín là

$$1+G(s)H(s)=0$$

Chúng tôi có thể đại diện $G(s)H(s)$ như

$$G(s)H(s)=K\frac{N(s)}{D(s)}$$

Ở đâu,

• K đại diện cho hệ số nhân

• N (s) đại diện cho hạn tử số có (yếu tố) n ^th đa thức theo thứ tự 's'.

• D (s) đại diện cho mẫu số hạn có (yếu tố) m ^th đa thức theo thứ tự 's'.

Thay thế, $G(s)H(s)$ giá trị trong phương trình đặc trưng.

$$1+k\frac{N(s)}{D(s)}=0$$

$$\Rightarrow D(s)+KN(s)=0$$

Case 1 − K = 0

Nếu $K=0$, sau đó $D(s)=0$.

Điều đó có nghĩa là, các cực của vòng kín bằng với các cực của vòng hở khi K bằng không.

Case 2 − K = ∞

Viết lại phương trình đặc trưng trên dưới dạng

$$K\left(\frac{1}{K}+\frac{N(s)}{D(s)} \right )=0 \Rightarrow \frac{1}{K}+\frac{N(s)}{D(s)}=0$$

Thay thế, $K = \infty$ trong phương trình trên.

$$\frac{1}{\infty}+\frac{N(s)}{D(s)}=0 \Rightarrow \frac{N(s)}{D(s)}=0 \Rightarrow N(s)=0$$

Nếu $K=\infty$, sau đó $N(s)=0$. Nó có nghĩa là các cực của vòng kín bằng với các số không của vòng mở khi K là vô cùng.

Từ hai trường hợp trên, chúng ta có thể kết luận rằng các nhánh quỹ đạo gốc bắt đầu ở cực vòng mở và kết thúc ở số không của vòng mở.

Điều kiện góc và Điều kiện độ lớn

Các điểm trên quỹ tích gốc các nhánh thỏa mãn điều kiện góc. Vì vậy, điều kiện góc được sử dụng để biết liệu điểm có tồn tại trên nhánh quỹ tích gốc hay không. Chúng ta có thể tìm giá trị của K cho các điểm trên các nhánh quỹ tích gốc bằng cách sử dụng điều kiện độ lớn. Vì vậy, chúng ta có thể sử dụng điều kiện độ lớn cho các điểm, và điều kiện này thỏa mãn điều kiện góc.

Phương trình đặc trưng của hệ thống điều khiển vòng kín là

$$1+G(s)H(s)=0$$

$$\Rightarrow G(s)H(s)=-1+j0$$

Các phase angle của $G(s)H(s)$ Là

$$\angle G(s)H(s)=\tan^{-1}\left ( \frac{0}{-1} \right )=(2n+1)\pi$$

Các angle conditionlà điểm mà tại đó góc của hàm truyền vòng hở là bội số lẻ của 180 ⁰ .

Tầm quan trọng của $G(s)H(s)$ Là -

$$|G(s)H(s)|=\sqrt {(-1)^2+0^2}=1$$

Điều kiện độ lớn là điểm (thỏa mãn điều kiện góc) mà tại đó độ lớn của hàm truyền vòng hở là một.

Các root locuslà một biểu diễn đồ họa trong miền s và nó đối xứng qua trục thực. Bởi vì các cực và số không của vòng lặp mở tồn tại trong miền s có các giá trị là thực hoặc là các cặp liên hợp phức tạp. Trong chương này, chúng ta hãy thảo luận về cách xây dựng (vẽ) quỹ tích nghiệm.

Quy tắc xây dựng vị trí gốc

Tuân theo các quy tắc này để xây dựng quỹ tích gốc.

Rule 1 - Xác định vị trí các cực và số không của vòng lặp mở trong mặt phẳng 's'.

Rule 2 - Tìm số nhánh quỹ tích gốc.

Chúng ta biết rằng các nhánh quỹ đạo gốc bắt đầu ở các cực của vòng mở và kết thúc ở các số không của vòng mở. Vì vậy, số nhánh quỹ tích gốcN bằng số cực vòng hở hữu hạn P hoặc số lượng số không vòng lặp mở hữu hạn Z, giá trị nào lớn hơn.

Về mặt toán học, chúng ta có thể viết số nhánh quỹ tích căn N như

$N=P$ nếu $P\geq Z$

$N=Z$ nếu $P<Z$

Rule 3 - Xác định và vẽ các real axis root locus branches.

Nếu góc của hàm truyền vòng hở tại một điểm là bội số lẻ của 180 ⁰ , thì điểm đó nằm trên quỹ tích gốc. Nếu số lẻ của cực vòng hở và số không tồn tại ở phía bên trái của một điểm trên trục thực, thì điểm đó nằm trên nhánh quỹ tích gốc. Do đó, nhánh của điểm thỏa mãn điều kiện này là trục thực của nhánh quỹ tích gốc.

Rule 4 - Tìm tâm và góc của tâm không triệu chứng.

• Nếu $P = Z$, sau đó tất cả các nhánh quỹ đạo gốc bắt đầu tại các cực vòng mở hữu hạn và kết thúc tại các số không vòng mở hữu hạn.

• Nếu $P > Z$ , sau đó $Z$ số nhánh quỹ tích gốc bắt đầu ở cực vòng hở hữu hạn và kết thúc ở số không vòng mở hữu hạn và $P − Z$ số nhánh quỹ đạo gốc bắt đầu tại các cực vòng hở hữu hạn và kết thúc tại các cực không vòng mở vô hạn.

• Nếu $P < Z$ , sau đó P số nhánh quỹ tích gốc bắt đầu tại các cực vòng hở hữu hạn và kết thúc tại các số không vòng mở hữu hạn và $Z − P$ số nhánh quỹ đạo gốc bắt đầu ở cực vòng mở vô hạn và kết thúc ở số không vòng mở hữu hạn.

Vì vậy, một số nhánh quỹ đạo gốc tiến tới vô cùng, khi $P \neq Z$. Các nhánh không triệu chứng đưa ra hướng của các nhánh quỹ đạo rễ này. Giao điểm của các dấu không triệu chứng trên trục thực được gọi làcentroid.

Chúng tôi có thể tính toán centroid α bằng cách sử dụng công thức này,

$\alpha = \frac{\sum Real\: part\: of\: finite\: open\: loop\: poles\:-\sum Real\: part\: of\: finite\: open\: loop\: zeros}{P-Z}$

Công thức của góc của asymptotes θ Là

$$\theta=\frac{(2q+1)180^0}{P-Z}$$

Ở đâu,

$$q=0,1,2,....,(P-Z)-1$$

Rule 5 - Tìm giao điểm của các nhánh quỹ tích với một trục tưởng tượng.

Chúng ta có thể tính điểm tại đó nhánh quỹ tích gốc giao với trục ảo và giá trị của K tại thời điểm đó bằng cách sử dụng phương thức mảng Routh và đặc biệt case (ii).

• Nếu tất cả các phần tử của bất kỳ hàng nào của mảng Routh đều bằng 0, thì nhánh quỹ tích gốc giao với trục ảo và ngược lại.

• Xác định hàng theo cách sao cho nếu chúng ta đặt phần tử đầu tiên là 0, thì các phần tử của toàn bộ hàng là 0. Tìm giá trị củaK cho sự kết hợp này.

• Thay thế cái này Kgiá trị trong phương trình phụ. Bạn sẽ nhận được giao điểm của nhánh quỹ tích gốc với một trục tưởng tượng.

Rule 6 - Tìm điểm Break-away và Break-in.

• Nếu tồn tại một nhánh quỹ tích gốc trục thực giữa hai cực vòng hở, thì sẽ có break-away point ở giữa hai cực vòng hở này.

• Nếu tồn tại một nhánh quỹ đạo gốc trục thực giữa hai số không vòng lặp mở, thì sẽ có break-in point ở giữa hai số không vòng lặp mở này.

Note - Điểm ngắt và điểm ngắt chỉ tồn tại trên các nhánh quỹ tích gốc trục thực.

Làm theo các bước sau để tìm điểm đột nhập và đột nhập.

• Viết $K$ về mặt $s$ từ phương trình đặc trưng $1 + G(s)H(s) = 0$.

• Phân biệt $K$đối với s và làm cho nó bằng không. Thay thế các giá trị này của$s$ trong phương trình trên.

• Các giá trị của $s$ cho mà $K$ giá trị là tích cực là break points.

Rule 7 - Tìm góc đi và góc tới.

Góc đi và góc tới có thể được tính toán lần lượt tại các cực của vòng hở liên hợp phức và các cực của vòng hở liên hợp phức.

