Steuerungssysteme - Kurzanleitung
Ein Steuersystem ist ein System, das durch Steuern der Ausgabe die gewünschte Antwort liefert. Die folgende Abbildung zeigt das einfache Blockschaltbild eines Steuerungssystems.
Hier wird das Steuerungssystem durch einen einzelnen Block dargestellt. Da der Ausgang durch Variieren des Eingangs gesteuert wird, hat das Steuerungssystem diesen Namen erhalten. Wir werden diese Eingabe mit einem Mechanismus variieren. Im nächsten Abschnitt über Steuerungssysteme mit offenem und geschlossenem Regelkreis werden wir uns eingehend mit den Blöcken im Steuerungssystem befassen und wie diese Eingabe variiert werden kann, um die gewünschte Antwort zu erhalten.
Examples - Ampelsteuerung, Waschmaschine
Traffic lights control systemist ein Beispiel für ein Steuerungssystem. Hier wird eine Folge von Eingangssignalen an dieses Steuersystem angelegt, und der Ausgang ist eines der drei Lichter, die für einige Zeit leuchten. Während dieser Zeit sind die beiden anderen Lichter aus. Basierend auf der Verkehrsstudie an einer bestimmten Kreuzung können die Ein- und Ausschaltzeiten der Ampeln bestimmt werden. Dementsprechend steuert das Eingangssignal den Ausgang. Das Ampelsteuersystem arbeitet also zeitlich.
Klassifizierung von Steuerungssystemen
Basierend auf einigen Parametern können wir die Steuerungssysteme auf folgende Arten klassifizieren.
Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Steuerungssysteme
Steuerungssysteme können basierend auf dem System als kontinuierliche Zeitsteuerungssysteme und diskrete Zeitsteuerungssysteme klassifiziert werden type of the signal gebraucht.
Im continuous timeSteuerungssysteme sind alle Signale zeitlich kontinuierlich. Aber indiscrete time Steuerungssysteme gibt es ein oder mehrere diskrete Zeitsignale.
SISO- und MIMO-Steuerungssysteme
Steuerungssysteme können basierend auf dem als SISO-Steuerungssysteme und MIMO-Steuerungssysteme klassifiziert werden number of inputs and outputs Geschenk.
SISOSteuerungssysteme (Single Input und Single Output) haben einen Eingang und einen Ausgang. Wohingegen,MIMO Steuerungssysteme (mehrere Eingänge und mehrere Ausgänge) haben mehr als einen Eingang und mehr als einen Ausgang.
Steuerungssysteme mit offenem und geschlossenem Regelkreis
Steuerungssysteme können basierend auf dem als Steuerungssystem mit offenem Regelkreis und Steuerungssysteme mit geschlossenem Regelkreis klassifiziert werden feedback path.
Im open loop control systemsDer Ausgang wird nicht an den Eingang zurückgemeldet. Die Steueraktion ist also unabhängig von der gewünschten Ausgabe.
Die folgende Abbildung zeigt das Blockschaltbild des Steuerungssystems.
Hier wird ein Eingang an eine Steuerung angelegt und erzeugt ein Betätigungssignal oder Steuersignal. Dieses Signal wird als Eingang für eine Anlage oder einen Prozess gegeben, der gesteuert werden soll. Die Anlage erzeugt also eine Leistung, die gesteuert wird. Das zuvor diskutierte Ampelsteuersystem ist ein Beispiel für ein offenes Regelungssystem.
Im closed loop control systemsDer Ausgang wird zum Eingang zurückgeführt. Die Steueraktion ist also abhängig von der gewünschten Ausgabe.
Die folgende Abbildung zeigt das Blockschaltbild des Regelungssystems mit negativer Rückkopplung.
Der Fehlerdetektor erzeugt ein Fehlersignal, das die Differenz zwischen dem Eingangs- und dem Rückkopplungssignal darstellt. Dieses Rückkopplungssignal wird vom Block (Rückkopplungselemente) erhalten, indem der Ausgang des Gesamtsystems als Eingang zu diesem Block betrachtet wird. Anstelle des direkten Eingangs wird das Fehlersignal als Eingang an eine Steuerung angelegt.
Die Steuerung erzeugt also ein Betätigungssignal, das die Anlage steuert. In dieser Kombination wird der Ausgang des Steuerungssystems automatisch angepasst, bis wir die gewünschte Antwort erhalten. Daher werden die Regelungssysteme auch als automatische Steuerungssysteme bezeichnet. Ein Ampelsteuersystem mit einem Sensor am Eingang ist ein Beispiel für ein Regelungssystem.
Die Unterschiede zwischen den Steuerungssystemen mit offenem und geschlossenem Regelkreis sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.
Regelkreise | Regelungssysteme |
---|---|
Die Steueraktion ist unabhängig von der gewünschten Ausgabe. | Die Steueraktion ist abhängig von der gewünschten Ausgabe. |
Feedback-Pfad ist nicht vorhanden. | Feedback-Pfad ist vorhanden. |
Diese werden auch als bezeichnet non-feedback control systems. | Diese werden auch als bezeichnet feedback control systems. |
Einfach zu entwerfen. | Schwer zu entwerfen. |
Diese sind wirtschaftlich. | Diese sind teurer. |
Ungenau. | Genau. |
Wenn entweder die Ausgabe oder ein Teil der Ausgabe an die Eingabeseite zurückgegeben und als Teil der Systemeingabe verwendet wird, wird dies als bezeichnet feedback. Feedback spielt eine wichtige Rolle, um die Leistung der Steuerungssysteme zu verbessern. Lassen Sie uns in diesem Kapitel die Arten von Feedback und die Auswirkungen von Feedback diskutieren.
Arten von Rückmeldungen
Es gibt zwei Arten von Rückmeldungen:
- Positives Feedback
- Negative Rückmeldung
Positives Feedback
Das positive Feedback fügt den Referenzeingang hinzu. $R(s)$und Rückkopplungsausgabe. Die folgende Abbildung zeigt das Blockschaltbild vonpositive feedback control system.
Das Konzept der Übertragungsfunktion wird in späteren Kapiteln erörtert. Berücksichtigen Sie vorerst die Übertragungsfunktion des Regelungssystems mit positiver Rückkopplung,
$T=\frac{G}{1-GH}$ (Gleichung 1)
Wo,
T ist die Übertragungsfunktion oder die Gesamtverstärkung des Regelungssystems.
G ist die Open-Loop-Verstärkung, die von der Frequenz abhängt.
H ist die Verstärkung des Rückkopplungspfades, die von der Frequenz abhängt.
Negative Rückmeldung
Negative Rückkopplung reduziert den Fehler zwischen dem Referenzeingang, $R(s)$und Systemausgabe. Die folgende Abbildung zeigt das Blockschaltbild dernegative feedback control system.
Übertragungsfunktion des Gegenkopplungssteuersystems ist,
$T=\frac{G}{1+GH}$ (Gleichung 2)
Wo,
T ist die Übertragungsfunktion oder die Gesamtverstärkung des Regelungssystems mit negativer Rückkopplung.
G ist die Open-Loop-Verstärkung, die von der Frequenz abhängt.
H ist die Verstärkung des Rückkopplungspfades, die von der Frequenz abhängt.
Die Ableitung der obigen Übertragungsfunktion ist in späteren Kapiteln vorhanden.
Auswirkungen von Feedback
Lassen Sie uns nun die Auswirkungen von Feedback verstehen.
Auswirkung des Feedbacks auf den Gesamtgewinn
Aus Gleichung 2 können wir sagen, dass die Gesamtverstärkung des Regelungssystems mit negativer Rückkopplung das Verhältnis von 'G' und (1 + GH) ist. Die Gesamtverstärkung kann also abhängig vom Wert von (1 + GH) zunehmen oder abnehmen.
Wenn der Wert von (1 + GH) kleiner als 1 ist, erhöht sich die Gesamtverstärkung. In diesem Fall ist der GH-Wert negativ, da die Verstärkung des Rückkopplungspfads negativ ist.
Wenn der Wert von (1 + GH) größer als 1 ist, nimmt die Gesamtverstärkung ab. In diesem Fall ist der GH-Wert positiv, da die Verstärkung des Rückkopplungspfads positiv ist.
Im Allgemeinen sind 'G' und 'H' Funktionen der Frequenz. Die Rückkopplung erhöht also die Gesamtverstärkung des Systems in einem Frequenzbereich und verringert sich im anderen Frequenzbereich.
Einfluss des Feedbacks auf die Empfindlichkeit
Sensitivity der Gesamtverstärkung des Regelungssystems mit negativer Rückkopplung (T) auf die Variation der Open-Loop-Verstärkung (G) ist definiert als
$S_{G}^{T} = \frac{\frac{\partial T}{T}}{\frac{\partial G}{G}}=\frac{Percentage\: change \: in \:T}{Percentage\: change \: in \:G}$ (Gleichung 3)
Wo, ∂T ist die inkrementelle Änderung von T aufgrund der inkrementellen Änderung von G.
Wir können Gleichung 3 als umschreiben
$S_{G}^{T}=\frac{\partial T}{\partial G}\frac{G}{T}$ (Gleichung 4)
Führen Sie auf beiden Seiten von Gleichung 2 eine teilweise Differenzierung in Bezug auf G durch.
$\frac{\partial T}{\partial G}=\frac{\partial}{\partial G}\left (\frac{G}{1+GH} \right )=\frac{(1+GH).1-G(H)}{(1+GH)^2}=\frac{1}{(1+GH)^2}$ (Gleichung 5)
Aus Gleichung 2 erhalten Sie
$\frac{G}{T}=1+GH$ (Gleichung 6)
Ersetzen Sie Gleichung 5 und Gleichung 6 in Gleichung 4.
$$S_{G}^{T}=\frac{1}{(1+GH)^2}(1+GH)=\frac{1}{1+GH}$$
Also haben wir das sensitivityder Gesamtverstärkung des Regelungssystems als Kehrwert von (1 + GH). Daher kann die Empfindlichkeit abhängig vom Wert von (1 + GH) zunehmen oder abnehmen.
Wenn der Wert von (1 + GH) kleiner als 1 ist, erhöht sich die Empfindlichkeit. In diesem Fall ist der GH-Wert negativ, da die Verstärkung des Rückkopplungspfads negativ ist.
Wenn der Wert von (1 + GH) größer als 1 ist, nimmt die Empfindlichkeit ab. In diesem Fall ist der GH-Wert positiv, da die Verstärkung des Rückkopplungspfads positiv ist.
