Steuerungssysteme - Kompensatoren
Es gibt drei Arten von Kompensatoren: Lag-, Lead- und Lag-Lead-Kompensatoren. Diese werden am häufigsten verwendet.
Verzögerungskompensator
Der Verzögerungskompensator ist ein elektrisches Netzwerk, das einen sinusförmigen Ausgang mit der Phasenverzögerung erzeugt, wenn ein sinusförmiger Eingang angelegt wird. Die Verzögerungskompensatorschaltung im Bereich 's' ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Hier liegt der Kondensator in Reihe mit dem Widerstand $ R_2 $ und der Ausgang wird über diese Kombination gemessen.
Die Übertragungsfunktion dieses Verzögerungskompensators ist -
$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ frac {1} {\ alpha} \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau}} \ right) $$
Wo,
$$ \ tau = R_2C $$
$$ \ alpha = \ frac {R_1 + R_2} {R_2} $$
Nach der obigen Gleichung ist $ \ alpha $ immer größer als eins.
Aus der Übertragungsfunktion können wir schließen, dass der Verzögerungskompensator einen Pol bei $ s = - \ frac {1} {\ alpha \ tau} $ und eine Null bei $ s = - \ frac {1} {\ tau} $ hat . Dies bedeutet, dass der Pol in der Pol-Null-Konfiguration des Verzögerungskompensators näher am Ursprung liegt.
Ersetzen Sie $ s = j \ omega $ in der Übertragungsfunktion.
$$ \ frac {V_o (j \ omega)} {V_i (j \ omega)} = \ frac {1} {\ alpha} \ left (\ frac {j \ omega + \ frac {1} {\ tau}} { j \ omega + \ frac {1} {\ alpha \ tau}} \ right) $$
Phasenwinkel $ \ phi = \ tan ^ {- 1} \ omega \ tau - tan ^ {- 1} \ alpha \ omega \ tau $
Wir wissen, dass die Phase des sinusförmigen Ausgangssignals gleich der Summe der Phasenwinkel des sinusförmigen Eingangssignals und der Übertragungsfunktion ist.
Um die Phasenverzögerung am Ausgang dieses Kompensators zu erzeugen, sollte der Phasenwinkel der Übertragungsfunktion negativ sein. Dies geschieht, wenn $ \ alpha> 1 $ ist.
Bleikompensator
Der Leitungskompensator ist ein elektrisches Netzwerk, das einen sinusförmigen Ausgang mit Phasenleitung erzeugt, wenn ein sinusförmiger Eingang angelegt wird. Die Leitungskompensatorschaltung im Bereich 's' ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Hier ist der Kondensator parallel zum Widerstand $ R_1 $ und der Ausgang wird über den Widerstand $ R_2 gemessen.
Die Übertragungsfunktion dieses Bleikompensators ist -
$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ beta \ left (\ frac {s \ tau + 1} {\ beta s \ tau + 1} \ right) $$
Wo,
$$ \ tau = R_1C $$
$$ \ beta = \ frac {R_2} {R_1 + R_2} $$
Aus der Übertragungsfunktion können wir schließen, dass der Bleikompensator einen Pol bei $ s = - \ frac {1} {\ beta} $ und einen Nullpunkt bei $ s = - \ frac {1} {\ beta \ tau} $ hat.
Ersetzen Sie $ s = j \ omega $ in der Übertragungsfunktion.
$$ \ frac {V_o (j \ omega)} {V_i (j \ omega)} = \ beta \ left (\ frac {j \ omega \ tau + 1} {\ beta j \ omega \ tau + 1} \ right ) $$
Phasenwinkel $ \ phi = tan ^ {- 1} \ omega \ tau - tan ^ {- 1} \ beta \ omega \ tau $
Wir wissen, dass die Phase des sinusförmigen Ausgangssignals gleich der Summe der Phasenwinkel des sinusförmigen Eingangssignals und der Übertragungsfunktion ist.
Um die Phasenleitung am Ausgang dieses Kompensators zu erzeugen, sollte der Phasenwinkel der Übertragungsfunktion positiv sein. Dies geschieht, wenn $ 0 <\ beta <1 $. Daher ist Null in der Pol-Null-Konfiguration des Leitungskompensators näher am Ursprung.
Lag-Lead-Kompensator
Der Lag-Lead-Kompensator ist ein elektrisches Netzwerk, das in einem Frequenzbereich eine Phasenverzögerung und in einem anderen Frequenzbereich eine Phasenleitung erzeugt. Es ist eine Kombination aus Verzögerungs- und Bleikompensatoren. Die Verzögerungsleitungskompensatorschaltung im Bereich 's' ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Diese Schaltung sieht so aus, als wären beide Kompensatoren kaskadiert. Die Übertragungsfunktion dieser Schaltung ist also das Produkt der Übertragungsfunktionen der Leitungs- und Verzögerungskompensatoren.
$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ beta \ left (\ frac {s \ tau_1 + 1} {\ beta s \ tau_1 + 1} \ right) \ frac {1} {\ alpha} \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_2}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau_2}} \ right) $$
Wir kennen $ \ alpha \ beta = 1 $.
$$ \ Rightarrow \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_1}} {s + \ frac {1} {\ beta \ tau_1}} \ rechts) \ links (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_2}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau_2}} \ rechts) $$
Wo,
$$ \ tau_1 = R_1C_1 $$
$$ \ tau_2 = R_2C_2 $$