Công thức cho angle of departure $\phi_d$ Là

$$\phi_d=180^0-\phi$$

Công thức cho angle of arrival $\phi_a$ Là

$$\phi_a=180^0+\phi$$

Ở đâu,

$$\phi=\sum \phi_P-\sum \phi_Z$$

Thí dụ

Bây giờ chúng ta hãy vẽ quỹ tích gốc của hệ thống điều khiển có chức năng truyền vòng lặp mở, $G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+5)}$

Step 1 - Hàm truyền vòng hở đã cho có ba cực tại $s = 0, s = −1$ và $s = −5$. Nó không có bất kỳ số 0 nào. Do đó, số nhánh quỹ đạo nghiệm số bằng số cực của hàm truyền vòng hở.

$$N=P=3$$

Ba cực được đặt trong hình trên. Đoạn thẳng giữa$s = −1$ và $s = 0$là một nhánh của quỹ tích gốc trên trục thực. Và nhánh khác của quỹ tích gốc trên trục thực là đoạn thẳng bên trái của$s = −5$.

Step 2 - Chúng tôi sẽ nhận được các giá trị của tâm và góc của không triệu chứng bằng cách sử dụng các công thức cho trước.

Tâm $\alpha = −2$

Góc của không triệu chứng là $\theta = 60^0,180^0$ và $300^0$.

Trung tâm và ba không triệu chứng được hiển thị trong hình sau.

Step 3 - Vì hai không triệu chứng có các góc của $60^0$ và $300^0$, hai quỹ tích gốc nhánh cắt trục tưởng tượng. Bằng cách sử dụng phương pháp mảng Routh và trường hợp đặc biệt (ii), các nhánh quỹ tích gốc giao với trục ảo tại$j\sqrt{5}$ và $−j\sqrt{5}$.

Sẽ có một điểm phân tách trên nhánh quỹ tích gốc trục thực giữa các cực $s = −1$ và $s = 0$. Bằng cách làm theo quy trình được đưa ra để tính toán điểm phá vỡ, chúng tôi sẽ nhận được nó là$s = −0.473$.

Biểu đồ quỹ tích gốc của hệ thống điều khiển đã cho được thể hiện trong hình sau.

Bằng cách này, bạn có thể vẽ sơ đồ quỹ tích gốc của bất kỳ hệ thống điều khiển nào và quan sát sự chuyển động của các cực của hàm truyền vòng kín.

Từ biểu đồ quỹ tích nghiệm, chúng ta có thể biết khoảng giá trị K đối với các loại dao động tắt dần.

Hiệu ứng của việc thêm các cực vòng lặp mở và Zeros trên vị trí gốc

Quỹ đạo gốc có thể được chuyển sang ‘s’ plane bằng cách thêm các cực của vòng lặp mở và các số không của vòng lặp mở.

• Nếu chúng ta bao gồm một cực trong hàm truyền vòng hở, thì một số nhánh quỹ tích gốc sẽ di chuyển về phía nửa bên phải của mặt phẳng 's'. Do đó, tỷ lệ giảm xóc$\delta$giảm dần. Có nghĩa là, tần số giảm$\omega_d$ tăng và các thông số kỹ thuật của miền thời gian như thời gian trễ $t_d$, tăng thời gian $t_r$ và thời gian cao điểm $t_p$giảm bớt. Tuy nhiên, nó ảnh hưởng đến sự ổn định của hệ thống.

• Nếu chúng ta bao gồm số 0 trong hàm truyền vòng lặp mở, thì một số nhánh quỹ tích gốc sẽ di chuyển về phía nửa trái của mặt phẳng 's'. Vì vậy, nó sẽ tăng tính ổn định của hệ thống điều khiển. Trong trường hợp này, tỷ lệ giảm chấn$\delta$tăng. Có nghĩa là, tần số giảm$\omega_d$ giảm và các thông số kỹ thuật của miền thời gian như thời gian trễ $t_d$, tăng thời gian $t_r$ và thời gian cao điểm $t_p$ tăng.

Vì vậy, dựa trên yêu cầu, chúng ta có thể bao gồm (thêm) các cực hoặc số không của vòng lặp mở vào hàm truyền.

Chúng ta đã thảo luận về phân tích phản ứng thời gian của hệ thống điều khiển và các đặc điểm kỹ thuật miền thời gian của hệ thống điều khiển bậc hai. Trong chương này, chúng ta hãy thảo luận về phân tích đáp ứng tần số của hệ thống điều khiển và các thông số kỹ thuật miền tần số của hệ thống điều khiển bậc hai.

Đáp ứng tần số là gì?

Phản hồi của một hệ thống có thể được phân chia thành cả phản ứng nhất thời và phản hồi trạng thái ổn định. Chúng ta có thể tìm phản ứng nhất thời bằng cách sử dụng tích phân Fourier. Đáp ứng trạng thái ổn định của hệ thống đối với tín hiệu hình sin đầu vào được gọi làfrequency response. Trong chương này, chúng ta sẽ chỉ tập trung vào phản ứng trạng thái ổn định.

Nếu một tín hiệu hình sin được áp dụng làm đầu vào cho hệ thống Bất biến Thời gian Tuyến tính (LTI), thì nó tạo ra đầu ra trạng thái ổn định, cũng là một tín hiệu hình sin. Tín hiệu hình sin đầu vào và đầu ra có cùng tần số, nhưng biên độ và góc pha khác nhau.

Để tín hiệu đầu vào là -

$$r(t)=A\sin(\omega_0t)$$

Hàm truyền vòng lặp mở sẽ là:

$$G(s)=G(j\omega)$$

Chúng tôi có thể đại diện $G(j\omega)$ về độ lớn và pha như hình dưới đây.

$$G(j\omega)=|G(j\omega)| \angle G(j\omega)$$

Thay thế, $\omega = \omega_0$ trong phương trình trên.

$$G(j\omega_0)=|G(j\omega_0)| \angle G(j\omega_0)$$

Tín hiệu đầu ra là

$$c(t)=A|G(j\omega_0)|\sin(\omega_0t + \angle G(j\omega_0))$$

• Các amplitude của tín hiệu hình sin đầu ra thu được bằng cách nhân biên độ của tín hiệu hình sin đầu vào và độ lớn của $G(j\omega)$ tại $\omega = \omega_0$.

• Các phase của tín hiệu hình sin đầu ra thu được bằng cách thêm pha của tín hiệu hình sin đầu vào và pha của $G(j\omega)$ tại $\omega = \omega_0$.

Ở đâu,

• A là biên độ của tín hiệu hình sin đầu vào.

• ω₀ là tần số góc của tín hiệu hình sin đầu vào.

Chúng ta có thể viết, tần số góc $\omega_0$ như hình bên dưới.

$$\omega_0=2\pi f_0$$

Đây, $f_0$là tần số của tín hiệu hình sin đầu vào. Tương tự, bạn có thể làm theo quy trình tương tự đối với hệ thống điều khiển vòng kín.

Thông số miền tần số

Các thông số kỹ thuật của miền tần số là resonant peak, resonant frequency and bandwidth.

Hãy xem xét chức năng truyền của hệ thống điều khiển vòng kín bậc hai là,

$$T(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2}$$

Thay thế, $s = j\omega$ trong phương trình trên.

$$T(j\omega)=\frac{\omega_n^2}{(j\omega)^2+2\delta\omega_n(j\omega)+\omega_n^2}$$

$$\Rightarrow T(j\omega)=\frac{\omega_n^2}{-\omega^2+2j\delta\omega\omega_n+\omega_n^2}=\frac{\omega_n^2}{\omega_n^2\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2}+\frac{2j\delta\omega}{\omega_n} \right )}$$

$$\Rightarrow T(j\omega)=\frac{1}{\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2} \right )+j\left ( \frac{2\delta\omega}{\omega_n} \right )}$$

Để cho, $\frac{\omega}{\omega_n}=u$ Thay giá trị này vào phương trình trên.

$$T(j\omega)=\frac{1}{(1-u^2)+j(2\delta u)}$$

Tầm quan trọng của $T(j\omega)$ Là -

$$M=|T(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt {(1-u^2)^2+(2\delta u)^2}}$$

Giai đoạn $T(j\omega)$ Là -

$$\angle T(j\omega)=-tan^{-1}\left( \frac{2\delta u}{1-u^2} \right )$$

Tần số cộng hưởng

Đó là tần số mà độ lớn của đáp ứng tần số có giá trị cực đại lần đầu tiên. Nó được ký hiệu là$\omega_r$. Tại$\omega = \omega_r$, dẫn xuất đầu tiên về độ lớn của $T(j\omega)$ bằng không.