Im Allgemeinen sind 'G' und 'H' Funktionen der Frequenz. Durch Rückkopplung wird also die Empfindlichkeit der Systemverstärkung in einem Frequenzbereich erhöht und im anderen Frequenzbereich verringert. Daher müssen wir die Werte von 'GH' so wählen, dass das System unempfindlich oder weniger empfindlich gegenüber Parametervariationen ist.
Auswirkung des Feedbacks auf die Stabilität
Ein System gilt als stabil, wenn seine Ausgabe unter Kontrolle ist. Ansonsten soll es instabil sein.
Wenn in Gleichung 2 der Nennerwert Null ist (dh GH = -1), ist die Ausgabe des Steuersystems unendlich. Das Steuerungssystem wird also instabil.
Daher müssen wir die Rückmeldung richtig auswählen, um das Steuerungssystem stabil zu machen.
Auswirkung des Feedbacks auf das Rauschen
Um die Auswirkung der Rückkopplung auf das Rauschen zu kennen, vergleichen wir die Übertragungsfunktionsbeziehungen mit und ohne Rückkopplung allein aufgrund des Rauschsignals.
Betrachten Sie eine open loop control system mit Rauschsignal wie unten gezeigt.
Das open loop transfer function allein aufgrund von Rauschsignal ist
$\frac{C(s)}{N(s)}=G_b$ (Gleichung 7)
Es wird erhalten, indem die andere Eingabe gemacht wird $R(s)$ gleich Null.
Betrachten Sie a closed loop control system mit Rauschsignal wie unten gezeigt.
Das closed loop transfer function allein aufgrund von Rauschsignal ist
$\frac{C(s)}{N(s)}=\frac{G_b}{1+G_aG_bH}$ (Gleichung 8)
Es wird erhalten, indem die andere Eingabe gemacht wird $R(s)$ gleich Null.
Vergleiche Gleichung 7 und Gleichung 8,
In dem Regelungssystem wird die Verstärkung aufgrund des Rauschsignals um einen Faktor von verringert $(1+G_a G_b H)$ vorausgesetzt, der Begriff $(1+G_a G_b H)$ ist größer als eins.
Die Steuerungssysteme können mit einem Satz mathematischer Gleichungen dargestellt werden, die als bekannt sind mathematical model. Diese Modelle sind nützlich für die Analyse und den Entwurf von Steuerungssystemen. Die Analyse des Steuerungssystems bedeutet, die Ausgabe zu finden, wenn wir die Eingabe und das mathematische Modell kennen. Der Entwurf eines Steuerungssystems bedeutet, das mathematische Modell zu finden, wenn wir die Eingabe und die Ausgabe kennen.
Die folgenden mathematischen Modelle werden meistens verwendet.
- Differentialgleichungsmodell
- Funktionsmodell übertragen
- Zustandsraummodell
Lassen Sie uns die ersten beiden Modelle in diesem Kapitel diskutieren.
Differentialgleichungsmodell
Das Differentialgleichungsmodell ist ein mathematisches Zeitbereichsmodell von Steuerungssystemen. Befolgen Sie diese Schritte für das Differentialgleichungsmodell.
Wenden Sie grundlegende Gesetze auf das gegebene Kontrollsystem an.
Erhalten Sie die Differentialgleichung in Bezug auf Eingabe und Ausgabe, indem Sie die Zwischenvariable (n) entfernen.
Beispiel
Betrachten Sie das folgende elektrische System wie in der folgenden Abbildung gezeigt. Diese Schaltung besteht aus Widerstand, Induktivität und Kondensator. Alle diese elektrischen Elemente sind angeschlossenseries. Die an diese Schaltung angelegte Eingangsspannung beträgt$v_i$ und die Spannung über dem Kondensator ist die Ausgangsspannung $v_o$.
Die Netzgleichung für diese Schaltung lautet
$$v_i=Ri+L\frac{\text{d}i}{\text{d}t}+v_o$$
Ersetzen Sie den Strom, der durch den Kondensator fließt $i=c\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}$ in der obigen Gleichung.
$$\Rightarrow\:v_i=RC\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}+LC\frac{\text{d}^2v_o}{\text{d}t^2}+v_o$$
$$\Rightarrow\frac{\text{d}^2v_o}{\text{d}t^2}+\left ( \frac{R}{L} \right )\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{LC} \right )v_o=\left ( \frac{1}{LC} \right )v_i$$
Die obige Gleichung ist eine zweite Ordnung differential equation.
Funktionsmodell übertragen
Das Übertragungsfunktionsmodell ist ein mathematisches S-Domänen-Modell von Steuerungssystemen. DasTransfer function eines linearen zeitinvarianten (LTI) Systems ist definiert als das Verhältnis der Laplace-Transformation der Ausgabe und der Laplace-Transformation der Eingabe unter der Annahme, dass alle Anfangsbedingungen Null sind.
Wenn $x(t)$ und $y(t)$ sind die Ein- und Ausgabe eines LTI-Systems, dann sind die entsprechenden Laplace-Transformationen $X(s)$ und $Y(s)$.
Daher ist die Übertragungsfunktion des LTI-Systems gleich dem Verhältnis von $Y(s)$ und $X(s)$.
$$i.e.,\: Transfer\: Function =\frac{Y(s)}{X(s)}$$
Das Übertragungsfunktionsmodell eines LTI-Systems ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Hier haben wir ein LTI-System mit einem Block mit Übertragungsfunktion dargestellt. Und dieser Block hat einen Eingang$X(s)$ & Ausgabe $Y(s)$.
Beispiel
Zuvor erhielten wir die Differentialgleichung eines elektrischen Systems als
$$\frac{\text{d}^2v_o}{\text{d}t^2}+\left ( \frac{R}{L} \right )\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{LC} \right )v_o=\left ( \frac{1}{LC} \right )v_i$$
Wenden Sie die Laplace-Transformation auf beiden Seiten an.
$$s^2V_o(s)+\left ( \frac{sR}{L} \right )V_o(s)+\left ( \frac{1}{LC} \right )V_o(s)=\left ( \frac{1}{LC} \right )V_i(s)$$
$$\Rightarrow \left \{ s^2+\left ( \frac{R}{L} \right )s+\frac{1}{LC} \right \}V_o(s)=\left ( \frac{1}{LC} \right )V_i(s)$$
$$\Rightarrow \frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{\frac{1}{LC}}{s^2+\left ( \frac{R}{L} \right )s+\frac{1}{LC}}$$
Wo,
$v_i(s)$ ist die Laplace-Transformation der Eingangsspannung $v_i$
$v_o(s)$ ist die Laplace-Transformation der Ausgangsspannung $v_o$
Die obige Gleichung ist a transfer functiondes elektrischen Systems zweiter Ordnung. Das Übertragungsfunktionsmodell dieses Systems ist unten gezeigt.
Hier zeigen wir ein elektrisches System zweiter Ordnung mit einem Block, in dem sich die Übertragungsfunktion befindet. Und dieser Block hat einen Eingang$V_i(s)$ & eine Ausgabe $V_o(s)$.
Lassen Sie uns in diesem Kapitel das diskutieren differential equation modelingvon mechanischen Systemen. Es gibt zwei Arten von mechanischen Systemen, die auf der Art der Bewegung basieren.
- Translationale mechanische Systeme
- Rotationsmechanische Systeme
Modellierung translationaler mechanischer Systeme
Translationale mechanische Systeme bewegen sich entlang a straight line. Diese Systeme bestehen hauptsächlich aus drei Grundelementen. Das sind Masse, Feder und Dashpot oder Dämpfer.
Wenn eine Kraft auf ein translatorisches mechanisches System ausgeübt wird, wirken entgegengesetzte Kräfte aufgrund von Masse, Elastizität und Reibung des Systems entgegen. Da die aufgebrachte Kraft und die entgegengesetzten Kräfte entgegengesetzt sind, ist die algebraische Summe der auf das System einwirkenden Kräfte Null. Lassen Sie uns nun die Kraft sehen, der diese drei Elemente einzeln entgegenwirken.
Masse
Masse ist das Eigentum eines Körpers, der speichert kinetic energy. Wenn eine Kraft auf einen Körper mit Masse ausgeübt wirdM, dann wird es von einer gegensätzlichen Kraft aufgrund der Masse entgegengesetzt. Diese Gegenkraft ist proportional zur Beschleunigung des Körpers. Angenommen, Elastizität und Reibung sind vernachlässigbar.
$$F_m\propto\: a$$
$$\Rightarrow F_m=Ma=M\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}$$
$$F=F_m=M\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}$$
Wo,
F ist die aufgebrachte Kraft
Fm ist die Gegenkraft aufgrund der Masse
M ist Masse
a ist Beschleunigung
x ist Verschiebung
Frühling
Der Frühling ist ein Element, das speichert potential energy. Wenn eine Kraft auf die Feder ausgeübt wirdKdann wird ihm aufgrund der Elastizität der Feder eine Gegenkraft entgegengesetzt. Diese Gegenkraft ist proportional zur Verschiebung der Feder. Angenommen, Masse und Reibung sind vernachlässigbar.
$$F\propto\: x$$
$$\Rightarrow F_k=Kx$$
$$F=F_k=Kx$$
Wo,
F ist die aufgebrachte Kraft
Fk ist die Gegenkraft aufgrund der Elastizität der Feder
K ist Federkonstante
x ist Verschiebung
Dashpot
Wenn eine Kraft auf den Dashpot ausgeübt wird B, dann wird es von einer gegnerischen Kraft wegen entgegengesetzt frictiondes Dashpots. Diese Gegenkraft ist proportional zur Geschwindigkeit des Körpers. Angenommen, Masse und Elastizität sind vernachlässigbar.
$$F_b\propto\: \nu$$
$$\Rightarrow F_b=B\nu=B\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$$
$$F=F_b=B\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$$
Wo,
Fb ist die Gegenkraft aufgrund der Reibung des Dashpots
B ist der Reibungskoeffizient
v ist Geschwindigkeit
x ist Verschiebung
Modellierung rotationsmechanischer Systeme
Rotationsmechanische Systeme bewegen sich um eine feste Achse. Diese Systeme bestehen hauptsächlich aus drei Grundelementen. Jene sindmoment of inertia, torsional spring und dashpot.
Wenn ein Drehmoment auf ein rotationsmechanisches System ausgeübt wird, werden entgegengesetzte Drehmomente aufgrund des Trägheitsmoments, der Elastizität und der Reibung des Systems entgegengesetzt. Da das angelegte Drehmoment und die entgegengesetzten Drehmomente in entgegengesetzte Richtungen weisen, ist die algebraische Summe der auf das System einwirkenden Drehmomente Null. Lassen Sie uns nun das Drehmoment sehen, dem diese drei Elemente einzeln entgegenwirken.
