Hệ thống điều khiển - Phân tích độ ổn định

Trong chương này, chúng ta hãy thảo luận về phân tích độ ổn định trong ‘s’miền sử dụng tiêu chí ổn định RouthHurwitz. Trong tiêu chí này, chúng tôi yêu cầu phương trình đặc trưng để tìm tính ổn định của hệ thống điều khiển vòng kín.

Tiêu chí về độ ổn định của Routh-Hurwitz

Tiêu chí ổn định của Routh-Hurwitz là có một điều kiện cần và một điều kiện đủ để ổn định. Nếu bất kỳ hệ thống điều khiển nào không thỏa mãn điều kiện cần thiết, thì chúng ta có thể nói rằng hệ thống điều khiển không ổn định. Nhưng nếu hệ thống điều khiển thỏa mãn điều kiện cần thiết thì nó có thể ổn định hoặc không. Vì vậy, điều kiện đủ rất hữu ích để biết hệ thống điều khiển có ổn định hay không.

Điều kiện cần thiết để ổn định Routh-Hurwitz

Điều kiện cần là các hệ số của đa thức đặc trưng phải là số dương. Điều này ngụ ý rằng tất cả các gốc của phương trình đặc trưng phải có phần thực âm.

Xét phương trình đặc trưng của bậc 'n' là -

$$ a_0s ^ n + a_1s ^ {n-1} + a_2s ^ {n-2} + ... + a_ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 = 0 $$

Lưu ý rằng, không được thiếu bất kỳ thuật ngữ nào trong n^thphương trình đặc tính bậc. Điều này có nghĩa làn^th phương trình đặc tính bậc không được có bất kỳ hệ số nào có giá trị bằng không.

Điều kiện đủ cho sự ổn định của Routh-Hurwitz

Điều kiện đủ là tất cả các phần tử của cột đầu tiên của mảng Routh phải có cùng dấu. Điều này có nghĩa là tất cả các phần tử của cột đầu tiên của mảng Routh phải là số dương hoặc âm.

Phương pháp mảng Routh

Nếu tất cả các nghiệm nguyên của phương trình đặc trưng tồn tại ở nửa bên trái của mặt phẳng 's' thì hệ thống điều khiển ổn định. Nếu tồn tại ít nhất một nghiệm nguyên của phương trình đặc trưng ở nửa bên phải của mặt phẳng 's' thì hệ thống điều khiển không ổn định. Vì vậy, chúng ta phải tìm gốc của phương trình đặc tính để biết hệ thống điều khiển là ổn định hay không ổn định. Nhưng, rất khó để tìm ra gốc của phương trình đặc trưng khi bậc tăng lên.

Vì vậy, để khắc phục vấn đề này, chúng tôi có Routh array method. Trong phương pháp này, không cần tính các nghiệm nguyên của phương trình đặc trưng. Đầu tiên, lập bảng Routh và tìm số lần thay đổi dấu hiệu trong cột đầu tiên của bảng Routh. Số lượng các dấu hiệu thay đổi trong cột đầu tiên của bảng Routh cho biết số nghiệm của phương trình đặc trưng tồn tại ở nửa bên phải của mặt phẳng 's' và hệ thống điều khiển không ổn định.

Làm theo quy trình này để tạo bảng Routh.

• Điền vào hai hàng đầu tiên của mảng Routh với các hệ số của đa thức đặc trưng như được đề cập trong bảng dưới đây. Bắt đầu với hệ số $ s ^ n $ và tiếp tục lên đến hệ số $ s ^ 0 $.

• Điền vào các hàng còn lại của mảng Routh với các phần tử như được đề cập trong bảng bên dưới. Tiếp tục quá trình này cho đến khi bạn nhận được phần tử cột đầu tiên củarow $s^0$là $ a_n $. Ở đây, $ a_n $ là hệ số của $ s ^ 0 $ trong đa thức đặc trưng.

Note - Nếu bất kỳ phần tử hàng nào của bảng Routh có một số yếu tố chung, thì bạn có thể chia các phần tử hàng với hệ số đó để đơn giản hóa sẽ dễ dàng.