Phân biệt $M$ đối với $u$.

$$\frac{\text{d}M}{\text{d}u}=-\frac{1}{2}\left [ (1-u^2)^2+(2\delta u)^2 \right ]^{\frac{-3}{2}} \left [2(1-u^2)(-2u)+2(2\delta u)(2\delta) \right ]$$

$$\Rightarrow \frac{\text{d}M}{\text{d}u}=-\frac{1}{2}\left [ (1-u^2)^2+(2\delta u)^2 \right ]^{\frac{-3}{2}} \left [4u(u^2-1 +2\delta^2) \right ]$$

Thay thế, $u=u_r$ và $\frac{\text{d}M}{\text{d}u}==0$ trong phương trình trên.

$$0=-\frac{1}{2}\left [ (1-u_r^2)^2+(2\delta u_r)^2 \right ]^{-\frac{3}{2}}\left [ 4u_r(u_r^2-1 +2\delta^2) \right ]$$

$$\Rightarrow 4u_r(u_r^2-1 +2\delta^2)=0$$

$$\Rightarrow u_r^2-1+2\delta^2=0$$

$$\Rightarrow u_r^2=1-2\delta^2$$

$$\Rightarrow u_r=\sqrt{1-2\delta^2}$$

Thay thế, $u_r=\frac{\omega_r}{\omega_n}$ trong phương trình trên.

$$\frac{\omega_r}{\omega_n}=\sqrt{1-2\delta^2}$$

$$\Rightarrow \omega_r=\omega_n \sqrt{1-2\delta^2}$$

Đỉnh cộng hưởng

Đây là giá trị đỉnh (lớn nhất) của cường độ $T(j\omega)$. Nó được ký hiệu là$M_r$.

Tại $u = u_r$, Tầm quan trọng của $T(j\omega)$ Là -

$$M_r=\frac{1}{\sqrt{(1-u_r^2)^2+(2\delta u_r)^2}}$$

Thay thế, $u_r = \sqrt{1 − 2\delta^2}$ và $1 − u_r^2 = 2\delta^2$ trong phương trình trên.

$$M_r=\frac{1}{\sqrt{(2\delta^2)^2+(2\delta \sqrt{1-2\delta^2})^2}}$$

$$\Rightarrow M_r=\frac{1}{2\delta \sqrt {1-\delta^2}}$$

Đỉnh cộng hưởng trong đáp ứng tần số tương ứng với cực đại đỉnh trong đáp ứng thoáng qua miền thời gian đối với các giá trị nhất định của tỷ số tắt dần $\delta$. Vì vậy, đỉnh cộng hưởng và độ vượt đỉnh có tương quan với nhau.

Băng thông

Đó là dải tần số mà trên đó, độ lớn của $T(j\omega)$ giảm xuống 70,7% từ giá trị tần số 0 của nó.

Tại $\omega = 0$, giá trị của $u$ sẽ bằng không.

Thay thế, $u = 0$ ở M.

$$M=\frac{1}{\sqrt {(1-0^2)^2+(2\delta(0))^2}}=1$$

Do đó, độ lớn của $T(j\omega)$ là một tại $\omega = 0$.

Ở tần số 3 dB, độ lớn của $T(j\omega)$ sẽ là 70,7% độ lớn của $T(j\omega)$ tại $\omega = 0$.

tôi ăn $\omega = \omega_B, M = 0.707(1) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$$\Rightarrow M=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{(1-u_b^2)^2+(2\delta u_b)^2}}$$

$$\Rightarrow 2=(1-u_b^2)^2+(2\delta)^2 u_b^2$$

Để cho, $u_b^2=x$

$$\Rightarrow 2=(1-x)^2+(2\delta)^2 x$$

$$\Rightarrow x^2+(4\delta^2-2)x-1=0$$

$$\Rightarrow x=\frac{-(4\delta^2 -2)\pm \sqrt{(4\delta^2-2)^2+4}}{2}$$

Chỉ xét giá trị dương của x.

$$x=1-2\delta^2+\sqrt {(2\delta^2-1)^2+1}$$

$$\Rightarrow x=1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}$$

Thay thế, $x=u_b^2=\frac{\omega_b^2}{\omega_n^2}$

$$\frac{\omega_b^2}{\omega_n^2}=1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}$$

$$\Rightarrow \omega_b=\omega_n \sqrt {1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}}$$

Băng thông $\omega_b$ trong đáp ứng tần số tỷ lệ nghịch với thời gian tăng $t_r$ trong miền thời gian phản hồi thoáng qua.

Biểu đồ Bode hoặc biểu đồ Bode bao gồm hai biểu đồ -

• Biểu đồ độ lớn
• Cốt truyện giai đoạn

Trong cả hai biểu đồ, trục x đại diện cho tần số góc (thang logarit). Trong khi đó, yaxis biểu thị độ lớn (thang tuyến tính) của hàm truyền vòng hở trong biểu đồ độ lớn và góc pha (thang tuyến tính) của hàm truyền vòng mở trong biểu đồ pha.

Các magnitude của hàm truyền vòng hở tính bằng dB là -

$$M=20\: \log|G(j\omega)H(j\omega)|$$

Các phase angle của hàm truyền vòng hở theo độ là -

$$\phi=\angle G(j\omega)H(j\omega)$$

Note - Cơ số của lôgarit là 10.

Cơ bản về lô Bode

Bảng sau đây cho thấy các giá trị độ dốc, độ lớn và góc pha của các số hạng có trong hàm truyền vòng hở. Dữ liệu này rất hữu ích trong khi vẽ biểu đồ Bode.

Loại điều khoản	G (jω) H (jω)	Độ dốc (dB / dec)	Độ lớn (dB)	Góc pha (độ)
Không thay đổi	$K$	$0$	$20 \log K$	$0$
0 tại điểm gốc	$j\omega$	$20$	$20 \log \omega$	$90$
số không 'n' tại gốc	$(j\omega)^n$	$20\: n$	$20\: n \log \omega$	$90\: n$
Cực tại nguồn gốc	$\frac{1}{j\omega}$	$-20$	$-20 \log \omega$	$-90 \: or \: 270$
cực 'n' tại điểm gốc	$\frac{1}{(j\omega)^n}$	$-20\: n$	$-20 \: n \log \omega$	$-90 \: n \: or \: 270 \: n$
Số 0 đơn giản	$1+j\omega r$	$20$	$0\: for\: \omega < \frac{1}{r}$ $20\: \log \omega r\: for \: \omega > \frac{1}{r}$	$0 \: for \: \omega < \frac{1}{r}$ $90 \: for \: \omega > \frac{1}{r}$
Cực đơn giản	$\frac{1}{1+j\omega r}$	$-20$	$0\: for\: \omega < \frac{1}{r}$ $-20\: \log \omega r\: for\: \omega > \frac{1}{r}$	$0 \: for \: \omega < \frac{1}{r}$ $-90\: or \: 270 \: for\: \omega > \frac{1}{r}$
Thuật ngữ phái sinh bậc hai	$\omega_n^2\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2}+\frac{2j\delta\omega}{\omega_n} \right )$	$40$	$40\: \log\: \omega_n\: for \: \omega < \omega_n$ $20\: \log\:(2\delta\omega_n^2)\: for \: \omega=\omega_n$ $40 \: \log \: \omega\:for \:\omega > \omega_n$	$0 \: for \: \omega < \omega_n$ $90 \: for \: \omega = \omega_n$ $180 \: for \: \omega > \omega_n$
Số hạng tích phân bậc hai	$\frac{1}{\omega_n^2\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2}+\frac{2j\delta\omega}{\omega_n} \right )}$	$-40$	$-40\: \log\: \omega_n\: for \: \omega < \omega_n$ $-20\: \log\:(2\delta\omega_n^2)\: for \: \omega=\omega_n$ $-40 \: \log \: \omega\:for \:\omega > \omega_n$	$-0 \: for \: \omega < \omega_n$ $-90 \: for \: \omega = \omega_n$ $-180 \: for \: \omega > \omega_n$

Xem xét chức năng truyền vòng lặp mở $G(s)H(s) = K$.

Tầm quan trọng $M = 20\: \log K$ dB

Góc pha $\phi = 0$ độ

Nếu $K = 1$, khi đó độ lớn là 0 dB.

Nếu $K > 1$, thì độ lớn sẽ là dương.

Nếu $K < 1$, thì độ lớn sẽ là âm.

Hình sau cho thấy biểu đồ Bode tương ứng.

Biểu đồ độ lớn là một đường nằm ngang, không phụ thuộc vào tần số. Đường 0 dB chính là đồ thị cường độ khi giá trị của K là một. Đối với các giá trị dương của K, đường ngang sẽ dịch chuyển$20 \:\log K$dB trên vạch 0 dB. Đối với các giá trị âm của K, đường ngang sẽ dịch chuyển$20\: \log K$dB dưới vạch 0 dB. Đường 0 độ chính là đồ thị pha cho tất cả các giá trị dương của K.

Xem xét chức năng truyền vòng lặp mở $G(s)H(s) = s$.

Tầm quan trọng $M = 20 \log \omega$ dB

Góc pha $\phi = 90^0$

Tại $\omega = 0.1$ rad / giây, độ lớn là -20 dB.

Tại $\omega = 1$ rad / giây, độ lớn là 0 dB.

Tại $\omega = 10$ rad / giây, độ lớn là 20 dB.

Hình sau cho thấy biểu đồ Bode tương ứng.

Biểu đồ cường độ là một đường thẳng, có độ dốc 20 dB / dec. Dòng này bắt đầu lúc$\omega = 0.1$rad / giây có độ lớn -20 dB và nó tiếp tục trên cùng một độ dốc. Nó đang chạm vào vạch 0 dB tại$\omega = 1$rad / giây. Trong trường hợp này, đồ thị pha là dòng 90 ⁰ .