Trägheitsmoment
Im translationalen mechanischen System speichert die Masse kinetische Energie. In ähnlicher Weise speichert im rotationsmechanischen System das Trägheitsmomentkinetic energy.
Wenn ein Drehmoment auf einen Körper mit Trägheitsmoment ausgeübt wird Jdann wird ihm aufgrund des Trägheitsmoments ein entgegengesetztes Drehmoment entgegengesetzt. Dieses entgegengesetzte Drehmoment ist proportional zur Winkelbeschleunigung des Körpers. Angenommen, Elastizität und Reibung sind vernachlässigbar.
$$T_j\propto\: \alpha$$
$$\Rightarrow T_j=J\alpha=J\frac{\text{d}^2\theta}{\text{d}t^2}$$
$$T=T_j=J\frac{\text{d}^2\theta}{\text{d}t^2}$$
Wo,
T ist das angelegte Drehmoment
Tj ist das entgegengesetzte Drehmoment aufgrund des Trägheitsmoments
J ist Trägheitsmoment
α ist Winkelbeschleunigung
θ ist Winkelverschiebung
Torsionsfeder
In einem translatorischen mechanischen System speichert die Feder potentielle Energie. In ähnlicher Weise speichert Torsionsfeder in einem rotationsmechanischen Systempotential energy.
Wenn ein Drehmoment auf die Torsionsfeder ausgeübt wird K, dann wird ihm aufgrund der Elastizität der Torsionsfeder ein entgegengesetztes Drehmoment entgegengesetzt. Dieses entgegengesetzte Drehmoment ist proportional zur Winkelverschiebung der Torsionsfeder. Angenommen, das Trägheitsmoment und die Reibung sind vernachlässigbar.
$$T_k\propto\: \theta$$
$$\Rightarrow T_k=K\theta$$
$$T=T_k=K\theta$$
Wo,
T ist das angelegte Drehmoment
Tk ist das entgegengesetzte Drehmoment aufgrund der Elastizität der Torsionsfeder
K ist die Torsionsfederkonstante
θ ist Winkelverschiebung
Dashpot
Wenn ein Drehmoment auf den Dashpot ausgeübt wird B, dann wird es durch ein entgegengesetztes Drehmoment aufgrund der entgegengesetzt rotational frictiondes Dashpots. Dieses entgegengesetzte Drehmoment ist proportional zur Winkelgeschwindigkeit des Körpers. Angenommen, das Trägheitsmoment und die Elastizität sind vernachlässigbar.
$$T_b\propto\: \omega$$
$$\Rightarrow T_b=B\omega=B\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}$$
$$T=T_b=B\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}$$
Wo,
Tb ist das entgegengesetzte Drehmoment aufgrund der Drehreibung des Armaturenbretts
B ist der Rotationsreibungskoeffizient
ω ist die Winkelgeschwindigkeit
θ ist die Winkelverschiebung
Zwei Systeme sollen sein analogous miteinander, wenn die folgenden zwei Bedingungen erfüllt sind.
- Die beiden Systeme sind physikalisch unterschiedlich
- Die Differentialgleichungsmodellierung dieser beiden Systeme ist gleich
Elektrische und mechanische Systeme sind zwei physikalisch unterschiedliche Systeme. Es gibt zwei Arten elektrischer Analogien translatorischer mechanischer Systeme. Das sind Kraftspannungsanalogie und Kraftstromanalogie.
Kraftspannungsanalogie
In der Kraftspannungsanalogie sind die mathematischen Gleichungen von translational mechanical system werden mit Maschengleichungen des elektrischen Systems verglichen.
Betrachten Sie das folgende translatorische mechanische System, wie in der folgenden Abbildung gezeigt.
Das force balanced equation für dieses System ist
$$F=F_m+F_b+F_k$$
$\Rightarrow F=M\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}+B\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+Kx$ (Equation 1)
Betrachten Sie das folgende elektrische System wie in der folgenden Abbildung gezeigt. Diese Schaltung besteht aus einem Widerstand, einer Induktivität und einem Kondensator. Alle diese elektrischen Elemente sind in Reihe geschaltet. Die an diese Schaltung angelegte Eingangsspannung beträgt$V$ Volt und der durch den Stromkreis fließende Strom ist $i$ Ampere.
Die Netzgleichung für diese Schaltung lautet
$V=Ri+L\frac{\text{d}i}{\text{d}t}+\frac{1}{c}\int idt$ (Equation 2)
Ersatz, $i=\frac{\text{d}q}{\text{d}t}$ in Gleichung 2.
$$V=R\frac{\text{d}q}{\text{d}t}+L\frac{\text{d}^2q}{\text{d}t^2}+\frac{q}{C}$$
$\Rightarrow V=L\frac{\text{d}^2q}{\text{d}t^2}+R\frac{\text{d}q}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{c} \right )q$ (Equation 3)
Durch Vergleichen von Gleichung 1 und Gleichung 3 erhalten wir die analogen Größen des translatorischen mechanischen Systems und des elektrischen Systems. Die folgende Tabelle zeigt diese analogen Größen.
Translationales mechanisches System | Elektrisches System |
---|---|
Kraft (F) | Spannung (V) |
Masse (M) | Induktivität (L) |
Reibungskoeffizient (B) | Widerstand (R) |
Federkonstante (K) | Kehrwert der Kapazität $(\frac{1}{c})$ |
Verschiebung (x) | Ladung (q) |
Geschwindigkeit (v) | Strom (i) |
In ähnlicher Weise gibt es eine Drehmomentspannungsanalogie für rotationsmechanische Systeme. Lassen Sie uns nun über diese Analogie diskutieren.
Drehmomentspannungsanalogie
In dieser Analogie sind die mathematischen Gleichungen von rotational mechanical system werden mit Maschengleichungen des elektrischen Systems verglichen.
Das rotationsmechanische System ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Die drehmomentausgeglichene Gleichung lautet
$$T=T_j+T_b+T_k$$
$\Rightarrow T=J\frac{\text{d}^2\theta}{\text{d}t^2}+B\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}+k\theta$ (Equation 4)
Durch Vergleichen von Gleichung 4 und Gleichung 3 erhalten wir die analogen Größen des rotationsmechanischen Systems und des elektrischen Systems. Die folgende Tabelle zeigt diese analogen Größen.
Rotationsmechanisches System | Elektrisches System |
---|---|
Drehmoment (T) | Spannung (V) |
Trägheitsmoment (J) | Induktivität (L) |
Rotationsreibungskoeffizient (B) | Widerstand (R) |
Torsionsfederkonstante (K) | Kehrwert der Kapazität $(\frac{1}{c})$ |
Winkelverschiebung (θ) | Ladung (q) |
Winkelgeschwindigkeit (ω) | Strom (i) |
Aktuelle Analogie erzwingen
In Kraftstromanalogie sind die mathematischen Gleichungen der translational mechanical system werden mit den Knotengleichungen des elektrischen Systems verglichen.
Betrachten Sie das folgende elektrische System wie in der folgenden Abbildung gezeigt. Diese Schaltung besteht aus Stromquelle, Widerstand, Induktivität und Kondensator. Alle diese elektrischen Elemente sind parallel geschaltet.
Die Knotengleichung lautet
$i=\frac{V}{R}+\frac{1}{L}\int Vdt+C\frac{\text{d}V}{\text{d}t}$ (Equation 5)
Ersatz, $V=\frac{\text{d}\Psi}{\text{d}t}$ in Gleichung 5.
$$i=\frac{1}{R}\frac{\text{d}\Psi}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{L} \right )\Psi+C\frac{\text{d}^2\Psi}{\text{d}t^2}$$
$\Rightarrow i=C\frac{\text{d}^2\Psi}{\text{d}t^2}+\left ( \frac{1}{R} \right )\frac{\text{d}\Psi}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{L} \right )\Psi$ (Equation 6)
Durch Vergleichen von Gleichung 1 und Gleichung 6 erhalten wir die analogen Größen des translatorischen mechanischen Systems und des elektrischen Systems. Die folgende Tabelle zeigt diese analogen Größen.
Translationales mechanisches System | Elektrisches System |
---|---|
Kraft (F) | Strom (i) |
Masse (M) | Kapazität (C) |
Reibungskoeffizient (B) | Gegenseitigkeit des Widerstands$(\frac{1}{R})$ |
Federkonstante (K) | Kehrwert der Induktivität$(\frac{1}{L})$ |
Verschiebung (x) | Magnetfluss (ψ) |
Geschwindigkeit (v) | Spannung (V) |
In ähnlicher Weise gibt es eine Drehmomentstromanalogie für rotationsmechanische Systeme. Lassen Sie uns nun diese Analogie diskutieren.
Drehmomentstrom-Analogie
In dieser Analogie sind die mathematischen Gleichungen der rotational mechanical system werden mit den Knotennetzgleichungen des elektrischen Systems verglichen.
Durch Vergleichen von Gleichung 4 und Gleichung 6 erhalten wir die analogen Größen des rotationsmechanischen Systems und des elektrischen Systems. Die folgende Tabelle zeigt diese analogen Größen.
Rotationsmechanisches System | Elektrisches System |
---|---|
Drehmoment (T) | Strom (i) |
Trägheitsmoment (J) | Kapazität (C) |
Rotationsreibungskoeffizient (B) | Gegenseitigkeit des Widerstands$(\frac{1}{R})$ |
Torsionsfederkonstante (K) | Kehrwert der Induktivität$(\frac{1}{L})$ |
Winkelverschiebung (θ) | Magnetfluss (ψ) |
Winkelgeschwindigkeit (ω) | Spannung (V) |
In diesem Kapitel haben wir die elektrischen Analogien der mechanischen Systeme diskutiert. Diese Analogien sind hilfreich, um das nichtelektrische System wie das mechanische System vom analogen elektrischen System zu untersuchen und zu analysieren.
Blockdiagramme bestehen aus einem einzelnen Block oder einer Kombination von Blöcken. Diese dienen zur bildlichen Darstellung der Steuerungssysteme.
Grundelemente des Blockdiagramms
Die Grundelemente eines Blockdiagramms sind ein Block, der Summierpunkt und der Startpunkt. Betrachten wir das Blockschaltbild eines Regelungssystems wie in der folgenden Abbildung gezeigt, um diese Elemente zu identifizieren.
Das obige Blockdiagramm besteht aus zwei Blöcken mit Übertragungsfunktionen G (s) und H (s). Es hat auch einen Summierpunkt und einen Startpunkt. Pfeile geben die Richtung des Signalflusses an. Lassen Sie uns diese Elemente nun einzeln diskutieren.
