Thông số miền thời gian

Trong chương này, chúng ta hãy thảo luận về các đặc tả miền thời gian của hệ thống bậc hai. Đáp ứng bước của hệ thống bậc hai đối với trường hợp bị che khuất được thể hiện trong hình sau.

Tất cả các thông số kỹ thuật của miền thời gian được thể hiện trong hình này. Đáp ứng cho đến thời điểm lắng được gọi là đáp ứng nhất thời và đáp ứng sau thời gian lắng được gọi là đáp ứng trạng thái ổn định.

Thời gian trì hoãn

Đây là thời gian cần thiết để đạt được phản hồi half of its final valuetừ con số 0 tức thì. Nó được ký hiệu là $ t_d $.

Hãy xem xét phản ứng bước của hệ thống bậc hai đối với t ≥ 0, khi 'δ' nằm giữa 0 và 1.

$$ c (t) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

Giá trị cuối cùng của phản hồi bước là một.

Do đó, tại $ t = t_d $, giá trị của phản hồi bước sẽ là 0,5. Thay thế, các giá trị này trong phương trình trên.

$$ c (t_d) = 0.5 = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_d}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_d + \ theta) $$

$$ \ Rightarrow \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_d}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_d + \ theta) = 0,5 $$

Bằng cách sử dụng phép gần đúng tuyến tính, bạn sẽ nhận được delay time t_d như

$$ t_d = \ frac {1 + 0,7 \ delta} {\ omega_n} $$

Thời gian trỗi dậy

Đây là thời gian cần thiết để phản hồi tăng từ 0% to 100% of its final value. Điều này áp dụng chounder-damped systems. Đối với hệ thống quá giảm độ ẩm, hãy xem xét khoảng thời gian từ 10% đến 90% giá trị cuối cùng. Thời gian tăng được biểu thị bằngt_r.

Tại t = t ₁ = 0, c (t) = 0.

Chúng tôi biết rằng giá trị cuối cùng của phản hồi bước là một.

Do đó, tại $ t = t_2 $, giá trị của phản hồi bước là một. Thay thế, các giá trị này trong phương trình sau.

$$ c (t) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

$$ c (t_2) = 1 = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_2}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) $$

$$ \ Rightarrow \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_2}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ omega_dt_2 + \ theta = \ pi $$

$$ \ Rightarrow t_2 = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $$

Thay các giá trị t ₁ và t ₂ vào phương trình sau củarise time,

$$ t_r = t_2-t_1 $$

$$ \ do đó \: t_r = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $$

Từ phương trình trên, chúng ta có thể kết luận rằng thời gian tăng $ t_r $ và tần số giảm âm $ \ omega_d $ tỷ lệ nghịch với nhau.

Thời gian cao điểm

Đây là thời gian cần thiết để phản hồi đạt đến peak valuelần đầu tiên. Nó được ký hiệu là $ t_p $. Tại $ t = t_p $, giá trị đầu tiên của phản hồi bằng 0.

Chúng tôi biết phản ứng từng bước của hệ thống bậc hai đối với trường hợp không được giảm ẩm là

$$ c (t) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

Phân biệt $ c (t) $ với 't'.

$$ \ frac {\ text {d} c (t)} {\ text {d} t} = - \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ omega_d \ cos (\ omega_dt + \ theta) - \ left (\ frac {- \ delta \ omega_ne ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ phải) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

Thay thế, $ t = t_p $ và $ \ frac {\ text {d} c (t)} {\ text {d} t} = 0 $ trong phương trình trên.

$$ 0 = - \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_p}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ left [\ omega_d \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ delta \ omega_n \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) \ right] $$

$$ \ Rightarrow \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ delta \ omega_n \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sqrt {1- \ delta ^ 2} \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ delta \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sin (\ theta) \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ cos (\ theta) \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sin (\ theta- \ omega_dt_p- \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow sin (- \ omega_dt_p) = 0 \ Rightarrow - \ sin (\ omega_dt_p) = 0 \ Rightarrow sin (\ omega_dt_p) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ omega_dt_p = \ pi $$

$$ \ Rightarrow t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $$

Từ phương trình trên, chúng ta có thể kết luận rằng thời gian cao điểm $ t_p $ và tần số giảm âm $ \ omega_d $ tỷ lệ nghịch với nhau.

Vượt Đỉnh

Vượt đỉnh M_pđược định nghĩa là độ lệch của phản hồi tại thời điểm cao điểm so với giá trị cuối cùng của phản hồi. Nó còn được gọi làmaximum overshoot.

Về mặt toán học, chúng ta có thể viết nó là

$$ M_p = c (t_p) -c (\ infty) $$

Ở đâu,

c (t _p ) là giá trị đỉnh của phản ứng.

c (∞) là giá trị cuối cùng (trạng thái ổn định) của phản ứng.