Các chương trình bảng sau mảng Routh của n ^thứ trật tự đa thức đặc trưng.

$$ a_0s ^ n + a_1s ^ {n-1} + a_2s ^ {n-2} + ... + a_ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 $$

$ s ^ n $	$ a_0 $	$ a_2 $	$ a_4 ​​$	$ a_6 $	...	...
$ s ^ {n-1} $	$ a_1 $	$ a_3 $	$ a_5 $	$ a_7 $	...	...
$ s ^ {n-2} $	$ b_1 = \ frac {a_1a_2-a_3a_0} {a_1} $	$ b_2 = \ frac {a_1a_4-a_5a_0} {a_1} $	$ b_3 = \ frac {a_1a_6-a_7a_0} {a_1} $	...	...	...
$ s ^ {n-3} $	$ c_1 = \ frac {b_1a_3-b_2a_1} {b_1} $	$ c_2 = \ frac {b_1a_55-b_3a_1} {b_1} $	$ \ vdots $
$ \ vdots $	$ \ vdots $	$ \ vdots $	$ \ vdots $
$ s ^ 1 $	$ \ vdots $	$ \ vdots $
$ s ^ 0 $	$ a_n $

Example

Hãy để chúng tôi tìm sự ổn định của hệ thống điều khiển có phương trình đặc tính,

$$ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 = 0 $$

Step 1 - Xác minh điều kiện cần thiết cho sự ổn định của Routh-Hurwitz.

Tất cả các hệ số của đa thức đặc trưng, ​​$ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 $ đều dương. Vì vậy, hệ thống điều khiển thỏa mãn điều kiện cần thiết.

Step 2 - Hình thành mảng Routh cho đa thức đặc trưng đã cho.

$ s ^ 4 $	$ 1 $	$ 3 $	$ 1 $
$ s ^ 3 $	$ 3 $	$ 2 $
$ s ^ 2 $	$ \ frac {(3 \ lần 3) - (2 \ lần 1)} {3} = \ frac {7} {3} $	$ \ frac {(3 \ times 1) - (0 \ times 1)} {3} = \ frac {3} {3} = 1 $
$ s ^ 1 $	$ \ frac {\ left (\ frac {7} {3} \ times 2 \ right) - (1 \ times 3)} {\ frac {7} {3}} = \ frac {5} {7} $
$ s ^ 0 $	$ 1 $

Step 3 - Xác minh điều kiện đủ cho sự ổn định của Routh-Hurwitz.

Tất cả các phần tử của cột đầu tiên của mảng Routh đều dương. Không có thay đổi dấu hiệu nào trong cột đầu tiên của mảng Routh. Vì vậy, hệ thống điều khiển ổn định.

Các trường hợp đặc biệt của mảng Routh

Chúng ta có thể gặp hai loại tình huống trong khi hình thành bảng Routh. Rất khó để hoàn thành bảng Routh từ hai tình huống này.

Hai trường hợp đặc biệt là -

• Phần tử đầu tiên của bất kỳ hàng nào của mảng Routh bằng không.
• Tất cả các phần tử của bất kỳ hàng nào của mảng Routh đều bằng không.

Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về cách vượt qua khó khăn trong hai trường hợp này, từng trường hợp một.

Phần tử đầu tiên của bất kỳ hàng nào của mảng Routh bằng 0

Nếu bất kỳ hàng nào của mảng Routh chỉ chứa phần tử đầu tiên là 0 và ít nhất một trong các phần tử còn lại có giá trị khác 0, thì hãy thay thế phần tử đầu tiên bằng một số nguyên dương nhỏ, $ \ epsilon $. Và sau đó tiếp tục quá trình hoàn thành bảng Routh. Bây giờ, hãy tìm số lượng dấu hiệu thay đổi trong cột đầu tiên của bảng Routh bằng cách thay thế $ \ epsilon $ có xu hướng bằng không.

Example

Hãy để chúng tôi tìm sự ổn định của hệ thống điều khiển có phương trình đặc tính,

$$ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 = 0 $$

Step 1 - Xác minh điều kiện cần thiết cho sự ổn định của Routh-Hurwitz.

Tất cả các hệ số của đa thức đặc trưng, ​​$ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 $ đều dương. Vì vậy, hệ thống điều khiển đã thỏa mãn điều kiện cần thiết.

Step 2 - Hình thành mảng Routh cho đa thức đặc trưng đã cho.

$ s ^ 4 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $
$ s ^ 3 $	2 1	2 1
$ s ^ 2 $	$ \ frac {(1 \ times 1) - (1 \ times 1)} {1} = 0 $	$ \ frac {(1 \ times 1) - (0 \ times 1)} {1} = 1 $
$ s ^ 1 $
$ s ^ 0 $

Hàng $ s ^ 3 $ phần tử có 2 là nhân tử chung. Vì vậy, tất cả các yếu tố này được chia cho 2.