Block
Die Übertragungsfunktion einer Komponente wird durch einen Block dargestellt. Block hat einen einzelnen Eingang und einen einzelnen Ausgang.
Die folgende Abbildung zeigt einen Block mit Eingang X (s), Ausgang Y (s) und Übertragungsfunktion G (s).
Übertragungsfunktion,$G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$
$$\Rightarrow Y(s)=G(s)X(s)$$
Die Ausgabe des Blocks wird durch Multiplizieren der Übertragungsfunktion des Blocks mit der Eingabe erhalten.
Summierpunkt
Der Summierungspunkt wird mit einem Kreis dargestellt, in dem sich das Kreuz (X) befindet. Es hat zwei oder mehr Eingänge und einen einzigen Ausgang. Es erzeugt die algebraische Summe der Eingaben. Es führt auch die Summierung oder Subtraktion oder Kombination von Summierung und Subtraktion der Eingänge basierend auf der Polarität der Eingänge durch. Lassen Sie uns diese drei Operationen einzeln sehen.
Die folgende Abbildung zeigt den Summierungspunkt mit zwei Eingängen (A, B) und einem Ausgang (Y). Hier haben die Eingänge A und B ein positives Vorzeichen. Der Summierungspunkt erzeugt also die Ausgabe Y assum of A and B.
dh Y = A + B.
Die folgende Abbildung zeigt den Summierungspunkt mit zwei Eingängen (A, B) und einem Ausgang (Y). Hier haben die Eingänge A und B entgegengesetzte Vorzeichen, dh A hat ein positives Vorzeichen und B hat ein negatives Vorzeichen. Der Summierungspunkt erzeugt also die AusgabeY als die difference of A and B.
Y = A + (-B) = A - B.
Die folgende Abbildung zeigt den Summierungspunkt mit drei Eingängen (A, B, C) und einem Ausgang (Y). Hier haben die Eingänge A und B positive Vorzeichen und C ein negatives Vorzeichen. Der Summierungspunkt erzeugt also die AusgabeY wie
Y = A + B + (- C) = A + B - C.
Startpunkt
Der Startpunkt ist ein Punkt, von dem aus dasselbe Eingangssignal durch mehr als einen Zweig geleitet werden kann. Das heißt, mit Hilfe des Startpunkts können wir dieselbe Eingabe auf einen oder mehrere Blöcke anwenden und Punkte summieren.
In der folgenden Abbildung wird der Startpunkt verwendet, um denselben Eingang R (s) mit zwei weiteren Blöcken zu verbinden.
In der folgenden Abbildung wird der Startpunkt verwendet, um die Ausgänge C (s) als einen der Eingänge mit dem Summierpunkt zu verbinden.
Blockdiagrammdarstellung elektrischer Systeme
In diesem Abschnitt stellen wir ein elektrisches System mit einem Blockdiagramm dar. Elektrische Systeme enthalten hauptsächlich drei Grundelemente -resistor, inductor and capacitor.
Betrachten Sie eine Reihe von RLC-Schaltungen, wie in der folgenden Abbildung gezeigt. Wobei V i (t) und V o (t) die Eingangs- und Ausgangsspannungen sind. Sei i (t) der Strom, der durch die Schaltung fließt. Diese Schaltung befindet sich im Zeitbereich.
Durch Anwenden der Laplace-Transformation auf diese Schaltung wird die Schaltung in die S-Domäne gebracht. Die Schaltung ist wie in der folgenden Abbildung gezeigt.
Aus der obigen Schaltung können wir schreiben
$$I(s)=\frac{V_i(s)-V_o(s)}{R+sL}$$
$\Rightarrow I(s)=\left \{ \frac{1}{R+sL} \right \}\left \{ V_i(s)-V_o(s) \right \}$ (Equation 1)
$V_o(s)=\left ( \frac{1}{sC} \right )I(s)$ (Equation 2)
Zeichnen wir nun die Blockdiagramme für diese beiden Gleichungen einzeln. Kombinieren Sie diese Blockdiagramme dann ordnungsgemäß, um das Gesamtblockdiagramm der Serien von RLC-Schaltkreisen (S-Domain) zu erhalten.
Gleichung 1 kann mit einem Block implementiert werden, der die Übertragungsfunktion hat, $\frac{1}{R+sL}$. Die Ein- und Ausgabe dieses Blocks sind$\left \{ V_i(s)-V_o(s) \right \}$ und $I(s)$. Wir benötigen einen Summierungspunkt, um zu erhalten$\left \{ V_i(s)-V_o(s) \right \}$. Das Blockdiagramm von Gleichung 1 ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Gleichung 2 kann mit einem Block mit Übertragungsfunktion implementiert werden. $\frac{1}{sC}$. Die Ein- und Ausgabe dieses Blocks sind$I(s)$ und $V_o(s)$. Das Blockdiagramm von Gleichung 2 ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Das Gesamtblockdiagramm der Reihe von RLC-Schaltkreisen (S-Domäne) ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Ebenso können Sie die zeichnen block diagram von jedem Stromkreis oder System nur durch Befolgen dieses einfachen Verfahrens.
Wandeln Sie den Stromkreis im Zeitbereich durch Anwenden der Laplace-Transformation in einen Stromkreis im S-Bereich um.
Notieren Sie die Gleichungen für den Strom, der durch alle Reihenzweigelemente fließt, und die Spannung über alle Nebenschlusszweige.
Zeichnen Sie die Blockdiagramme für alle oben genannten Gleichungen einzeln.
Kombinieren Sie alle diese Blockdiagramme richtig, um das Gesamtblockdiagramm des Stromkreises (S-Domäne) zu erhalten.
Blockdiagrammalgebra ist nichts anderes als die Algebra, die mit den Grundelementen des Blockdiagramms verbunden ist. Diese Algebra befasst sich mit der bildlichen Darstellung algebraischer Gleichungen.
Grundlegende Verbindungen für Blöcke
Es gibt drei grundlegende Arten von Verbindungen zwischen zwei Blöcken.
Serienverbindung
Reihenschaltung wird auch genannt cascade connection. In der folgenden Abbildung zwei Blöcke mit Übertragungsfunktionen$G_1(s)$ und $G_2(s)$ sind in Reihe geschaltet.
Für diese Kombination erhalten wir die Ausgabe $Y(s)$ wie
$$Y(s)=G_2(s)Z(s)$$
Wo, $Z(s)=G_1(s)X(s)$
$$\Rightarrow Y(s)=G_2(s)[G_1(s)X(s)]=G_1(s)G_2(s)X(s)$$
$$\Rightarrow Y(s)=\lbrace G_1(s)G_2(s)\rbrace X(s)$$
Vergleichen Sie diese Gleichung mit der Standardform der Ausgabegleichung. $Y(s)=G(s)X(s)$. Wo,$G(s) = G_1(s)G_2(s)$.
Das heißt, wir können die vertreten series connectionvon zwei Blöcken mit einem einzigen Block. Die Übertragungsfunktion dieses einzelnen Blocks ist dieproduct of the transfer functionsdieser beiden Blöcke. Das entsprechende Blockdiagramm ist unten dargestellt.
In ähnlicher Weise können Sie die Reihenschaltung von 'n' Blöcken mit einem einzelnen Block darstellen. Die Übertragungsfunktion dieses einzelnen Blocks ist das Produkt der Übertragungsfunktionen aller dieser 'n' Blöcke.
Parallele Verbindung
Die Blöcke, die in verbunden sind parallel wird die haben same input. In der folgenden Abbildung zwei Blöcke mit Übertragungsfunktionen$G_1(s)$ und $G_2(s)$sind parallel geschaltet. Die Ausgänge dieser beiden Blöcke sind mit dem Summierpunkt verbunden.
Für diese Kombination erhalten wir die Ausgabe $Y(s)$ wie
$$Y(s)=Y_1(s)+Y_2(s)$$
Wo, $Y_1(s)=G_1(s)X(s)$ und $Y_2(s)=G_2(s)X(s)$
$$\Rightarrow Y(s)=G_1(s)X(s)+G_2(s)X(s)=\lbrace G_1(s)+G_2(s)\rbrace X(s)$$
Vergleichen Sie diese Gleichung mit der Standardform der Ausgabegleichung. $Y(s)=G(s)X(s)$.
Wo, $G(s)=G_1(s)+G_2(s)$.
Das heißt, wir können die vertreten parallel connectionvon zwei Blöcken mit einem einzigen Block. Die Übertragungsfunktion dieses einzelnen Blocks ist diesum of the transfer functionsdieser beiden Blöcke. Das entsprechende Blockdiagramm ist unten dargestellt.
In ähnlicher Weise können Sie die parallele Verbindung von 'n' Blöcken mit einem einzelnen Block darstellen. Die Übertragungsfunktion dieses einzelnen Blocks ist die algebraische Summe der Übertragungsfunktionen aller dieser 'n' Blöcke.
Feedback-Verbindung
Wie wir in den vorherigen Kapiteln besprochen haben, gibt es zwei Arten von feedback- positives und negatives Feedback. Die folgende Abbildung zeigt ein Regelungssystem mit negativer Rückkopplung. Hier zwei Blöcke mit Übertragungsfunktionen$G(s)$ und $H(s)$ bilden eine geschlossene Schleife.
Die Ausgabe des Summierpunktes ist -
$$E(s)=X(s)-H(s)Y(s)$$
Die Ausgabe $Y(s)$ ist -
$$Y(s)=E(s)G(s)$$
Ersatz $E(s)$ Wert in der obigen Gleichung.
$$Y(s)=\left \{ X(s)-H(s)Y(s)\rbrace G(s) \right\}$$
$$Y(s)\left \{ 1+G(s)H(s)\rbrace = X(s)G(s) \right\}$$
$$\Rightarrow \frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$$
Daher ist die Übertragungsfunktion mit geschlossener Schleife und negativer Rückkopplung $\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$
Dies bedeutet, dass wir die negative Rückkopplungsverbindung zweier Blöcke mit einem einzigen Block darstellen können. Die Übertragungsfunktion dieses einzelnen Blocks ist die Übertragungsfunktion der Gegenkopplung mit geschlossenem Regelkreis. Das entsprechende Blockdiagramm ist unten dargestellt.