Tại $ t = t_p $, phản hồi c (t) là -

$$ c (t_p) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_p}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) $$

Thay thế, $ t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $ ở vế phải của phương trình trên.

$$ c (t_P) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_n \ left (\ frac {\ pi} {\ omega_d} \ right)}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin \ left (\ omega_d \ left (\ frac {\ pi} {\ omega_d} \ right) + \ theta \ right) $$

$$ \ Rightarrow c (t_p) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)}} { \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) (- \ sin (\ theta)) $$

Chúng ta biết rằng

$$ \ sin (\ theta) = \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $$

Vì vậy, chúng ta sẽ nhận được $ c (t_p) $ dưới dạng

$$ c (t_p) = 1 + e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} $$

Thay các giá trị của $ c (t_p) $ và $ c (\ infty) $ trong phương trình vượt đỉnh.

$$ M_p = 1 + e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} - ​​1 $$

$$ \ Rightarrow M_p = e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} $$

Percentage of peak overshoot % $ M_p $ có thể được tính bằng công thức này.

$$ \% M_p = \ frac {M_p} {c (\ infty)} \ lần 100 \% $$

Bằng cách thay thế các giá trị của $ M_p $ và $ c (\ infty) $ trong công thức trên, chúng ta sẽ nhận được Phần trăm vượt quá đỉnh $ \% M_p $ là

$$ \% M_p = \ left (e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \% $$

Từ phương trình trên, chúng ta có thể kết luận rằng tỷ lệ vượt đỉnh $ \% M_p $ sẽ giảm nếu tỷ lệ giảm chấn $ \ delta $ tăng lên.

Cài đặt thời gian

Đó là thời gian cần thiết để phản ứng đạt đến trạng thái ổn định và nằm trong dải dung sai quy định xung quanh giá trị cuối cùng. Nói chung, các dải dung sai là 2% và 5%. Thời gian giải quyết được ký hiệu là $ t_s $.

Thời gian lắng cho dải dung sai 5% là -

$$ t_s = \ frac {3} {\ delta \ omega_n} = 3 \ tau $$

Thời gian lắng cho dải dung sai 2% là -

$$ t_s = \ frac {4} {\ delta \ omega_n} = 4 \ tau $$

Trong đó, $ \ tau $ là hằng số thời gian và bằng $ \ frac {1} {\ delta \ omega_n} $.

• Cả thời gian giải quyết $ t_s $ và hằng số thời gian $ \ tau $ đều tỷ lệ nghịch với tỷ số tắt dần $ \ delta $.

• Cả thời gian giải quyết $ t_s $ và hằng số thời gian $ \ tau $ đều độc lập với hệ thống. Điều đó có nghĩa là ngay cả khi hệ thống đạt được thay đổi, thời gian giải quyết $ t_s $ và hằng số thời gian $ \ tau $ sẽ không bao giờ thay đổi.

Thí dụ

Bây giờ chúng ta hãy tìm thông số kỹ thuật miền thời gian của hệ thống điều khiển có hàm truyền vòng kín $ \ frac {4} {s ^ 2 + 2s + 4} $ khi tín hiệu bước đơn vị được áp dụng làm đầu vào cho hệ thống điều khiển này.

Chúng ta biết rằng dạng chuẩn của hàm truyền của hệ thống điều khiển vòng kín bậc hai như

$$ \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

Bằng cách cân bằng hai hàm truyền này, chúng ta sẽ nhận được tần số tự nhiên không bị hãm $ \ omega_n $ là 2 rad / giây và tỷ số tắt dần $ \ delta $ là 0,5.

Chúng tôi biết công thức cho tần số giảm xóc $ \ omega_d $ là

$$ \ omega_d = \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $$

Thay thế, các giá trị $ \ omega_n $ và $ \ delta $ trong công thức trên.

$$ \ Rightarrow \ omega_d = 2 \ sqrt {1- (0,5) ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow \ omega_d = 1.732 \: rad / giây $$

Thay thế, $ \ delta $ value trong quan hệ sau

$$ \ theta = \ cos ^ {- 1} \ delta $$

$$ \ Rightarrow \ theta = \ cos ^ {- 1} (0,5) = \ frac {\ pi} {3} \: rad $$

Thay thế các giá trị cần thiết ở trên trong công thức của từng đặc tả miền thời gian và đơn giản hóa để nhận các giá trị của đặc tả miền thời gian cho hàm truyền đã cho.

Bảng sau đây cho thấy các công thức của đặc tả miền thời gian, thay thế các giá trị cần thiết và các giá trị cuối cùng.

Đặc tả miền thời gian	Công thức	Thay thế các giá trị trong Công thức	Giá trị cuối cùng
Thời gian trì hoãn	$ t_d = \ frac {1 + 0,7 \ delta} {\ omega_n} $	$ t_d = \ frac {1 + 0,7 (0,5)} {2} $	$ t_d $ = 0,675 giây
Thời gian tăng	$ t_r = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $	$ t_r = \ frac {\ pi - (\ frac {\ pi} {3})} {1.732} $	$ t_r $ = 1,207 giây
Thời gian cao điểm	$ t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $	$ t_p = \ frac {\ pi} {1.732} $	$ t_p $ = 1,813 giây
% Vượt quá đỉnh	$ \% M_p = \ left (e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \% $	$ \% M_p = \ left (e ^ {- \ left (\ frac {0.5 \ pi} {\ sqrt {1- (0.5) ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \% $	$ \% \: M_p $ = 16,32%
Thời gian ổn định cho dải dung sai 2%	$ t_s = \ frac {4} {\ delta \ omega_n} $	$ t_S = \ frac {4} {(0,5) (2)} $	$ t_s $ = 4 giây