Đáp ứng của hệ thống đơn hàng thứ hai
Trong chương này, chúng ta hãy thảo luận về phản ứng thời gian của hệ thống bậc hai. Hãy xem xét sơ đồ khối sau của hệ thống điều khiển vòng kín. Ở đây, một hàm truyền vòng lặp mở, $ \ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} $ được kết nối với một phản hồi tiêu cực thống nhất.
Chúng tôi biết rằng chức năng chuyển giao của hệ thống điều khiển vòng kín có phản hồi tiêu cực thống nhất như
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$
Thay thế, $ G (s) = \ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} $ trong phương trình trên.
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ left (\ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} \ right)} {1+ \ left (\ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} \ right)} = \ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega _ns + \ omega _n ^ 2} $$
Lũy thừa của 's' là hai ở mẫu số. Do đó, hàm truyền ở trên thuộc bậc hai và hệ thống được cho làsecond order system.
Phương trình đặc trưng là -
$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega _ns + \ omega _n ^ 2 = 0 $$
Rễ của phương trình đặc trưng là -
$$ s = \ frac {-2 \ omega \ delta _n \ pm \ sqrt {(2 \ delta \ omega _n) ^ 2-4 \ omega _n ^ 2}} {2} = \ frac {-2 (\ delta \ omega _n \ pm \ omega _n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} {2} $$
$$ \ Rightarrow s = - \ delta \ omega_n \ pm \ omega _n \ sqrt {\ delta ^ 2-1} $$
- Hai gốc là ảo khi δ = 0.
- Hai gốc thực và bằng nhau khi δ = 1.
- Hai gốc thực nhưng không bằng nhau khi δ> 1.
- Hai gốc là liên hợp phức khi 0 <δ <1.
Chúng ta có thể viết phương trình $ C (s) $ dưới dạng,
$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ right) R (s) $$
Ở đâu,
C(s) là biến đổi Laplace của tín hiệu đầu ra, c (t)
R(s) là biến đổi Laplace của tín hiệu đầu vào, r (t)
ωn là tần số tự nhiên
δ là tỷ số tắt dần.
Làm theo các bước sau để nhận được phản hồi (đầu ra) của hệ thống bậc hai trong miền thời gian.
Hãy biến đổi Laplace của tín hiệu đầu vào, $ r (t) $.
Xét phương trình, $ C (s) = \ left (\ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ right) R (s) $
Thay giá trị $ R (s) $ vào phương trình trên.
Làm phân số từng phần của $ C (s) $ nếu được yêu cầu.
Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược cho $ C (s) $.
Phản hồi bước của hệ thống đặt hàng thứ hai
Coi tín hiệu bước đơn vị như một đầu vào cho hệ thống bậc hai.
Biến đổi Laplace của tín hiệu bước đơn vị là,
$$ R (s) = \ frac {1} {s} $$
Chúng ta biết chức năng truyền của hệ thống điều khiển vòng kín bậc hai là,
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$
Trường hợp 1: δ = 0
Thay thế, $ \ delta = 0 $ trong chức năng chuyển.
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} \ right) R (s) $$
Thay thế, $ R (s) = \ frac {1} {s} $ trong phương trình trên.
$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s ^ 2 + \ omega_n ^ 2)} $$
Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược trên cả hai mặt.
$$ c (t) = \ left (1- \ cos (\ omega_n t) \ right) u (t) $$
Vì vậy, đáp ứng bước đơn vị của hệ bậc hai khi $ / delta = 0 $ sẽ là tín hiệu thời gian liên tục với biên độ và tần số không đổi.
Trường hợp 2: δ = 1
Thay thế, $ / delta = 1 $ trong chức năng chuyển.
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ omega_n) ^ 2} \ right) R (s) $$
Thay thế, $ R (s) = \ frac {1} {s} $ trong phương trình trên.
$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ omega_n) ^ 2} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ omega_n) ^ 2} $$
Làm phân số từng phần của $ C (s) $.
$$ C (s) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ omega_n) ^ 2} = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {s + \ omega_n} + \ frac {C } {(s + \ omega_n) ^ 2} $$
Sau khi đơn giản hóa, bạn sẽ nhận được các giá trị của A, B và C lần lượt là $ 1, \: -1 \: và \: - \ omega _n $. Thay thế các giá trị này trong phần mở rộng từng phần ở trên của $ C (s) $.
$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {1} {s + \ omega_n} - \ frac {\ omega_n} {(s + \ omega_n) ^ 2} $$
Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược trên cả hai mặt.
$$ c (t) = (1-e ^ {- \ omega_nt} - \ omega _nte ^ {- \ omega_nt}) u (t) $$
Vì vậy, phản ứng bước đơn vị của hệ thống bậc hai sẽ cố gắng đạt được đầu vào bước ở trạng thái ổn định.
Trường hợp 3: 0 <δ <1
Chúng ta có thể sửa đổi thuật ngữ mẫu số của hàm truyền như sau:
$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ left \ {s ^ 2 + 2 (s) (\ delta \ omega_n) + (\ delta \ omega_n) ^ 2 \ right \} + \ omega_n ^ 2 - (\ delta \ omega_n) ^ 2 $$
$$ = (s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) $$
Chức năng chuyển giao trở thành,
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} $ $
$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} \ right) R (s ) $$
Thay thế, $ R (s) = \ frac {1} {s} $ trong phương trình trên.