Ebenso können Sie die positive Rückkopplungsverbindung zweier Blöcke mit einem einzigen Block darstellen. Die Übertragungsfunktion dieses einzelnen Blocks ist die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises der positiven Rückkopplung, dh$\frac{G(s)}{1-G(s)H(s)}$
Blockdiagramm-Algebra zum Summieren von Punkten
Es gibt zwei Möglichkeiten, Summierungspunkte in Bezug auf Blöcke zu verschieben -
- Verschiebender Summierungspunkt nach dem Block
- Verschiebender Summierungspunkt vor dem Block
Lassen Sie uns nun sehen, welche Vorkehrungen in den beiden oben genannten Fällen nacheinander getroffen werden müssen.
Verschieben des Summierungspunkts nach dem Block
Betrachten Sie das in der folgenden Abbildung gezeigte Blockdiagramm. Hier liegt der Summierungspunkt vor dem Block vor.
Der Summierpunkt hat zwei Eingänge $R(s)$ und $X(s)$. Die Ausgabe davon ist$\left \{R(s)+X(s)\right\}$.
Also die Eingabe in den Block $G(s)$ ist $\left \{R(s)+X(s)\right \}$ und die Ausgabe davon ist -
$$Y(s)=G(s)\left \{R(s)+X(s)\right \}$$
$\Rightarrow Y(s)=G(s)R(s)+G(s)X(s)$ (Equation 1)
Verschieben Sie nun den Summierungspunkt nach dem Block. Dieses Blockdiagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Ausgabe des Blocks $G(s)$ ist $G(s)R(s)$.
Die Ausgabe des Summierpunktes ist
$Y(s)=G(s)R(s)+X(s)$ (Equation 2)
Vergleiche Gleichung 1 und Gleichung 2.
Die erste Amtszeit $‘G(s) R(s)’$ist in beiden Gleichungen gleich. In der zweiten Amtszeit gibt es jedoch Unterschiede. Um den zweiten Term auch gleich zu bekommen, benötigen wir einen weiteren Block$G(s)$. Es hat den Eingang$X(s)$ und die Ausgabe dieses Blocks wird anstelle von als Eingabe für den Summierungspunkt gegeben $X(s)$. Dieses Blockdiagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Verschieben des Summierungspunkts vor dem Block
Betrachten Sie das in der folgenden Abbildung gezeigte Blockdiagramm. Hier liegt der Summierungspunkt nach dem Block vor.
Die Ausgabe dieses Blockdiagramms ist -
$Y(s)=G(s)R(s)+X(s)$ (Equation 3)
Verschieben Sie nun den Summierungspunkt vor dem Block. Dieses Blockdiagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Die Ausgabe dieses Blockdiagramms ist -
$Y(S)=G(s)R(s)+G(s)X(s)$ (Equation 4)
Vergleiche Gleichung 3 und Gleichung 4,
Die erste Amtszeit $‘G(s) R(s)’$ist in beiden Gleichungen gleich. In der zweiten Amtszeit gibt es jedoch Unterschiede. Um den zweiten Term auch gleich zu bekommen, benötigen wir einen weiteren Block$\frac{1}{G(s)}$. Es hat den Eingang$X(s)$ und die Ausgabe dieses Blocks wird anstelle von als Eingabe für den Summierungspunkt gegeben $X(s)$. Dieses Blockdiagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Blockdiagramm-Algebra für Startpunkte
Es gibt zwei Möglichkeiten, die Startpunkte in Bezug auf Blöcke zu verschieben -
- Startpunkt nach dem Block verschieben
- Startpunkt vor dem Block verschieben
Lassen Sie uns nun sehen, welche Vorkehrungen in den beiden oben genannten Fällen nacheinander zu treffen sind.
Startpunkt nach dem Block verschieben
Betrachten Sie das in der folgenden Abbildung gezeigte Blockdiagramm. In diesem Fall liegt der Startpunkt vor dem Block vor.
Hier, $X(s)=R(s)$ und $Y(s)=G(s)R(s)$
Wenn Sie den Startpunkt nach dem Block verschieben, wird der Ausgang $Y(s)$wird gleich sein. Aber es gibt einen Unterschied in$X(s)$Wert. Also, um das gleiche zu bekommen$X(s)$ Wert benötigen wir noch einen Block $\frac{1}{G(s)}$. Es hat den Eingang$Y(s)$ und die Ausgabe ist $X(s)$. Dieses Blockdiagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Startpunkt vor dem Block verschieben
Betrachten Sie das in der folgenden Abbildung gezeigte Blockdiagramm. Hier liegt der Startpunkt nach dem Block vor.
Hier, $X(s)=Y(s)=G(s)R(s)$
Wenn Sie den Startpunkt vor dem Block verschieben, wird der Ausgang $Y(s)$wird gleich sein. Aber es gibt einen Unterschied in$X(s)$Wert. Also, um das Gleiche zu bekommen$X(s)$ Wert benötigen wir noch einen Block $G(s)$. Es hat den Eingang$R(s)$ und die Ausgabe ist $X(s)$. Dieses Blockdiagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Die im vorherigen Kapitel beschriebenen Konzepte sind hilfreich, um die Blockdiagramme zu reduzieren (zu vereinfachen).
Regeln zur Reduzierung von Blockdiagrammen
Befolgen Sie diese Regeln, um das Blockdiagramm mit vielen Blöcken, Summierungspunkten und Startpunkten zu vereinfachen (zu reduzieren).
Rule 1 - Auf in Reihe geschaltete Blöcke prüfen und vereinfachen.
Rule 2 - Auf parallel geschaltete Blöcke prüfen und vereinfachen.
Rule 3 - Auf die in der Rückkopplungsschleife angeschlossenen Blöcke prüfen und vereinfachen.
Rule 4 - Wenn es beim Vereinfachen Schwierigkeiten mit dem Startpunkt gibt, verschieben Sie ihn nach rechts.
Rule 5 - Wenn beim Summieren Schwierigkeiten beim Summieren auftreten, verschieben Sie ihn nach links.
Rule 6 - Wiederholen Sie die obigen Schritte, bis Sie das vereinfachte Formular erhalten, dh einen einzelnen Block.
Note - Die in diesem einzelnen Block vorhandene Übertragungsfunktion ist die Übertragungsfunktion des gesamten Blockdiagramms.
Beispiel
Betrachten Sie das in der folgenden Abbildung gezeigte Blockdiagramm. Vereinfachen (reduzieren) wir dieses Blockdiagramm mithilfe der Regeln zur Reduzierung von Blockdiagrammen.
Step 1 - Verwenden Sie Regel 1 für Blöcke $G_1$ und $G_2$. Verwenden Sie Regel 2 für Blöcke$G_3$ und $G_4$. Das modifizierte Blockdiagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Step 2 - Verwenden Sie Regel 3 für Blöcke $G_1G_2$ und $H_1$. Verwenden Sie Regel 4, um den Startpunkt nach dem Block zu verschieben$G_5$. Das modifizierte Blockdiagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Step 3 - Verwenden Sie Regel 1 für Blöcke $(G_3 + G_4)$ und $G_5$. Das modifizierte Blockdiagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Step 4 - Verwenden Sie Regel 3 für Blöcke $(G_3 + G_4)G_5$ und $H_3$. Das modifizierte Blockdiagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Step 5- Verwenden Sie Regel 1 für in Reihe geschaltete Blöcke. Das modifizierte Blockdiagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Step 6- Verwenden Sie Regel 3 für Blöcke, die in einer Rückkopplungsschleife verbunden sind. Das modifizierte Blockdiagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Dies ist das vereinfachte Blockdiagramm.
Daher ist die Übertragungsfunktion des Systems
$$\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{G_1G_2G_5^2(G_3+G_4)}{(1+G_1G_2H_1)\lbrace 1+(G_3+G_4)G_5H_3\rbrace G_5-G_1G_2G_5(G_3+G_4)H_2}$$
Note - Befolgen Sie diese Schritte, um die Übertragungsfunktion des Blockdiagramms mit mehreren Eingängen zu berechnen.
Step 1 - Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion des Blockdiagramms, indem Sie jeweils einen Eingang berücksichtigen und die verbleibenden Eingänge als Null festlegen.
Step 2 - Wiederholen Sie Schritt 1 für die verbleibenden Eingänge.
Step 3 - Holen Sie sich die gesamte Übertragungsfunktion, indem Sie alle diese Übertragungsfunktionen hinzufügen.
Der Blockdiagramm-Reduktionsprozess benötigt bei komplizierten Systemen mehr Zeit. Weil wir nach jedem Schritt das (teilweise vereinfachte) Blockdiagramm zeichnen müssen. Um diesen Nachteil zu überwinden, verwenden Sie Signalflussdiagramme (Darstellung).
In den nächsten beiden Kapiteln werden wir die Konzepte im Zusammenhang mit Signalflussgraphen diskutieren, dh wie der Signalflussgraph aus einem gegebenen Blockdiagramm dargestellt und die Übertragungsfunktion berechnet wird, indem einfach eine Verstärkungsformel verwendet wird, ohne dass ein Reduktionsprozess durchgeführt wird.
Der Signalflussgraph ist eine grafische Darstellung algebraischer Gleichungen. Lassen Sie uns in diesem Kapitel die grundlegenden Konzepte des Signalflussdiagramms diskutieren und lernen, wie Sie Signalflussdiagramme zeichnen.
Grundlegende Elemente des Signalflussdiagramms
Knoten und Zweige sind die Grundelemente des Signalflussgraphen.
Knoten
Nodeist ein Punkt, der entweder eine Variable oder ein Signal darstellt. Es gibt drei Arten von Knoten - Eingabeknoten, Ausgabeknoten und gemischte Knoten.
Input Node - Es ist ein Knoten, der nur ausgehende Zweige hat.
Output Node - Es ist ein Knoten, der nur eingehende Zweige hat.
Mixed Node - Es ist ein Knoten, der sowohl eingehende als auch ausgehende Zweige hat.
Beispiel
Betrachten wir das folgende Signalflussdiagramm, um diese Knoten zu identifizieren.
Das nodes in diesem Signalflussdiagramm vorhanden sind y1, y2, y3 und y4.
y1 und y4 sind die input node und output node beziehungsweise.
y2 und y3 sind mixed nodes.
Ast
Branchist ein Liniensegment, das zwei Knoten verbindet. Es hat beidesgain und direction. Zum Beispiel gibt es im obigen Signalflussdiagramm vier Zweige. Diese Zweige habengains von a, b, c und -d.
