Hệ thống điều khiển - Mô hình không gian trạng thái

Các state space model của hệ thống Bất biến Thời gian Tuyến tính (LTI) có thể được biểu diễn dưới dạng,

$$ \ dot {X} = AX + BU $$

$$ Y = CX + DU $$

Phương trình thứ nhất và thứ hai được gọi là phương trình trạng thái và phương trình đầu ra tương ứng.

Ở đâu,

• X và $ \ dot {X} $ lần lượt là vectơ trạng thái và vectơ trạng thái vi phân.

• U và Y lần lượt là vector đầu vào và vector đầu ra.

• A là ma trận hệ thống.

• B và C là ma trận đầu vào và đầu ra.

• D là ma trận chuyển tiếp.

Các khái niệm cơ bản về mô hình không gian trạng thái

Các thuật ngữ cơ bản sau đây liên quan đến chương này.

Tiểu bang

Nó là một nhóm các biến, tóm tắt lịch sử của hệ thống để dự đoán các giá trị (đầu ra) trong tương lai.

Biến số đưa ra

Số lượng các biến trạng thái được yêu cầu bằng số lượng phần tử lưu trữ có trong hệ thống.

Examples - dòng điện chạy qua cuộn cảm, điện áp trên tụ điện

Véc tơ trạng thái

Nó là một vector, chứa các biến trạng thái dưới dạng các phần tử.

Trong các chương trước, chúng ta đã thảo luận về hai mô hình toán học của hệ thống điều khiển. Đó là mô hình phương trình vi phân và mô hình hàm truyền. Mô hình không gian trạng thái có thể nhận được từ bất kỳ một trong hai mô hình toán học này. Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về hai phương pháp này từng cái một.

Mô hình không gian trạng thái từ phương trình vi phân

Xét đoạn mạch RLC mắc nối tiếp. Nó đang có điện áp vào là $ v_i (t) $ và cường độ dòng điện chạy qua mạch là $ i (t) $.

Có hai phần tử lưu trữ (cuộn cảm và tụ điện) trong mạch này. Vì vậy, số biến trạng thái bằng hai và các biến trạng thái này là dòng điện chạy qua cuộn cảm, $ i (t) $ và điện áp trên tụ điện, $ v_c (t) $.

Từ mạch điện ra, $ v_0 (t) $ bằng điện áp trên tụ, $ v_c (t) $.

$$ v_0 (t) = v_c (t) $$

Áp dụng KVL xung quanh vòng lặp.

$$ v_i (t) = Ri (t) + L \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} + v_c (t) $$

$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} = - \ frac {Ri (t)} {L} - \ frac {v_c (t)} {L} + \ frac {v_i (t)} {L} $$

Hiệu điện thế trên tụ điện là -

$$ v_c (t) = \ frac {1} {C} \ int i (t) dt $$

Phân biệt phương trình trên theo thời gian.

$$ \ frac {\ text {d} v_c (t)} {\ text {d} t} = \ frac {i (t)} {C} $$

Vectơ trạng thái, $ X = \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $

Vectơ trạng thái vi phân, $ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t )} {\ text {d} t} \ end {bmatrix} $

Chúng ta có thể sắp xếp các phương trình vi phân và phương trình đầu ra thành dạng chuẩn của mô hình không gian trạng thái như,

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t)} { \ text {d} t} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } v_i (t) \ end {bmatrix} $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $$

Ở đâu,

$$ A = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix}, \: B = \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix}, \: C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \: và \: D = \ begin {bmatrix } 0 \ end {bmatrix} $$

Mô hình không gian trạng thái từ chức năng chuyển giao

Hãy xem xét hai loại hàm truyền dựa trên loại số hạng có trong tử số.

• Hàm chuyển có số hạng không đổi trong Numerator.
• Hàm chuyển có hàm đa thức của 's' trong Numerator.