Xem xét chức năng truyền vòng lặp mở $G(s)H(s) = 1 + s\tau$.

Tầm quan trọng $M = 20\: log \sqrt{1 + \omega^2\tau^2}$ dB

Góc pha $\phi = \tan^{-1}\omega\tau$ độ

Đối với $ω < \frac{1}{\tau}$ , độ lớn là 0 dB và góc pha là 0 độ.

Đối với $\omega > \frac{1}{\tau}$ , độ lớn là $20\: \log \omega\tau$dB và góc pha là 90 ⁰ .

Hình sau cho thấy biểu đồ Bode tương ứng.

Biểu đồ cường độ có cường độ 0 dB tối đa $\omega=\frac{1}{\tau}$rad / giây. Từ$\omega = \frac{1}{\tau}$rad / giây, nó đang có độ dốc 20 dB / dec. Trong trường hợp này, biểu đồ pha có góc pha 0 độ lên đến$\omega = \frac{1}{\tau}$rad / giây và từ đây, nó có góc pha là 90 ⁰ . Biểu đồ Bode này được gọi làasymptotic Bode plot.

Vì độ lớn và các biểu đồ pha được biểu diễn bằng các đường thẳng, nên các biểu đồ Bode Chính xác giống với các biểu đồ Bode tiệm cận. Sự khác biệt duy nhất là các ô Exact Bode sẽ có các đường cong đơn giản thay vì các đường thẳng.

Tương tự, bạn có thể vẽ biểu đồ Bode cho các điều khoản khác của hàm truyền vòng lặp mở được đưa ra trong bảng.

Trong chương này, chúng ta hãy hiểu chi tiết cách xây dựng (vẽ) các đồ thị Bode.

Quy tắc xây dựng các lô Bode

Thực hiện theo các quy tắc này trong khi xây dựng biểu đồ Bode.

• Biểu diễn hàm truyền vòng hở ở dạng hằng số thời gian chuẩn.

• Thay thế, $s=j\omega$ trong phương trình trên.

• Tìm các tần số góc và sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần.

• Hãy xem xét các tần số bắt đầu của đồ thị Bode như 1/10 ^thứ của tần số góc tối thiểu tương đương 0.1 rad / sec nào là giá trị nhỏ hơn và vẽ đồ thị Bode tối đa 10 lần tần số góc tối đa.

• Vẽ các biểu đồ độ lớn cho từng thuật ngữ và kết hợp các biểu đồ này đúng cách.

• Vẽ các ô pha cho mỗi kỳ hạn và kết hợp các ô này một cách hợp lý.

Note - Tần số góc là tần số có sự thay đổi độ dốc của đồ thị độ lớn.

Thí dụ

Xem xét chức năng truyền vòng hở của hệ thống điều khiển vòng kín

$$G(s)H(s)=\frac{10s}{(s+2)(s+5)}$$

Chúng ta hãy chuyển hàm truyền vòng lặp mở này thành dạng hằng số thời gian chuẩn.

$$G(s)H(s)=\frac{10s}{2\left( \frac{s}{2}+1 \right )5 \left( \frac{s}{5}+1 \right )}$$

$$\Rightarrow G(s)H(s)=\frac{s}{\left( 1+\frac{s}{2} \right )\left( 1+\frac{s}{5} \right )}$$

Vì vậy, chúng ta có thể vẽ biểu đồ Bode trong tờ nhật ký bán phần bằng cách sử dụng các quy tắc đã đề cập trước đó.

Phân tích độ ổn định bằng cách sử dụng các lô Bode

Từ đồ thị Bode, chúng ta có thể nói liệu hệ thống điều khiển ổn định, ổn định biên hay không ổn định dựa trên giá trị của các tham số này.

• Đạt được chéo qua tần số và chéo pha qua tần số
• Lợi nhuận biên và lợi nhuận giai đoạn

Chéo pha qua tần số

Tần số tại đó biểu đồ pha có pha -180 ⁰ được gọi làphase cross over frequency. Nó được ký hiệu là$\omega_{pc}$. Đơn vị của tần số chéo pha làrad/sec.

Đạt được chéo qua tần số

Tần số tại đó biểu đồ cường độ có cường độ 0 dB được gọi là gain cross over frequency. Nó được ký hiệu là$\omega_{gc}$. Đơn vị của độ lợi chéo qua tần số làrad/sec.

Sự ổn định của hệ thống điều khiển dựa trên mối quan hệ giữa tần số chéo pha và độ lợi chéo qua tần số được liệt kê dưới đây.

• Nếu pha chéo qua tần số $\omega_{pc}$ lớn hơn độ lợi vượt qua tần số $\omega_{gc}$, thì hệ thống điều khiển là stable.

• Nếu pha chéo qua tần số $\omega_{pc}$ bằng với độ lợi chéo qua tần số $\omega_{gc}$, thì hệ thống điều khiển là marginally stable.

• Nếu pha chéo qua tần số $\omega_{pc}$ nhỏ hơn độ lợi vượt qua tần số $\omega_{gc}$, thì hệ thống điều khiển là unstable.

Lợi nhuận ký quỹ

Tăng lợi nhuận $GM$ bằng âm của cường độ tính bằng dB tại pha chéo pha trên tần số.

$$GM=20\log\left( \frac{1}{M_{pc}}\right )=20logM_{pc}$$

Ở đâu, $M_{pc}$là độ lớn cùng pha trên tần số. Đơn vị của tỷ suất lợi nhuận (GM) làdB.

Biên độ pha

Công thức tính lề pha $PM$ Là

$$PM=180^0+\phi_{gc}$$

Ở đâu, $\phi_{gc}$là góc pha khi đạt được chéo trên tần số. Đơn vị của biên độ pha làdegrees.

Sự ổn định của hệ thống điều khiển dựa trên mối quan hệ giữa biên độ lợi và biên độ pha được liệt kê dưới đây.

• Nếu cả hai lợi nhuận $GM$ và biên độ giai đoạn $PM$ là tích cực, thì hệ thống điều khiển là stable.

• Nếu cả hai lợi nhuận $GM$ và biên độ giai đoạn $PM$ bằng 0, thì hệ thống điều khiển là marginally stable.

• Nếu lợi nhuận $GM$ và / hoặc biên độ pha $PM$ là / là tiêu cực, thì hệ thống điều khiển là unstable.

Trong các chương trước, chúng ta đã thảo luận về các lô Bode. Ở đó, chúng ta có hai đồ thị riêng biệt cho cả cường độ và pha là hàm của tần số. Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về lô cực. Biểu đồ cực là một biểu đồ có thể được vẽ giữa độ lớn và pha. Ở đây, độ lớn chỉ được biểu thị bằng giá trị bình thường.

Dạng cực của $G(j\omega)H(j\omega)$ Là

$$G(j\omega)H(j\omega)=|G(j\omega)H(j\omega)| \angle G(j\omega)H(j\omega)$$

Các Polar plot là một biểu đồ, có thể được vẽ giữa độ lớn và góc pha của $G(j\omega)H(j\omega)$ Bằng cách thay đổi $\omega$từ 0 đến ∞. Biểu đồ cực được hiển thị trong hình sau.

Biểu đồ này bao gồm các đường tròn đồng tâm và các đường xuyên tâm. Cácconcentric circles và radial lineslần lượt biểu diễn độ lớn và góc pha. Các góc này được biểu thị bằng các giá trị dương theo hướng phản đồng hồ. Tương tự, chúng ta có thể biểu diễn các góc có giá trị âm theo chiều kim đồng hồ. Ví dụ, góc 270 ⁰ theo hướng ngược chiều kim đồng hồ bằng góc −90 ⁰ theo chiều kim đồng hồ.

Quy tắc vẽ các lô cực

Hãy tuân theo các quy tắc này để đánh lô cực.

• Thay thế, $s = j\omega$ trong chức năng truyền vòng lặp mở.

• Viết biểu thức độ lớn và pha của $G(j\omega)H(j\omega)$.

• Tìm độ lớn ban đầu và pha của $G(j\omega)H(j\omega)$ bằng cách thay thế $\omega = 0$. Vì vậy, đồ thị cực bắt đầu với độ lớn này và góc pha.

• Tìm độ lớn kết thúc và pha của $G(j\omega)H(j\omega)$ bằng cách thay thế $\omega = \infty$. Vì vậy, đồ thị cực kết thúc với độ lớn và góc pha này.

• Kiểm tra xem biểu đồ cực có giao với trục thực hay không, bằng cách tạo thuật ngữ ảo của $G(j\omega)H(j\omega)$ bằng 0 và tìm (các) giá trị của $\omega$.

• Kiểm tra xem biểu đồ cực có giao với trục ảo hay không, bằng cách tạo số hạng thực của $G(j\omega)H(j\omega)$ bằng 0 và tìm (các) giá trị của $\omega$.