Aufbau eines Signalflussgraphen
Lassen Sie uns einen Signalflussgraphen unter Berücksichtigung der folgenden algebraischen Gleichungen erstellen:
$$y_2=a_{12}y_1+a_{42}y_4$$
$$y_3=a_{23}y_2+a_{53}y_5$$
$$y_4=a_{34}y_3$$
$$y_5=a_{45}y_4+a_{35}y_3$$
$$y_6=a_{56}y_5$$
Es wird sechs sein nodes(y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 und y 6 ) und achtbranchesin diesem Signalflussdiagramm. Die Gewinne der Zweige sind eine 12 , eine 23 , eine 34 , eine 45 , eine 56 , eine 42 , eine 53 und eine 35 .
Um das Gesamtsignalflussdiagramm zu erhalten, zeichnen Sie das Signalflussdiagramm für jede Gleichung, kombinieren Sie dann alle diese Signalflussdiagramme und führen Sie die folgenden Schritte aus:
Step 1 - Signalflussdiagramm für $y_2 = a_{13}y_1 + a_{42}y_4$ ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Step 2 - Signalflussdiagramm für $y_3 = a_{23}y_2 + a_{53}y_5$ ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Step 3 - Signalflussdiagramm für $y_4 = a_{34}y_3$ ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Step 4 - Signalflussdiagramm für $y_5 = a_{45}y_4 + a_{35}y_3$ ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Step 5 - Signalflussdiagramm für $y_6 = a_{56}y_5$ ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Step 6 - Das Signalflussdiagramm des Gesamtsystems ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Umwandlung von Blockdiagrammen in Signalflussdiagramme
Befolgen Sie diese Schritte, um ein Blockdiagramm in ein äquivalentes Signalflussdiagramm umzuwandeln.
Stellen Sie alle Signale, Variablen, Summierpunkte und Startpunkte des Blockdiagramms als dar nodes im Signalflussdiagramm.
Stellen Sie die Blöcke des Blockdiagramms als dar branches im Signalflussdiagramm.
Stellen Sie die Übertragungsfunktionen in den Blöcken des Blockdiagramms als dar gains der Zweige im Signalflussdiagramm.
Verbinden Sie die Knoten gemäß Blockschaltbild. Wenn eine Verbindung zwischen zwei Knoten besteht (aber kein Block dazwischen liegt), stellen Sie die Verstärkung des Zweigs als einen dar.For examplezwischen Summierpunkten, zwischen Summierpunkt und Startpunkt, zwischen Eingang und Summierpunkt, zwischen Startpunkt und Ausgang.
Beispiel
Lassen Sie uns das folgende Blockdiagramm in sein äquivalentes Signalflussdiagramm umwandeln.
Stellen Sie das Eingangssignal dar $R(s)$ und Ausgangssignal $C(s)$ des Blockdiagramms als Eingangsknoten $R(s)$ und Ausgabeknoten $C(s)$ des Signalflussgraphen.
Nur als Referenz sind die verbleibenden Knoten (y 1 bis y 9 ) im Blockdiagramm gekennzeichnet. Es gibt neun andere Knoten als Eingabe- und Ausgabeknoten. Das sind vier Knoten für vier Summierungspunkte, vier Knoten für vier Startpunkte und ein Knoten für die Variable zwischen Blöcken$G_1$ und $G_2$.
Die folgende Abbildung zeigt das äquivalente Signalflussdiagramm.
Mit Hilfe der Mason-Verstärkungsformel (im nächsten Kapitel beschrieben) können Sie die Übertragungsfunktion dieses Signalflussdiagramms berechnen. Dies ist der Vorteil von Signalflussgraphen. Hier müssen wir die Signalflussgraphen zur Berechnung der Übertragungsfunktion nicht vereinfachen (reduzieren).
Lassen Sie uns nun die Mason's Gain Formula diskutieren. Angenommen, ein Signalflussdiagramm enthält 'N' Vorwärtspfade. Die Verstärkung zwischen dem Eingangs- und dem Ausgangsknoten eines Signalflussgraphen ist nichts anderes als dietransfer functionvom System. Sie kann mithilfe der Verstärkungsformel von Mason berechnet werden.
Mason’s gain formula is
$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\Sigma ^N _{i=1}P_i\Delta _i}{\Delta}$$
Wo,
C(s) ist der Ausgabeknoten
R(s) ist der Eingabeknoten
T ist die Übertragungsfunktion oder Verstärkung zwischen $R(s)$ und $C(s)$
Piist die i- te Vorwärtspfadverstärkung
$\Delta =1-(sum \: of \: all \: individual \: loop \: gains)$
$+(sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: two \:nontouching \: loops)$
$$-(sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: three \: nontouching \: loops)+...$$
Δ i wird durch das Entfernen der Schlingen von Δ erhalten , welche die i berühren th Vorwärtsweg .
Betrachten Sie das folgende Signalflussdiagramm, um die hier verwendete grundlegende Terminologie zu verstehen.
Pfad
Es ist eine Durchquerung von Zweigen von einem Knoten zu einem anderen Knoten in Richtung der Verzweigungspfeile. Es sollte keinen Knoten mehr als einmal durchlaufen.
Examples - - $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5$ und $y_5 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$
Vorwärtspfad
Der Pfad, der vom Eingabeknoten zum Ausgabeknoten existiert, ist bekannt als forward path.
Examples - - $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$ und $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$.
Vorwärtspfadgewinn
Es wird erhalten, indem das Produkt aller Verzweigungsgewinne des Vorwärtspfades berechnet wird.
Examples - - $abcde$ ist die Vorwärtspfadverstärkung von $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$ und abge ist der Vorwärtspfadgewinn von $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$.
Schleife
Der Pfad, der von einem Knoten beginnt und am selben Knoten endet, ist bekannt als loop. Daher ist es ein geschlossener Weg.
Examples - - $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$ und $y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$.
Loop Gain
Es wird erhalten, indem das Produkt aller Verzweigungsverstärkungen einer Schleife berechnet wird.
Examples - - $b_j$ ist die Schleifenverstärkung von $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$ und $g_h$ ist die Schleifenverstärkung von $y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$.
Berührungslose Schleifen
Dies sind die Schleifen, die keinen gemeinsamen Knoten haben sollten.
Examples - Die Schleifen, $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$ und $y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_4$ sind berührungslos.
Berechnung der Übertragungsfunktion unter Verwendung der Mason-Gewinnformel
Betrachten wir das gleiche Signalflussdiagramm zum Auffinden der Übertragungsfunktion.
Anzahl der Vorwärtspfade, N = 2.
Erster Vorwärtspfad ist - $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$.
Erster Vorwärtspfadgewinn, $p_1 = abcde$.
Der zweite Vorwärtspfad ist - $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$.
Zweiter Vorwärtspfadgewinn, $p_2 = abge$.
Anzahl der einzelnen Schleifen, L = 5.
Schleifen sind - $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$, $y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$, $y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$, $y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_4$ und $y_5 \rightarrow y_5$.
Schleifengewinne sind - $l_1 = bj$, $l_2 = gh$, $l_3 = cdh$, $l_4 = di$ und $l_5 = f$.
Anzahl von zwei berührungslosen Schleifen = 2.
Das erste nicht berührende Schleifenpaar ist - $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$, $y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_4$.
Produkt des ersten nicht berührenden Schleifenpaares erhalten, $l_1l_4 = bjdi$
Das zweite nicht berührende Schleifenpaar ist - $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$, $y_5 \rightarrow y_5$.
Das Gewinnprodukt des zweiten nicht berührenden Schleifenpaars ist - $l_1l_5 = bjf$
Eine höhere Anzahl von (mehr als zwei) nicht berührenden Schleifen ist in diesem Signalflussdiagramm nicht vorhanden.
Wir wissen,
$\Delta =1-(sum \: of \: all \: individual \: loop \: gains)$
$+(sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: two \:nontouching \: loops)$
$$-(sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: three \: nontouching \: loops)+...$$
Ersetzen Sie die Werte in der obigen Gleichung.
$\Delta =1-(bj+gh+cdh+di+f)+(bjdi+bjf)-(0)$
$\Rightarrow \Delta=1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf$
Es gibt keine Schleife, die den ersten Vorwärtspfad nicht berührt.
Damit, $\Delta_1=1$.
Ähnlich, $\Delta_2=1$. Da keine Schleife, die den zweiten Vorwärtspfad nicht berührt.
Ersetzen Sie N = 2 in Masons Gewinnformel
$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\Sigma ^2 _{i=1}P_i\Delta _i}{\Delta}$$
$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{P_1\Delta_1+P_2\Delta_2}{\Delta}$$
Ersetzen Sie alle erforderlichen Werte in der obigen Gleichung.
$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{(abcde)1+(abge)1}{1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf}$$
$$\Rightarrow T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{(abcde)+(abge)}{1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf}$$
Daher ist die Übertragungsfunktion -
$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{(abcde)+(abge)}{1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf}$$
Wir können das Verhalten der Steuerungssysteme sowohl im Zeitbereich als auch im Frequenzbereich analysieren. Wir werden die Frequenzganganalyse von Steuerungssystemen in späteren Kapiteln diskutieren. Lassen Sie uns nun über die Zeitverhaltensanalyse von Steuerungssystemen diskutieren.
Was ist Zeitantwort?
Wenn der Ausgang des Steuersystems für einen Eingang in Bezug auf die Zeit variiert, wird er als bezeichnet time responsedes Steuerungssystems. Das Zeitverhalten besteht aus zwei Teilen.
- Einschwingverhalten
- Steady-State-Antwort
Die Reaktion des Steuerungssystems im Zeitbereich ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Hier sind in der Figur sowohl der transiente als auch der stationäre Zustand angegeben. Die diesen Zuständen entsprechenden Antworten werden als vorübergehende und stationäre Antworten bezeichnet.
Mathematisch können wir die Zeitantwort c (t) als schreiben
$$c(t)=c_{tr}(t)+c_{ss}(t)$$
Wo,
- c tr (t) ist das Einschwingverhalten
- c ss (t) ist die stationäre Antwort
Einschwingverhalten
Nach dem Anlegen von Eingaben an das Steuerungssystem benötigt die Ausgabe eine gewisse Zeit, um den stationären Zustand zu erreichen. Der Ausgang befindet sich also im Übergangszustand, bis er in einen stabilen Zustand übergeht. Daher ist die Reaktion des Steuersystems während des Übergangszustands bekannt alstransient response.
Das Einschwingverhalten ist für große Werte von 't' Null. Idealerweise ist dieser Wert von 't' unendlich und praktisch fünfmal konstant.
Mathematisch können wir es schreiben als
$$\lim_{t\rightarrow \infty }c_{tr}(t)=0$$
Steady-State-Antwort
Der Teil der Zeitantwort, der auch nach dem Einschwingverhalten verbleibt, hat für große Werte von 't' den Wert Null steady state response. Dies bedeutet, dass das Einschwingverhalten auch im eingeschwungenen Zustand Null ist.