Hàm chuyển có số hạng không đổi trong Numerator

Hãy xem xét chức năng chuyển giao sau của một hệ thống

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1s + a_0} $ $

Sắp xếp lại, phương trình trên dưới dạng

$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) Y (s) = b_0 U (s) $$

Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược cho cả hai phía.

$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} + a_0y (t) = b_0 u (t) $$

Để cho

$$ y (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$

$$. $$

$$. $$

$$. $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $

$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$

và $ u (t) = u $

Sau đó,

$$ \ dot {x} _n + a_ {n-1} x_n + ... + a_1x_2 + a_0x_1 = b_0 u $$

Từ phương trình trên, ta có thể viết phương trình trạng thái sau.

$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + b_0 u $$

Phương trình đầu ra là -

$$ y (t) = y = x_1 $$

Mô hình không gian trạng thái là -

$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $

$$ = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dotso & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ dotso & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dotso & 0 & 1 \\ - a_0 & -a_1 & -a_2 & \ dotso & -a_ {n-2} & -a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$

Đây, $ D = \ left [0 \ right]. $

Thí dụ

Tìm mô hình không gian trạng thái cho hệ thống có chức năng truyền.

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

Sắp xếp lại, phương trình trên dưới dạng,

$$ (s ^ 2 + s + 1) Y (s) = U (s) $$

Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược trên cả hai mặt.

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} + \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} + y (t) = u (t) $$

Để cho

$$ y (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

và $ u (t) = u $

Khi đó, phương trình trạng thái là

$$ \ dot {x} _2 = -x_1-x_2 + u $$

Phương trình đầu ra là

$$ y (t) = y = x_1 $$

Mô hình không gian trạng thái là

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & -1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ left [u \ right] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

Hàm chuyển có hàm đa thức của 's' trong Numerator

Hãy xem xét chức năng chuyển giao sau của một hệ thống

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} \ right) (b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) $$

Phương trình trên ở dạng tích các hàm truyền của hai khối, được xếp tầng.

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {V (s)} {U (s)} \ right) \ left (\ frac {Y (s)} {V (s)} \ right) $$

Đây,

$$ \ frac {V (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$

Sắp xếp lại, phương trình trên dưới dạng

$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) V (s) = U (s) $$

Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược trên cả hai mặt.

$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v (t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} v (t)} {\ text {d} t} + a_0v (t) = u (t) $$

Để cho

$$ v (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} v ((t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$

$$. $$

$$. $$

$$. $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $

$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$

và $ u (t) = u $

Khi đó, phương trình trạng thái là

$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u $$

Xem xét,

$$ \ frac {Y (s)} {V (s)} = b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0 $$

Sắp xếp lại, phương trình trên dưới dạng

$$ Y (s) = (b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) V (s) $$

Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược trên cả hai mặt.

$$ y (t) = b_n \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} + b_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n -1} v (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + b_1 \ frac {\ text {d} v (t)} {\ text {d} t} + b_0v (t) $$

Bằng cách thay thế các biến trạng thái và $ y (t) = y $ trong phương trình trên, sẽ nhận được phương trình đầu ra là,

$$ y = b_n \ dot {x} _n + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$

Thay thế, $ \ dot {x} _n $ giá trị trong phương trình trên.

$$ y = b_n (-a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u) + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$

$$ y = (b_0-b_na_0) x_1 + (b_1-b_na_1) x_2 + ... + (b_ {n-1} -b_na_ {n-1}) x_n + b_n u $$

Mô hình không gian trạng thái là

$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $

$$ = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dotso & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ dotso & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dotso & 0 & 1 \\ - a_0 & -a_1 & -a_2 & \ dotso & -a_ {n-2} & -a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$

$$ Y = [b_0-b_na_0 \ quad b_1-b_na_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} -b_na_ {n-2} \ quad b_ {n-1} -b_na_ {n-1}] \ bắt đầu {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$

Nếu $ b_n = 0 $, thì

$$ Y = [b_0 \ quad b_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} \ quad b_ {n-1}] \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n- 1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$