• Để vẽ biểu đồ cực rõ ràng hơn, hãy tìm độ lớn và pha của $G(j\omega)H(j\omega)$ bằng cách xem xét (các) giá trị khác của $\omega$.

Thí dụ

Xem xét chức năng truyền vòng hở của hệ thống điều khiển vòng kín.

$$G(s)H(s)=\frac{5}{s(s+1)(s+2)}$$

Hãy để chúng tôi vẽ biểu đồ cực cho hệ thống điều khiển này bằng cách sử dụng các quy tắc trên.

Step 1 - Thay thế, $s = j\omega$ trong chức năng truyền vòng lặp mở.

$$G(j\omega)H(j\omega)=\frac{5}{j\omega(j\omega+1)(j\omega+2)}$$

Độ lớn của hàm truyền vòng hở là

$$M=\frac{5}{\omega(\sqrt{\omega^2+1})(\sqrt{\omega^2+4})}$$

Góc pha của hàm truyền vòng hở là

$$\phi=-90^0-\tan^{-1}\omega-\tan^{-1}\frac{\omega}{2}$$

Step 2 - Bảng sau cho biết độ lớn và góc pha của hàm truyền vòng hở tại $\omega = 0$ rad / giây và $\omega = \infty$ rad / giây.

Tần số (rad / giây)	Tầm quan trọng	Góc pha (độ)
0	∞	-90 hoặc 270
∞	0	-270 hoặc 90

Vì vậy, đồ thị cực bắt đầu tại (∞, −90 ⁰ ) và kết thúc tại (0, −270 ⁰ ). Số hạng đầu tiên và số hạng thứ hai trong ngoặc cho biết độ lớn và góc pha tương ứng.

Step 3- Dựa vào tọa độ điểm bắt đầu và tọa độ cực kết thúc, đồ thị cực này sẽ cắt trục thực âm. Góc pha ứng với trục thực âm là −180 ⁰ hoặc 180 ⁰ . Vì vậy, bằng cách cân bằng góc pha của hàm truyền vòng hở thành −180 ⁰ hoặc 180 ⁰ , chúng ta sẽ nhận được$\omega$ giá trị như $\sqrt{2}$.

Bằng cách thay thế $\omega = \sqrt{2}$ về độ lớn của hàm truyền vòng lặp mở, chúng ta sẽ nhận được $M = 0.83$. Do đó, biểu đồ cực giao với trục thực âm khi$\omega = \sqrt{2}$và tọa độ cực là (0,83, −180 ⁰ ).

Vì vậy, chúng ta có thể vẽ đồ thị cực với thông tin trên trên trang đồ thị cực.

Biểu đồ Nyquist là sự tiếp tục của các biểu đồ cực để tìm độ ổn định của hệ thống điều khiển vòng kín bằng cách thay đổi ω từ −∞ đến ∞. Điều đó có nghĩa là, đồ thị Nyquist được sử dụng để vẽ đáp ứng tần số hoàn chỉnh của hàm truyền vòng hở.

Tiêu chí về độ ổn định của Nyquist

Tiêu chí ổn định Nyquist hoạt động dựa trên principle of argument. Nó nói rằng nếu có các cực P và các số không Z được bao quanh bởi đường đóng mặt phẳng 's', thì tương ứng$G(s)H(s)$ máy bay phải bao quanh điểm gốc $P − Z$lần. Vì vậy, chúng ta có thể viết số vùng bao quanh N là,

$$N=P-Z$$

• Nếu đường khép kín mặt phẳng 's' bao quanh chỉ chứa các cực, thì hướng của vòng vây trong $G(s)H(s)$ mặt phẳng sẽ ngược với hướng của đường dẫn khép kín trong mặt phẳng 's'.

• Nếu đường dẫn đóng mặt phẳng 's' được bao bọc chỉ chứa các số không, thì hướng của vòng vây trong $G(s)H(s)$ mặt phẳng sẽ cùng hướng với hướng của đường dẫn khép kín trong mặt phẳng 's'.

Bây giờ chúng ta hãy áp dụng nguyên tắc đối số cho toàn bộ nửa bên phải của mặt phẳng 's' bằng cách chọn nó như một đường khép kín. Đường dẫn đã chọn này được gọi làNyquist viền.

Chúng ta biết rằng hệ thống điều khiển vòng kín là ổn định nếu tất cả các cực của hàm truyền vòng kín nằm ở nửa bên trái của mặt phẳng 's'. Vì vậy, các cực của hàm truyền vòng kín không là gì khác ngoài gốc của phương trình đặc trưng. Khi bậc của phương trình đặc trưng tăng lên, rất khó để tìm ra nghiệm nguyên. Vì vậy, chúng ta hãy tương quan các gốc này của phương trình đặc trưng như sau.

• Các cực của phương trình đặc trưng giống như các cực của hàm truyền vòng hở.

• Các số không của phương trình đặc trưng giống như các cực của hàm truyền vòng kín.

Chúng ta biết rằng hệ thống điều khiển vòng hở là ổn định nếu không có cực vòng hở ở nửa bên phải của mặt phẳng 's'.

I E,$P=0 \Rightarrow N=-Z$

Chúng ta biết rằng hệ thống điều khiển vòng kín là ổn định nếu không có cực vòng kín ở nửa bên phải của mặt phẳng 's'.

I E,$Z=0 \Rightarrow N=P$

Nyquist stability criterionnêu số lượng các vòng bao quanh điểm tới hạn (1 + j0) phải bằng các cực của phương trình đặc trưng, ​​không là gì khác ngoài các cực của hàm truyền vòng hở trong nửa bên phải của mặt phẳng 's'. Sự dịch chuyển gốc đến (1 + j0) cho mặt phẳng phương trình đặc trưng.

Các quy tắc để vẽ các lô Nyquist

Thực hiện theo các quy tắc sau để lập các âm mưu Nyquist.

• Xác định vị trí các cực và các số không của hàm truyền vòng hở $G(s)H(s)$ trong máy bay của.

• Vẽ biểu đồ cực bằng cách thay đổi $\omega$từ không đến vô cùng. Nếu cực hoặc không xuất hiện tại s = 0, thì thay đổi$\omega$ từ 0+ đến vô cùng để vẽ biểu đồ cực.

• Vẽ hình ảnh phản chiếu của biểu đồ cực trên cho các giá trị của $\omega$nằm trong khoảng từ −∞ đến không (0 ^- nếu có cực hoặc điểm 0 bất kỳ tại s = 0).

• Số nửa đường tròn bán kính vô hạn sẽ bằng số cực hoặc số không tại gốc. Nửa vòng tròn bán kính vô hạn sẽ bắt đầu tại điểm mà hình ảnh phản chiếu của đồ thị cực kết thúc. Và nửa vòng tròn bán kính vô hạn này sẽ kết thúc tại điểm bắt đầu của đồ thị cực.

Sau khi vẽ biểu đồ Nyquist, chúng ta có thể tìm thấy độ ổn định của hệ thống điều khiển vòng kín bằng cách sử dụng tiêu chí độ ổn định Nyquist. Nếu điểm tới hạn (-1 + j0) nằm bên ngoài vòng vây, thì hệ thống điều khiển vòng kín hoàn toàn ổn định.

Phân tích độ ổn định bằng cách sử dụng Nyquist Plots

Từ đồ thị Nyquist, chúng ta có thể xác định hệ thống điều khiển ổn định, ổn định biên hay không ổn định dựa trên giá trị của các tham số này.

• Đạt được chéo qua tần số và chéo pha qua tần số
• Lợi nhuận biên và lợi nhuận giai đoạn

Chéo pha qua tần số

Tần số tại đó biểu đồ Nyquist giao với trục thực âm (góc pha là 180 ⁰ ) được gọi làphase cross over frequency. Nó được ký hiệu là$\omega_{pc}$.

Đạt được chéo qua tần số

Tần suất mà tại đó âm mưu Nyquist có độ lớn của một được gọi là gain cross over frequency. Nó được ký hiệu là$\omega_{gc}$.

Sự ổn định của hệ thống điều khiển dựa trên mối quan hệ giữa pha chéo qua tần số và độ lợi chéo qua tần số được liệt kê dưới đây.

• Nếu pha chéo qua tần số $\omega_{pc}$ lớn hơn độ lợi vượt qua tần số $\omega_{gc}$, thì hệ thống điều khiển là stable.

• Nếu pha chéo qua tần số $\omega_{pc}$ bằng với độ lợi chéo qua tần số $\omega_{gc}$, thì hệ thống điều khiển là marginally stable.

• Nếu pha chéo qua tần số $\omega_{pc}$ nhỏ hơn độ lợi vượt qua tần số $\omega_{gc}$, thì hệ thống điều khiển là unstable.

Lợi nhuận ký quỹ

Biên lợi nhuận $GM$ bằng nghịch đảo của độ lớn của đồ thị Nyquist tại điểm chéo pha trên tần số.

$$GM=\frac{1}{M_{pc}}$$

Ở đâu, $M_{pc}$ là độ lớn trong thang đo thông thường ở pha chéo pha trên tần số.