Example
Lassen Sie uns die transienten und stationären Terme des Zeitverhaltens des Steuerungssystems finden $c(t)=10+5e^{-t}$
Hier die zweite Amtszeit $5e^{-t}$ wird Null sein als tbezeichnet Unendlichkeit. Das ist also dietransient term. Und der erste Term 10 bleibt gleichtnähert sich der Unendlichkeit. Das ist also diesteady state term.
Standard-Testsignale
Die Standard-Testsignale sind Impuls, Schritt, Rampe und Parabol. Diese Signale werden verwendet, um die Leistung der Steuerungssysteme anhand des Zeitverhaltens des Ausgangs zu ermitteln.
Einheitsimpulssignal
Ein Einheitsimpulssignal δ (t) ist definiert als
$\delta (t)=0$ zum $t\neq 0$
und $\int_{0^-}^{0^+} \delta (t)dt=1$
Die folgende Abbildung zeigt das Einheitsimpulssignal.
Das Einheitsimpulssignal existiert also nur, wenn 't' gleich Null ist. Die Fläche dieses Signals unter einem kleinen Zeitintervall um 't' ist gleich Null ist Eins. Der Wert des Einheitsimpulssignals ist für alle anderen Werte von 't' Null.
Einheitsschritt-Signal
Ein Einheitsschritt-Signal u (t) ist definiert als
$$u(t)=1;t\geq 0$$
$=0; t<0$
Die folgende Abbildung zeigt das Einheitsschrittsignal.
Das Einheitsschritt-Signal existiert also für alle positiven Werte von 't' einschließlich Null. Und sein Wert ist in diesem Intervall eins. Der Wert des Einheitsschrittsignals ist für alle negativen Werte von 't' Null.
Rampensignal der Einheit
Ein Einheitsrampensignal r (t) ist definiert als
$$r(t)=t; t\geq 0$$
$=0; t<0$
Wir können ein Einheitsrampensignal schreiben, $r(t)$ in Bezug auf das Einheitsschrittsignal, $u(t)$ wie
$$r(t)=tu(t)$$
Die folgende Abbildung zeigt das Rampensignal der Einheit.
Das Einheitsrampensignal existiert also für alle positiven Werte von 't' einschließlich Null. Und sein Wert steigt während dieses Intervalls linear in Bezug auf 't' an. Der Wert des Einheitsrampensignals ist für alle negativen Werte von 't' Null.
Parabolisches Signal der Einheit
Ein parabolisches Einheitssignal p (t) ist definiert als:
$$p(t)=\frac{t^2}{2}; t\geq 0$$
$=0; t<0$
Wir können ein Parabolsignal schreiben, $p(t)$ in Bezug auf das Einheitsschritt-Signal, $u(t)$ wie,
$$p(t)=\frac{t^2}{2}u(t)$$
Die folgende Abbildung zeigt das Parabolsignal der Einheit.
Das parabolische Einheitssignal existiert also für alle positiven Werte von ‘t’einschließlich Null. Und sein Wert steigt während dieses Intervalls nicht linear in Bezug auf 't' an. Der Wert des parabolischen Einheitssignals ist für alle negativen Werte von 't' Null.
Lassen Sie uns in diesem Kapitel das Zeitverhalten des Systems erster Ordnung diskutieren. Betrachten Sie das folgende Blockschaltbild des Regelungssystems. Hier eine Open-Loop-Übertragungsfunktion,$\frac{1}{sT}$ ist mit einer negativen Rückkopplung verbunden.
Wir wissen, dass die Übertragungsfunktion des Regelungssystems eine negative Rückkopplung von eins aufweist,
$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}$$
Ersatz, $G(s)=\frac{1}{sT}$ in der obigen Gleichung.
$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\frac{1}{sT}}{1+\frac{1}{sT}}=\frac{1}{sT+1}$$
Die Potenz von s ist eins im Nenner. Daher ist die obige Übertragungsfunktion von erster Ordnung und das System soll das seinfirst order system.
Wir können die obige Gleichung als neu schreiben
$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$$
Wo,
C(s) ist die Laplace-Transformation des Ausgangssignals c (t),
R(s) ist die Laplace-Transformation des Eingangssignals r (t) und
T ist die Zeitkonstante.
Befolgen Sie diese Schritte, um die Antwort (Ausgabe) des Systems erster Ordnung im Zeitbereich zu erhalten.
Nehmen Sie die Laplace-Transformation des Eingangssignals $r(t)$.
Betrachten Sie die Gleichung, $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$
Ersatz $R(s)$ Wert in der obigen Gleichung.
Machen Sie Teilfraktionen von $C(s)$ Falls erforderlich.
Wenden Sie die inverse Laplace-Transformation auf an $C(s)$.
Im vorherigen Kapitel haben wir die Standard-Testsignale wie Impuls, Schritt, Rampe und Parabol gesehen. Lassen Sie uns nun die Antworten des Systems erster Ordnung für jede Eingabe einzeln herausfinden. Der Name der Antwort wird gemäß dem Namen des Eingangssignals angegeben. Beispielsweise wird die Antwort des Systems für einen Impulseingang als Impulsantwort bezeichnet.
Impulsantwort des Systems erster Ordnung
Bedenke die unit impulse signal als Eingabe für das System erster Ordnung.
Damit, $r(t)=\delta (t)$
Wenden Sie die Laplace-Transformation auf beiden Seiten an.
$R(s)=1$
Betrachten Sie die Gleichung, $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$
Ersatz, $R(s) = 1$ in der obigen Gleichung.
$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )(1)=\frac{1}{sT+1}$$
Ordnen Sie die obige Gleichung in einer der Standardformen von Laplace-Transformationen neu an.
$$C(s)=\frac{1}{T\left (\ s+\frac{1}{T} \right )} \Rightarrow C(s)=\frac{1}{T}\left ( \frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right )$$
Wenden Sie die inverse Laplace-Transformation auf beiden Seiten an.
$$c(t)=\frac{1}{T}e^\left ( {-\frac{t}{T}} \right )u(t)$$
Die Einheitsimpulsantwort ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Das unit impulse response, c (t) ist ein exponentiell abfallendes Signal für positive Werte von 't' und es ist Null für negative Werte von 't'.
Sprungantwort des Systems erster Ordnung
Bedenke die unit step signal als Eingabe für das System erster Ordnung.
Damit, $r(t)=u(t)$
Wenden Sie die Laplace-Transformation auf beiden Seiten an.
$$R(s)=\frac{1}{s}$$
Betrachten Sie die Gleichung, $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$
Ersatz, $R(s)=\frac{1}{s}$ in der obigen Gleichung.
$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )\left ( \frac{1}{s} \right )=\frac{1}{s\left ( sT+1 \right )}$$
Machen Sie Teilfraktionen von C (s).
$$C(s)=\frac{1}{s\left ( sT+1 \right )}=\frac{A}{s}+\frac{B}{sT+1}$$
$$\Rightarrow \frac{1}{s\left ( sT+1 \right )}=\frac{A\left ( sT+1 \right )+Bs}{s\left ( sT+1 \right )}$$
Auf beiden Seiten ist der Nennerterm der gleiche. Sie werden also gegenseitig storniert. Setzen Sie daher die Zählerausdrücke gleich.
$$1=A\left ( sT+1 \right )+Bs$$
Wenn Sie die konstanten Terme auf beiden Seiten gleichsetzen, erhalten Sie A = 1.
Ersetzen Sie A = 1 und setzen Sie den Koeffizienten von gleich s Begriffe auf beiden Seiten.
$$0=T+B \Rightarrow B=-T$$
Ersetzen Sie A = 1 und B = –T bei der Teilfraktionsexpansion von $C(s)$.
$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{T}{sT+1}=\frac{1}{s}-\frac{T}{T\left ( s+\frac{1}{T} \right )}$$
$$\Rightarrow C(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{1}{T}}$$
Wenden Sie die inverse Laplace-Transformation auf beiden Seiten an.
$$c(t)=\left ( 1-e^{-\left ( \frac{t}{T} \right )} \right )u(t)$$
Das unit step response, c (t) hat sowohl den transienten als auch den stationären Zustand.
Der Übergangsterm in der Einheitsschrittantwort ist -
$$c_{tr}(t)=-e^{-\left ( \frac{t}{T} \right )}u(t)$$
Der stationäre Term in der Einheitsschrittantwort ist -
$$c_{ss}(t)=u(t)$$
Die folgende Abbildung zeigt die Einheitsschrittantwort.
Der Wert des unit step response, c(t)ist Null bei t = 0 und für alle negativen Werte von t. Sie steigt allmählich von Null an und erreicht schließlich im stationären Zustand Eins. Der stationäre Wert hängt also von der Größe des Eingangs ab.
Rampenreaktion des Systems erster Ordnung
Bedenke die unit ramp signal als Eingabe für das System erster Ordnung.
$So, r(t)=tu(t)$
Wenden Sie die Laplace-Transformation auf beiden Seiten an.
$$R(s)=\frac{1}{s^2}$$
Betrachten Sie die Gleichung, $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$
Ersatz, $R(s)=\frac{1}{s^2}$ in der obigen Gleichung.
$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )\left ( \frac{1}{s^2} \right )=\frac{1}{s^2(sT+1)}$$
Machen Sie Teilfraktionen von $C(s)$.
$$C(s)=\frac{1}{s^2(sT+1)}=\frac{A}{s^2}+\frac{B}{s}+\frac{C}{sT+1}$$
$$\Rightarrow \frac{1}{s^2(sT+1)}=\frac{A(sT+1)+Bs(sT+1)+Cs^2}{s^2(sT+1)}$$
Auf beiden Seiten ist der Nennerterm der gleiche. Sie werden also gegenseitig storniert. Setzen Sie daher die Zählerausdrücke gleich.
$$1=A(sT+1)+Bs(sT+1)+Cs^2$$
Wenn Sie die konstanten Terme auf beiden Seiten gleichsetzen, erhalten Sie A = 1.
Ersetzen Sie A = 1 und setzen Sie den Koeffizienten der s-Terme auf beiden Seiten gleich.
$$0=T+B \Rightarrow B=-T$$
In ähnlicher Weise setzen Sie B = −T ein und setzen Sie den Koeffizienten von gleich $s^2$Begriffe auf beiden Seiten. Sie erhalten$C=T^2$.