Special case (i)- Chỉ phần tử đầu tiên của hàng $ s ^ 2 $ là số không. Vì vậy, hãy thay thế nó bằng $ \ epsilon $ và tiếp tục quá trình hoàn thành bảng Routh.

$ s ^ 4 $	1	1	1
$ s ^ 3 $	1	1
$ s ^ 2 $	$ \ epsilon $	1
$ s ^ 1 $	$ \ frac {\ left (\ epsilon \ times 1 \ right) - \ left (1 \ times 1 \ right)} {\ epsilon} = \ frac {\ epsilon-1} {\ epsilon} $
$ s ^ 0 $	1

Step 3 - Xác minh điều kiện đủ cho sự ổn định của Routh-Hurwitz.

Vì $ \ epsilon $ có xu hướng bằng không, bảng Routh sẽ trở thành như thế này.

$ s ^ 4 $	1	1	1
$ s ^ 3 $	1	1
$ s ^ 2 $	0	1
$ s ^ 1 $	-∞
$ s ^ 0 $	1

Có hai thay đổi dấu hiệu trong cột đầu tiên của bảng Routh. Do đó, hệ thống điều khiển không ổn định.

Tất cả các Phần tử của bất kỳ hàng nào của mảng Routh đều bằng 0

Trong trường hợp này, hãy làm theo hai bước sau:

• Viết phương trình phụ, A (các) hàng, ngay trên hàng các số không.

• Phân biệt phương trình phụ, A (s) với s. Điền vào hàng các số không với các hệ số này.

Example

Hãy để chúng tôi tìm sự ổn định của hệ thống điều khiển có phương trình đặc tính,

$$ s ^ 5 + 3s ^ 4 + s ^ 3 + 3s ^ 2 + s + 3 = 0 $$

Step 1 - Xác minh điều kiện cần thiết cho sự ổn định của Routh-Hurwitz.

Tất cả các hệ số của đa thức đặc trưng đã cho đều dương. Vì vậy, hệ thống điều khiển đã thỏa mãn điều kiện cần thiết.

Step 2 - Hình thành mảng Routh cho đa thức đặc trưng đã cho.

$ s ^ 5 $	1	1	1
$ s ^ 4 $	3 1	3 1	3 1
$ s ^ 3 $	$ \ frac {(1 \ times 1) - (1 \ times 1)} {1} = 0 $	$ \ frac {(1 \ times 1) - (1 \ times 1)} {1} = 0 $
$ s ^ 2 $
$ s ^ 1 $
$ s ^ 0 $

Hàng $ s ^ 4 $ phần tử có nhân tử chung là 3. Vì vậy, tất cả các phần tử này đều chia hết cho 3.

Special case (ii)- Tất cả các phần tử của hàng $ s ^ 3 $ bằng không. Vì vậy, hãy viết phương trình phụ, A (s) của hàng $ s ^ 4 $.

$$ A (s) = s ^ 4 + s ^ 2 + 1 $$

Phân biệt phương trình trên đối với s.

$$ \ frac {\ text {d} A (s)} {\ text {d} s} = 4 giây ^ 3 + 2 giây $$

Đặt các hệ số này vào hàng $ s ^ 3 $.

$ s ^ 5 $	1	1	1
$ s ^ 4 $	1	1	1
$ s ^ 3 $	4 2	2 1
$ s ^ 2 $	$ \ frac {(2 \ lần 1) - (1 \ lần 1)} {2} = 0,5 $	$ \ frac {(2 \ lần 1) - (0 \ lần 1)} {2} = 1 $
$ s ^ 1 $	$ \ frac {(0,5 \ lần 1) - (1 \ lần 2)} {0,5} = \ frac {-1,5} {0,5} = - 3 $
$ s ^ 0 $	1

Step 3 - Xác minh điều kiện đủ cho sự ổn định của Routh-Hurwitz.

Có hai thay đổi dấu hiệu trong cột đầu tiên của bảng Routh. Do đó, hệ thống điều khiển không ổn định.

Trong tiêu chí ổn định Routh-Hurwitz, chúng ta có thể biết liệu các cực của vòng kín nằm ở nửa bên trái của mặt phẳng 's' hay ở nửa bên phải của mặt phẳng 's' hoặc trên trục tưởng tượng. Vì vậy, chúng ta không thể tìm ra bản chất của hệ thống điều khiển. Để khắc phục hạn chế này, có một kỹ thuật được gọi là quỹ tích gốc. Chúng ta sẽ thảo luận về kỹ thuật này trong hai chương tiếp theo.