Biên độ pha

Biên độ pha $PM$bằng tổng 180 ⁰ và góc pha tại điểm thu được chéo qua tần số.

$$PM=180^0+\phi_{gc}$$

Ở đâu, $\phi_{gc}$ là góc pha ở độ lợi chéo qua tần số.

Sự ổn định của hệ thống điều khiển dựa trên mối quan hệ giữa biên độ khuếch đại và biên độ pha được liệt kê dưới đây.

• Nếu lợi nhuận $GM$ lớn hơn một và biên độ pha $PM$ là tích cực, thì hệ thống điều khiển là stable.

• Nếu lợi nhuận $GM$ bằng một và biên độ pha $PM$ là 0 độ, thì hệ thống điều khiển là marginally stable.

• Nếu lợi nhuận $GM$ nhỏ hơn một và / hoặc biên độ pha $PM$ là tiêu cực, thì hệ thống điều khiển là unstable.

Có ba loại bộ bù - bộ bù trễ, dẫn và trễ. Chúng được sử dụng phổ biến nhất.

Bộ bù trễ

Bộ bù trễ là một mạng điện tạo ra đầu ra hình sin có độ trễ pha khi áp dụng đầu vào hình sin. Mạch bù trễ trong miền 's' được hiển thị trong hình sau.

Ở đây, tụ điện mắc nối tiếp với điện trở $R_2$ và đầu ra được đo trên sự kết hợp này.

Chức năng truyền của bộ bù trễ này là -

$$\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{1}{\alpha} \left( \frac{s+\frac{1}{\tau}}{s+\frac{1}{\alpha\tau}} \right )$$

Ở đâu,

$$\tau=R_2C$$

$$\alpha=\frac{R_1+R_2}{R_2}$$

Từ phương trình trên, $\alpha$ luôn luôn lớn hơn một.

Từ hàm truyền, chúng ta có thể kết luận rằng bộ bù trễ có một cực tại $s = − \frac{1}{\alpha \tau}$ và một số không ở $s = −\frac{1}{\tau}$. Điều này có nghĩa là, cực sẽ gần gốc hơn trong cấu hình cực không của bộ bù trễ.

Thay thế, $s = j\omega$ trong chức năng chuyển giao.

$$\frac{V_o(j\omega)}{V_i(j\omega)}=\frac{1}{\alpha}\left( \frac{j\omega+\frac{1}{\tau}}{j\omega+\frac{1}{\alpha\tau}}\right )$$

Góc pha $\phi = \tan^{−1} \omega\tau − tan^{−1} \alpha\omega\tau$

Chúng ta biết rằng, pha của tín hiệu hình sin đầu ra bằng tổng các góc pha của tín hiệu hình sin đầu vào và hàm truyền.

Vì vậy, để tạo ra độ trễ pha ở đầu ra của bộ bù này, góc pha của hàm truyền phải là âm. Điều này sẽ xảy ra khi$\alpha > 1$.

Công cụ bồi thường khách hàng tiềm năng

Bộ bù dẫn là mạng điện tạo ra đầu ra hình sin có dây pha khi đầu vào hình sin được áp dụng. Mạch bù dẫn trong miền 's' được thể hiện trong hình sau.

Ở đây, tụ điện mắc song song với điện trở $R_1$ và đầu ra được đo trên điện trở $ R_2.

Chức năng truyền của bộ bù chì này là -

$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ beta \ left (\ frac {s \ tau + 1} {\ beta s \ tau + 1} \ right) $$

Ở đâu,

$$ \ tau = R_1C $$

$$ \ beta = \ frac {R_2} {R_1 + R_2} $$

Từ hàm truyền, chúng ta có thể kết luận rằng bộ bù dẫn có cực tại $ s = - \ frac {1} {\ beta}$ and zero at $s = - \ frac {1} {\ beta \ tau} $.

Thay thế, $ s = j \ omega $ trong hàm truyền.

$$ \ frac {V_o (j \ omega)} {V_i (j \ omega)} = \ beta \ left (\ frac {j \ omega \ tau + 1} {\ beta j \ omega \ tau + 1} \ right ) $$

Góc pha $ \ phi = tan ^ {- 1} \ omega \ tau - tan ^ {- 1} \ beta \ omega \ tau $

Chúng ta biết rằng, pha của tín hiệu hình sin đầu ra bằng tổng các góc pha của tín hiệu hình sin đầu vào và hàm truyền.

Vì vậy, để tạo ra đạo trình pha ở đầu ra của bộ bù này, góc pha của hàm truyền phải là dương. Điều này sẽ xảy ra khi $ 0 <\ beta <1 $. Do đó, số không sẽ gần gốc hơn trong cấu hình cực không của bộ bù dẫn.

Bộ bù độ trễ

Bộ bù trễ-đạo trình là một mạng điện tạo ra độ trễ pha ở một vùng tần số và đạo trình pha ở vùng tần số khác. Nó là sự kết hợp của cả độ trễ và bù chì. Mạch bù trễ-đạo trình trong miền 's' được thể hiện trong hình sau.

Mạch này trông giống như cả hai bộ bù đều được xếp tầng. Vì vậy, chức năng truyền của mạch này sẽ là sản phẩm của các chức năng truyền của dây dẫn và bộ bù trễ.

$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ beta \ left (\ frac {s \ tau_1 + 1} {\ beta s \ tau_1 + 1} \ right) \ frac {1} {\ alpha} \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_2}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau_2}} \ right) $$

Chúng tôi biết $ \ alpha \ beta = 1 $.

$$ \ Rightarrow \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_1}} {s + \ frac {1} {\ beta \ tau_1}} \ right) \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_2}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau_2}} \ right) $$

Ở đâu,

$$ \ tau_1 = R_1C_1 $$

$$ \ tau_2 = R_2C_2 $$

Các loại bộ điều khiển khác nhau được sử dụng để cải thiện hiệu suất của hệ thống điều khiển. Trong chương này, chúng ta sẽ thảo luận về các bộ điều khiển cơ bản như bộ điều khiển tỷ lệ, đạo hàm và tích phân.

Bộ điều khiển tỷ lệ

Bộ điều khiển tỷ lệ tạo ra đầu ra tỷ lệ với tín hiệu lỗi.

$$ u (t) \ propto e (t) $$

$$ \ Rightarrow u (t) = K_P e (t) $$

Áp dụng phép biến đổi Laplace trên cả hai mặt -

$$ U (s) = K_P E (s) $$

$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_P $$

Do đó, hàm truyền của bộ điều khiển tỷ lệ là $ K_P $.

Ở đâu,

U (s) là biến đổi Laplace của tín hiệu kích hoạt u (t)

E (s) là biến đổi Laplace của tín hiệu lỗi e (t)

K _P là hằng số tỷ lệ

Sơ đồ khối của hệ thống điều khiển vòng kín phản hồi âm thống nhất cùng với bộ điều khiển tỷ lệ được thể hiện trong hình sau.

Bộ điều khiển tỷ lệ được sử dụng để thay đổi phản ứng nhất thời theo yêu cầu.

Bộ điều khiển phái sinh

Bộ điều khiển phái sinh tạo ra một đầu ra, là dẫn xuất của tín hiệu lỗi.

$$ u (t) = K_D \ frac {\ text {d} e (t)} {\ text {d} t} $$

Áp dụng phép biến đổi Laplace trên cả hai mặt.

$$ U (s) = K_D sE (s) $$

$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_D s $$

Do đó, hàm truyền của bộ điều khiển phái sinh là $ K_D s $.

Trong đó, $ K_D $ là hằng số đạo hàm.

Sơ đồ khối của hệ thống điều khiển vòng kín phản hồi âm thống nhất cùng với bộ điều khiển đạo hàm được thể hiện trong hình sau.

Bộ điều khiển phái sinh được sử dụng để làm cho hệ thống điều khiển không ổn định trở thành một hệ thống ổn định.

Bộ điều khiển tích hợp

Bộ điều khiển tích hợp tạo ra một đầu ra, là tích hợp của tín hiệu lỗi.

$$ u (t) = K_I \ int e (t) dt $$

Áp dụng phép biến đổi Laplace trên cả hai mặt -

$$ U (s) = \ frac {K_I E (s)} {s} $$

$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = \ frac {K_I} {s} $$

Do đó, hàm truyền của bộ điều khiển tích phân là $ \ frac {K_I} {s} $.

Trong đó, $ K_I $ là hằng số tích phân.

Sơ đồ khối của hệ thống điều khiển vòng kín phản hồi âm thống nhất cùng với bộ điều khiển tích phân được thể hiện trong hình sau.

Bộ điều khiển tích phân được sử dụng để giảm lỗi trạng thái ổn định.

Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về sự kết hợp của các bộ điều khiển cơ bản.