$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s \ left ((s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) \ right)} $ $
Làm phân số từng phần của $ C (s) $.
$$ C (s) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s \ left ((s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) \ right)} = \ frac { A} {s} + \ frac {Bs + C} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} $$
Sau khi đơn giản hóa, bạn sẽ nhận được các giá trị của A, B và C lần lượt là $ 1, \: -1 \: và \: −2 \ delta \ omega _n $. Thay thế các giá trị này trong khai triển từng phần ở trên của (các) C.
$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {s + 2 \ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) } $$
$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {s + \ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} - \ frac {\ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} $$
$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {(s + \ delta \ omega_n)} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + (\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} ) ^ 2} - \ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left (\ frac {\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + (\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2}) ^ 2} \ right) $
Thay thế $ \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $ bằng $ \ omega_d $ trong phương trình trên.
$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {(s + \ delta \ omega_n)} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_d ^ 2} - \ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left (\ frac {\ omega_d} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_d ^ 2} \ right) $$
Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược trên cả hai mặt.
$$ c (t) = \ left (1-e ^ {- \ delta \ omega_nt} \ cos (\ omega_dt) - \ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} e ^ {- \ delta \ omega_nt} \ sin (\ omega_dt) \ right) u (t) $$
$$ c (t) = \ left (1- \ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left ((\ sqrt {1- \ delta ^ 2 }) \ cos (\ omega_dt) + \ delta \ sin (\ omega_dt) \ right) \ right) u (t) $$
Nếu $ \ sqrt {1- \ delta ^ 2} = \ sin (\ theta) $, thì 'δ' sẽ là cos (θ). Thay các giá trị này vào phương trình trên.
$$ c (t) = \ left (1- \ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} (\ sin (\ theta) \ cos (\ omega_dt) + \ cos (\ theta) \ sin (\ omega_dt)) \ phải) u (t) $$
$$ \ Rightarrow c (t) = \ left (1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) \ right) u (t) $$
Vì vậy, đáp ứng bước đơn vị của hệ thống bậc hai đang có dao động tắt dần (biên độ giảm) khi 'δ' nằm giữa 0 và 1.
Trường hợp 4: δ> 1
Chúng ta có thể sửa đổi thuật ngữ mẫu số của hàm truyền như sau:
$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ left \ {s ^ 2 + 2 (s) (\ delta \ omega_n) + (\ delta \ omega_n) ^ 2 \ right \} + \ omega_n ^ 2 - (\ delta \ omega_n) ^ 2 $$
$$ = \ left (s + \ delta \ omega_n \ right) ^ 2- \ omega_n ^ 2 \ left (\ delta ^ 2-1 \ right) $$
Chức năng chuyển giao trở thành,
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2- \ omega_n ^ 2 (\ delta ^ 2-1)} $ $
$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2- \ omega_n ^ 2 (\ delta ^ 2-1)} \ right) R (s ) $$
Thay thế, $ R (s) = \ frac {1} {s} $ trong phương trình trên.
$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 - (\ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) ^ 2} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $
Làm phân số từng phần của $ C (s) $.
$$ C (s) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $$
$$ = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} + \ frac {C} {s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} $$
Sau khi đơn giản hóa, bạn sẽ nhận được các giá trị của A, B và C là 1, $ \ frac {1} {2 (\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1} )} $ và $ \ frac {-1} {2 (\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $ tương ứng. Thay thế các giá trị này trong phần mở rộng từng phần ở trên của $ C (s) $.
$$ C (s) = \ frac {1} {s} + \ frac {1} {2 (\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ left (\ frac {1} {s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ right) - \ left (\ frac {1} {2 (\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right) \ left (\ frac {1} {s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ right) $$
Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược trên cả hai mặt.
$ c (t) = \ left (1+ \ left (\ frac {1} {2 (\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right ) e ^ {- (\ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t} - \ left (\ frac {1} {2 (\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1} ) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right) e ^ {- (\ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t} \ right) u (t) $
Vì nó bị giảm xóc quá mức, phản ứng bước đơn vị của hệ thống bậc hai khi δ> 1 sẽ không bao giờ đạt đầu vào bước ở trạng thái ổn định.
Phản ứng xung của hệ thống đặt hàng thứ hai
Các impulse response của hệ thống bậc hai có thể nhận được bằng cách sử dụng bất kỳ một trong hai phương pháp này.
Thực hiện theo quy trình liên quan trong khi lấy phản hồi bước bằng cách coi giá trị của $ R (s) $ là 1 thay vì $ \ frac {1} {s} $.
Thực hiện sự khác biệt của phản ứng bước.
Bảng sau đây cho thấy đáp ứng xung của hệ thống bậc hai đối với 4 trường hợp của tỷ số tắt dần.
| Điều kiện của tỷ lệ giảm chấn | Đáp ứng xung cho t ≥ 0 |
|---|---|
δ = 0 |
$ \ omega_n \ sin (\ omega_nt) $ |
δ = 1 |
$ \ omega_n ^ 2te ^ {- \ omega_nt} $ |
0 <δ <1 |
$ \ left (\ frac {\ omega_ne ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt) $ |
δ> 1 |
$ \ left (\ frac {\ omega_n} {2 \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ right) \ left (e ^ {- (\ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1 }) t} -e ^ {- (\ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t} \ right) $ |