Bộ điều khiển Đạo hàm Tỷ lệ (PD)

Bộ điều khiển đạo hàm tỷ lệ tạo ra một đầu ra, là sự kết hợp các đầu ra của bộ điều khiển tỷ lệ và đạo hàm.

$$ u (t) = K_P e (t) + K_D \ frac {\ text {d} e (t)} {\ text {d} t} $$

Áp dụng phép biến đổi Laplace trên cả hai mặt -

$$ U (s) = (K_P + K_D s) E (s) $$

$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_P + K_D s $$

Do đó, hàm truyền của bộ điều khiển đạo hàm tỷ lệ là $ K_P + K_D s $.

Sơ đồ khối của hệ thống điều khiển vòng kín phản hồi âm thống nhất cùng với bộ điều khiển đạo hàm tỷ lệ được thể hiện trong hình sau.

Bộ điều khiển đạo hàm tỷ lệ được sử dụng để cải thiện tính ổn định của hệ thống điều khiển mà không ảnh hưởng đến lỗi trạng thái ổn định.

Bộ điều khiển tích phân tỷ lệ (PI)

Bộ điều khiển tích phân tỷ lệ tạo ra một đầu ra, là sự kết hợp các đầu ra của bộ điều khiển tỷ lệ và tích phân.

$$ u (t) = K_P e (t) + K_I \ int e (t) dt $$

Áp dụng phép biến đổi Laplace trên cả hai mặt -

$$ U (s) = \ left (K_P + \ frac {K_I} {s} \ right) E (s) $$

$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_P + \ frac {K_I} {s} $$

Do đó, hàm truyền của bộ điều khiển tích phân tỷ lệ là $ K_P + \ frac {K_I} {s} $.

Sơ đồ khối của hệ thống điều khiển vòng kín phản hồi âm thống nhất cùng với bộ điều khiển tích phân tỷ lệ được thể hiện trong hình sau.

Bộ điều khiển tích phân tỷ lệ được sử dụng để giảm sai số trạng thái ổn định mà không ảnh hưởng đến sự ổn định của hệ thống điều khiển.

Bộ điều khiển Đạo hàm Tích phân Tỷ lệ (PID)

Bộ điều khiển đạo hàm tích phân tỷ lệ tạo ra một đầu ra, là sự kết hợp các đầu ra của bộ điều khiển tỷ lệ, tích phân và đạo hàm.

$$ u (t) = K_P e (t) + K_I \ int e (t) dt + K_D \ frac {\ text {d} e (t)} {\ text {d} t} $$

Áp dụng phép biến đổi Laplace trên cả hai mặt -

$$ U (s) = \ left (K_P + \ frac {K_I} {s} + K_D s \ right) E (s) $$

$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_P + \ frac {K_I} {s} + K_D s $$

Do đó, hàm truyền của bộ điều khiển đạo hàm tích phân tỷ lệ là $ K_P + \ frac {K_I} {s} + K_D s $.

Sơ đồ khối của hệ thống điều khiển vòng kín phản hồi âm thống nhất cùng với bộ điều khiển đạo hàm tích phân tỷ lệ được thể hiện trong hình sau.

Bộ điều khiển đạo hàm tích phân tỷ lệ được sử dụng để cải thiện tính ổn định của hệ thống điều khiển và giảm sai số trạng thái ổn định.

Các state space model của hệ thống Bất biến Thời gian Tuyến tính (LTI) có thể được biểu diễn dưới dạng,

$$ \ dot {X} = AX + BU $$

$$ Y = CX + DU $$

Phương trình thứ nhất và thứ hai được gọi là phương trình trạng thái và phương trình đầu ra tương ứng.

Ở đâu,

• X và $ \ dot {X} $ lần lượt là vectơ trạng thái và vectơ trạng thái vi phân.

• U và Y lần lượt là vector đầu vào và vector đầu ra.

• A là ma trận hệ thống.

• B và C là ma trận đầu vào và đầu ra.

• D là ma trận tiến lùi.

Các khái niệm cơ bản về mô hình không gian trạng thái

Các thuật ngữ cơ bản sau đây liên quan đến chương này.

Tiểu bang

Nó là một nhóm các biến, tóm tắt lịch sử của hệ thống để dự đoán các giá trị (đầu ra) trong tương lai.

Biến số đưa ra

Số lượng các biến trạng thái được yêu cầu bằng số lượng phần tử lưu trữ có trong hệ thống.

Examples - dòng điện chạy qua cuộn cảm, điện áp trên tụ điện

Véc tơ trạng thái

Nó là một vector, chứa các biến trạng thái dưới dạng các phần tử.

Trong các chương trước, chúng ta đã thảo luận về hai mô hình toán học của hệ thống điều khiển. Đó là mô hình phương trình vi phân và mô hình hàm truyền. Mô hình không gian trạng thái có thể nhận được từ bất kỳ một trong hai mô hình toán học này. Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về hai phương pháp này từng cái một.

Mô hình không gian trạng thái từ phương trình vi phân

Xét đoạn mạch RLC mắc nối tiếp. Nó đang có điện áp đầu vào, $ v_i (t)$ and the current flowing through the circuit is $i (t) $.

Có hai phần tử lưu trữ (cuộn cảm và tụ điện) trong mạch này. Vì vậy, số biến trạng thái bằng hai và các biến trạng thái này là dòng điện chạy qua cuộn cảm, $ i (t)$ and the voltage across capacitor, $v_c (t) $.

Từ mạch, điện áp đầu ra, $ v_0 (t)$ is equal to the voltage across capacitor, $v_c (t) $.

$$ v_0 (t) = v_c (t) $$

Áp dụng KVL xung quanh vòng lặp.

$$ v_i (t) = Ri (t) + L \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} + v_c (t) $$

$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} = - \ frac {Ri (t)} {L} - \ frac {v_c (t)} {L} + \ frac {v_i (t)} {L} $$

Hiệu điện thế trên tụ điện là -

$$ v_c (t) = \ frac {1} {C} \ int i (t) dt $$

Phân biệt phương trình trên theo thời gian.

$$ \ frac {\ text {d} v_c (t)} {\ text {d} t} = \ frac {i (t)} {C} $$

Vectơ trạng thái, $ X = \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $

Vectơ trạng thái vi phân, $ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t )} {\ text {d} t} \ end {bmatrix} $

Chúng ta có thể sắp xếp các phương trình vi phân và phương trình đầu ra thành dạng chuẩn của mô hình không gian trạng thái như,

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t)} { \ text {d} t} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } v_i (t) \ end {bmatrix} $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $$

Ở đâu,

$$ A = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix}, \: B = \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix}, \: C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \: và \: D = \ begin {bmatrix } 0 \ end {bmatrix} $$

Mô hình không gian trạng thái từ chức năng chuyển giao

Hãy xem xét hai loại hàm truyền dựa trên loại số hạng có trong tử số.

• Hàm chuyển có số hạng không đổi trong Numerator.
• Hàm chuyển có hàm đa thức của 's' trong Numerator.

Hàm chuyển có số hạng không đổi trong Numerator

Hãy xem xét chức năng chuyển giao sau đây của một hệ thống

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1s + a_0} $ $

Sắp xếp lại, phương trình trên dưới dạng

$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) Y (s) = b_0 U (s) $$

Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược cho cả hai phía.

$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} + a_0y (t) = b_0 u (t) $$

Để cho

$$ y (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$

$$. $$

$$. $$

$$. $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $

$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$

và $ u (t) = u $

Sau đó,

$$ \ dot {x} _n + a_ {n-1} x_n + ... + a_1x_2 + a_0x_1 = b_0 u $$

Từ phương trình trên, ta có thể viết phương trình trạng thái sau.

$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + b_0 u $$

Phương trình đầu ra là -

$$ y (t) = y = x_1 $$

Mô hình không gian trạng thái là -

$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $

$$ = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dotso & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ dotso & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dotso & 0 & 1 \\ - a_0 & -a_1 & -a_2 & \ dotso & -a_ {n-2} & -a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$

Đây, $ D = \ left [0 \ right]. $

Thí dụ

Tìm mô hình không gian trạng thái cho hệ thống có chức năng truyền.

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

Sắp xếp lại, phương trình trên dưới dạng,

$$ (s ^ 2 + s + 1) Y (s) = U (s) $$

Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược trên cả hai mặt.

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} + \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} + y (t) = u (t) $$

Để cho

$$ y (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

và $ u (t) = u $

Khi đó, phương trình trạng thái là

$$ \ dot {x} _2 = -x_1-x_2 + u $$

Phương trình đầu ra là

$$ y (t) = y = x_1 $$

Mô hình không gian trạng thái là

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & -1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ left [u \ right] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

Hàm chuyển có hàm đa thức của 's' trong Numerator

Hãy xem xét chức năng chuyển giao sau đây của một hệ thống

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} \ right) (b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) $$

Phương trình trên ở dạng tích các hàm truyền của hai khối, được xếp tầng.

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {V (s)} {U (s)} \ right) \ left (\ frac {Y (s)} {V (s)} \ right) $$

Đây,

$$ \ frac {V (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$

Sắp xếp lại, phương trình trên dưới dạng

$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) V (s) = U (s) $$

Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược trên cả hai mặt.

$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v (t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} v (t)} {\ text {d} t} + a_0v (t) = u (t) $$

Để cho

$$ v (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} v ((t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$

$$. $$

$$. $$

$$. $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $

$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$

và $ u (t) = u $

Khi đó, phương trình trạng thái là

$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u $$

Xem xét,

$$ \ frac {Y (s)} {V (s)} = b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0 $$

Sắp xếp lại, phương trình trên dưới dạng

$$ Y (s) = (b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) V (s) $$

Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược trên cả hai mặt.

$$ y (t) = b_n \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} + b_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n -1} v (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + b_1 \ frac {\ text {d} v (t)} {\ text {d} t} + b_0v (t) $$

Bằng cách thay thế các biến trạng thái và $ y (t) = y $ trong phương trình trên, sẽ nhận được phương trình đầu ra là,

$$ y = b_n \ dot {x} _n + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$

Thay thế, $ \ dot {x} _n $ giá trị trong phương trình trên.

$$ y = b_n (-a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u) + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$

$$ y = (b_0-b_na_0) x_1 + (b_1-b_na_1) x_2 + ... + (b_ {n-1} -b_na_ {n-1}) x_n + b_n u $$

Mô hình không gian trạng thái là

$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $

$$ = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dotso & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ dotso & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dotso & 0 & 1 \\ - a_0 & -a_1 & -a_2 & \ dotso & -a_ {n-2} & -a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$

$$ Y = [b_0-b_na_0 \ quad b_1-b_na_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} -b_na_ {n-2} \ quad b_ {n-1} -b_na_ {n-1}] \ bắt đầu {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$

Nếu $ b_n = 0 $, thì

$$ Y = [b_0 \ quad b_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} \ quad b_ {n-1}] \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n- 1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$

Trong chương trước, chúng ta đã học cách lấy mô hình không gian trạng thái từ phương trình vi phân và hàm truyền. Trong chương này, chúng ta hãy thảo luận về cách lấy hàm truyền từ mô hình không gian trạng thái.

Chuyển chức năng từ mô hình không gian trạng thái

Chúng ta biết mô hình không gian trạng thái của hệ thống Bất biến Thời gian Tuyến tính (LTI) là -

$$ \ dot {X} = AX + BU $$

$$ Y = CX + DU $$

Áp dụng Biến đổi Laplace trên cả hai mặt của phương trình trạng thái.

$$ sX (s) = AX (s) + BU (s) $$

$$ \ Rightarrow (sI-A) X (s) = BU (s) $$

$$ \ Rightarrow X (s) = (sI-A) ^ {- 1} BU (s) $$

Áp dụng Biến đổi Laplace trên cả hai mặt của phương trình đầu ra.

$$ Y (s) = CX (s) + DU (s) $$

Giá trị thay thế, X (s) trong phương trình trên.

$$ \ Rightarrow Y (s) = C (sI-A) ^ {- 1} BU (s) + DU (s) $$

$$ \ Rightarrow Y (s) = [C (sI-A) ^ {- 1} B + D] U (s) $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B + D $$

Phương trình trên biểu diễn hàm truyền của hệ thống. Vì vậy, chúng ta có thể tính toán hàm truyền của hệ thống bằng cách sử dụng công thức này cho hệ thống được biểu diễn trong mô hình không gian trạng thái.

Note - Khi $ D = [0] $, hàm truyền sẽ là

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B $$

Example

Hãy để chúng tôi tính toán hàm truyền của hệ thống được biểu diễn trong mô hình không gian trạng thái là,

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

Đây,

$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ quad và \ quad D = [0] $$

Công thức cho hàm truyền khi $ D = [0] $ là -

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B $$

Ma trận thay thế, A, B & C trong phương trình trên.

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s + 1 & 1 \\ - 1 & s \ end {bmatrix } ^ {- 1} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ frac {\ begin {bmatrix} s & -1 \\ 1 & s + 1 \ end {bmatrix}} {(s + 1) s-1 (-1)} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s \\ 1 \ end {bmatrix}} {s ^ 2 + s + 1} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

Do đó, hàm truyền của hệ thống đối với mô hình không gian trạng thái đã cho là

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

Ma trận chuyển đổi trạng thái và các thuộc tính của nó

Nếu hệ thống đang có các điều kiện ban đầu, thì nó sẽ tạo ra một đầu ra. Vì, đầu ra này hiện diện ngay cả khi không có đầu vào, nó được gọi làzero input response$ x_ {ZIR} (t) $. Về mặt toán học, chúng ta có thể viết nó là,

$$ x_ {ZIR} (t) = e ^ {At} X (0) = L ^ {- 1} \ left \ {\ left [sI-A \ right] ^ {- 1} X (0) \ right \} $$

Từ quan hệ trên, chúng ta có thể viết ma trận chuyển trạng thái $ \ phi (t) $ dưới dạng

$$ \ phi (t) = e ^ {At} = L ^ {- 1} [sI-A] ^ {- 1} $$

Vì vậy, phản hồi đầu vào bằng không có thể nhận được bằng cách nhân ma trận chuyển đổi trạng thái $ \ phi (t) $ với ma trận điều kiện ban đầu.

Sau đây là các thuộc tính của ma trận chuyển trạng thái.

• Nếu $ t = 0 $, thì ma trận chuyển trạng thái sẽ bằng ma trận Identity.

  $$ \ phi (0) = I $$

• Nghịch đảo của ma trận chuyển trạng thái sẽ giống như nghịch đảo của ma trận chuyển trạng thái chỉ bằng cách trả lại 't' bởi '-t'.

  $$ \ phi ^ {- 1} (t) = \ phi (−t) $$

• Nếu $ t = t_1 + t_2$ , then the corresponding state transition matrix is equal to the multiplication of the two state transition matrices at $t = t_1$ and $t = t_2 $.

  $$ \ phi (t_1 + t_2) = \ phi (t_1) \ phi (t_2) $$

Khả năng kiểm soát và khả năng quan sát

Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về khả năng điều khiển và khả năng quan sát của hệ thống điều khiển từng cái một.

Khả năng kiểm soát

Một hệ thống kiểm soát được cho là controllable nếu trạng thái ban đầu của hệ thống điều khiển được chuyển (thay đổi) sang một số trạng thái mong muốn khác bởi một đầu vào được kiểm soát trong khoảng thời gian hữu hạn.

Chúng ta có thể kiểm tra khả năng điều khiển của hệ thống điều khiển bằng cách sử dụng Kalman’s test.

• Viết ma trận $ Q_c $ dưới dạng sau.

  $$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ quad A ^ 2B \ quad ... \ quad A ^ {n-1} B \ right] $$

• Tìm định thức của ma trận $ Q_c $ và nếu nó không bằng 0 thì hệ thống điều khiển có thể điều khiển được.

Khả năng quan sát

Một hệ thống kiểm soát được cho là observable nếu nó có thể xác định các trạng thái ban đầu của hệ thống điều khiển bằng cách quan sát các đầu ra trong khoảng thời gian hữu hạn.

Chúng ta có thể kiểm tra khả năng quan sát của hệ thống điều khiển bằng cách sử dụng Kalman’s test.

• Viết ma trận $ Q_o $ dưới dạng sau.

  $$ Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ quad (A ^ T) ^ 2C ^ T \ quad ... \ quad (A ^ T) ^ {n-1} C ^ T \ đúng] $$

• Tìm định thức của ma trận $ Q_o $ và nếu nó không bằng 0 thì hệ thống điều khiển có thể quan sát được.

Example

Hãy để chúng tôi xác minh khả năng điều khiển và khả năng quan sát của một hệ thống điều khiển được biểu diễn trong mô hình không gian trạng thái như,

$$ \ dot {x} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

Đây,

$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad \ begin {bmatrix } 0 & 1 \ end {bmatrix}, D = [0] \ quad và \ quad n = 2 $$

Với $ n = 2$, the matrix $Q_c $ sẽ là

$$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ right] $$

Chúng ta sẽ nhận được tích của ma trận A và B là,

$$ AB = \ begin {bmatrix} -1 \\ 1 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow Q_c = \ begin {bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} $$

$$ | Q_c | = 1 \ neq 0 $$

Vì định thức của ma trận $ Q_c $ không bằng 0 nên hệ thống điều khiển đã cho có thể điều khiển được.

Với $ n = 2$, the matrix $Q_o $ sẽ là -

$$ Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ right] $$

Đây,

$$ A ^ T = \ begin {bmatrix} -1 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {bmatrix} \ quad và \ quad C ^ T = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} $ $

Chúng ta sẽ nhận được tích của các ma trận $ A ^ T$ and $C ^ T $ như

$$ A ^ TC ^ T = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow Q_o = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow | Q_o | = -1 \ quad \ neq 0 $$

Vì, định thức của ma trận $ Q_o $ không bằng 0, hệ thống điều khiển đã cho có thể quan sát được.

Do đó, hệ thống điều khiển đã cho vừa có thể điều khiển được vừa có thể quan sát được.