Ersetzen Sie A = 1, B = −T und $C = T^2$ in der Teilfraktionsexpansion von $C(s)$.
$$C(s)=\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T^2}{sT+1}=\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T^2}{T\left ( s+\frac{1}{T} \right )}$$
$$\Rightarrow C(s)=\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T}{s+\frac{1}{T}}$$
Wenden Sie die inverse Laplace-Transformation auf beiden Seiten an.
$$c(t)=\left ( t-T+Te^{-\left ( \frac{t}{T} \right )} \right )u(t)$$
Das unit ramp response, c (t) hat sowohl den transienten als auch den stationären Zustand.
Der Übergangsterm in der Einheitsrampenantwort ist -
$$c_{tr}(t)=Te^{-\left ( \frac{t}{T} \right )}u(t)$$
Der stationäre Term in der Einheitsrampenantwort ist -
$$c_{ss}(t)=(t-T)u(t)$$
Die folgende Abbildung zeigt die Reaktion der Einheitsrampe.
Das unit ramp response, c (t) folgt dem Einheitsrampeneingangssignal für alle positiven Werte von t. Es gibt jedoch eine Abweichung von T-Einheiten vom Eingangssignal.
Parabolische Reaktion des Systems erster Ordnung
Bedenke die unit parabolic signal als Eingabe für das System erster Ordnung.
Damit, $r(t)=\frac{t^2}{2}u(t)$
Wenden Sie die Laplace-Transformation auf beiden Seiten an.
$$R(s)=\frac{1}{s^3}$$
Betrachten Sie die Gleichung, $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$
Ersatz $R(s)=\frac{1}{s^3}$ in der obigen Gleichung.
$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )\left( \frac{1}{s^3} \right )=\frac{1}{s^3(sT+1)}$$
Machen Sie Teilfraktionen von $C(s)$.
$$C(s)=\frac{1}{s^3(sT+1)}=\frac{A}{s^3}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s}+\frac{D}{sT+1}$$
Nach der Vereinfachung erhalten Sie die Werte von A, B, C und D als 1, $-T, \: T^2\: and \: −T^3$beziehungsweise. Ersetzen Sie diese Werte durch die obige Teilfraktionsexpansion von C (s).
$C(s)=\frac{1}{s^3}-\frac{T}{s^2}+\frac{T^2}{s}-\frac{T^3}{sT+1} \: \Rightarrow C(s)=\frac{1}{s^3}-\frac{T}{s^2}+\frac{T^2}{s}-\frac{T^2}{s+\frac{1}{T}}$
Wenden Sie die inverse Laplace-Transformation auf beiden Seiten an.
$$c(t)=\left ( \frac{t^2}{2} -Tt+T^2-T^2e^{-\left ( \frac{t}{T} \right )} \right )u(t)$$
Das unit parabolic response, c (t) hat sowohl den transienten als auch den stationären Zustand.
Der vorübergehende Term in der parabolischen Einheitsantwort ist
$$C_{tr}(t)=-T^2e^{-\left ( \frac{t}{T} \right )}u(t)$$
Der stationäre Term in der parabolischen Einheitsantwort ist
$$C_{ss}(t)=\left ( \frac{t^2}{2} -Tt+T^2 \right )u(t)$$
Aus diesen Antworten können wir schließen, dass die Steuerungssysteme erster Ordnung mit den Rampen- und Parabeleingaben nicht stabil sind, da diese Antworten selbst bei unendlicher Zeitspanne weiter zunehmen. Die Steuersysteme erster Ordnung sind mit Impuls- und Stufeneingaben stabil, da diese Antworten die Ausgabe begrenzt haben. Die Impulsantwort hat jedoch keinen stationären Term. Daher wird das Schrittsignal im Zeitbereich häufig zur Analyse der Steuerungssysteme anhand ihrer Antworten verwendet.
Lassen Sie uns in diesem Kapitel das Zeitverhalten des Systems zweiter Ordnung diskutieren. Betrachten Sie das folgende Blockschaltbild des Regelungssystems. Hier eine Open-Loop-Übertragungsfunktion,$\frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)}$ ist mit einer negativen Rückkopplung verbunden.
Wir wissen, dass die Übertragungsfunktion des Regelkreises eine negative Rückkopplung von eins aufweist
$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}$$
Ersatz, $G(s)=\frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)}$ in der obigen Gleichung.
$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\left (\frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)} \right )}{1+ \left ( \frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)} \right )}=\frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta \omega _ns+\omega _n^2}$$
Die Potenz von 's' ist im Nennerbegriff zwei. Daher ist die obige Übertragungsfunktion von zweiter Ordnung und das System wird als das bezeichnetsecond order system.
Die charakteristische Gleichung lautet -
$$s^2+2\delta \omega _ns+\omega _n^2=0$$
Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung sind -
$$s=\frac{-2\omega \delta _n\pm \sqrt{(2\delta\omega _n)^2-4\omega _n^2}}{2}=\frac{-2(\delta\omega _n\pm \omega _n\sqrt{\delta ^2-1})}{2}$$
$$\Rightarrow s=-\delta \omega_n \pm \omega _n\sqrt{\delta ^2-1}$$
- Die beiden Wurzeln sind imaginär, wenn δ = 0 ist.
- Die beiden Wurzeln sind reell und gleich, wenn δ = 1 ist.
- Die beiden Wurzeln sind real, aber nicht gleich, wenn δ> 1 ist.
- Die beiden Wurzeln sind komplex konjugiert, wenn 0 <δ <1 ist.
Wir können schreiben $C(s)$ Gleichung als,
$$C(s)=\left ( \frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2} \right )R(s)$$
Wo,
C(s) ist die Laplace-Transformation des Ausgangssignals c (t)
R(s) ist die Laplace-Transformation des Eingangssignals r (t)
ωn ist die Eigenfrequenz
δ ist das Dämpfungsverhältnis.
Befolgen Sie diese Schritte, um die Antwort (Ausgabe) des Systems zweiter Ordnung im Zeitbereich zu erhalten.
Nehmen Sie die Laplace-Transformation des Eingangssignals, $r(t)$.
Betrachten Sie die Gleichung, $C(s)=\left ( \frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2} \right )R(s)$
Ersatz $R(s)$ Wert in der obigen Gleichung.
Machen Sie Teilfraktionen von $C(s)$ Falls erforderlich.
Wenden Sie die inverse Laplace-Transformation auf an $C(s)$.
Sprungantwort des Systems zweiter Ordnung
Betrachten Sie das Einheitsschritt-Signal als Eingabe für das System zweiter Ordnung.
Laplace-Transformation des Einheitsschritt-Signals ist,
$$R(s)=\frac{1}{s}$$
Wir wissen, dass die Übertragungsfunktion des Regelungssystems zweiter Ordnung ist:
$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2}$$
Fall 1: δ = 0
Ersatz, $\delta = 0$ in der Übertragungsfunktion.
$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+\omega_n^2}$$
$$\Rightarrow C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{s^2+\omega_n^2} \right )R(s)$$
Ersatz, $R(s) = \frac{1}{s}$ in der obigen Gleichung.
$$C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{s^2+\omega_n^2} \right )\left( \frac{1}{s} \right )=\frac{\omega_n^2}{s(s^2+\omega_n^2)}$$
Wenden Sie die inverse Laplace-Transformation auf beiden Seiten an.
$$c(t)=\left ( 1-\cos(\omega_n t) \right )u(t)$$
Also die Einheitsschrittantwort des Systems zweiter Ordnung, wenn $/delta = 0$ wird ein kontinuierliches Zeitsignal mit konstanter Amplitude und Frequenz sein.
Fall 2: δ = 1
Ersatz, $/delta = 1$ in der Übertragungsfunktion.
$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\omega_ns+\omega_n^2}$$
$$\Rightarrow C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\omega_n)^2} \right)R(s)$$
Ersatz, $R(s) = \frac{1}{s}$ in der obigen Gleichung.
$$C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\omega_n)^2} \right)\left ( \frac{1}{s} \right)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\omega_n)^2}$$
Machen Sie Teilfraktionen von $C(s)$.
$$C(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\omega_n)^2}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+\omega_n}+\frac{C}{(s+\omega_n)^2}$$
Nach der Vereinfachung erhalten Sie die Werte von A, B und C als $1,\: -1\: and \: −\omega _n$beziehungsweise. Ersetzen Sie diese Werte durch die obige Teilfraktionsexpansion von$C(s)$.
$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\omega_n}-\frac{\omega_n}{(s+\omega_n)^2}$$
Wenden Sie die inverse Laplace-Transformation auf beiden Seiten an.
$$c(t)=(1-e^{-\omega_nt}-\omega _nte^{-\omega_nt})u(t)$$
Die Einheitsschrittantwort des Systems zweiter Ordnung versucht also, den Stufeneingang im stationären Zustand zu erreichen.
Fall 3: 0 <δ <1
Wir können den Nennerterm der Übertragungsfunktion wie folgt ändern:
$$s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2=\left \{ s^2+2(s)(\delta \omega_n)+(\delta \omega_n)^2 \right \}+\omega_n^2-(\delta\omega_n)^2$$
$$=(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)$$
Die Übertragungsfunktion wird,
$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$
$$\Rightarrow C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)} \right )R(s)$$
Ersatz, $R(s) = \frac{1}{s}$ in der obigen Gleichung.
$$C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)} \right )\left( \frac{1}{s} \right )=\frac{\omega_n^2}{s\left ((s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2) \right)}$$
Machen Sie Teilfraktionen von $C(s)$.
$$C(s)=\frac{\omega_n^2}{s\left ((s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2) \right)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$
Nach der Vereinfachung erhalten Sie die Werte von A, B und C als $1,\: -1 \: and \: −2\delta \omega _n$beziehungsweise. Ersetzen Sie diese Werte durch die obige Teilfraktionsexpansion von C (s).
$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{s+2\delta\omega_n}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$
$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{s+\delta\omega_n}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}-\frac{\delta\omega_n}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$
$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{(s+\delta\omega_n)}{(s+\delta\omega_n)^2+(\omega_n\sqrt{1-\delta^2})^2}-\frac{\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}\left ( \frac{\omega_n\sqrt{1-\delta^2}}{(s+\delta\omega_n)^2+(\omega_n\sqrt{1-\delta^2})^2} \right )$
Ersatz, $\omega_n\sqrt{1-\delta^2}$ wie $\omega_d$ in der obigen Gleichung.
$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{(s+\delta\omega_n)}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_d^2}-\frac{\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}\left ( \frac{\omega_d}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_d^2} \right )$$
Wenden Sie die inverse Laplace-Transformation auf beiden Seiten an.
$$c(t)=\left ( 1-e^{-\delta \omega_nt}\cos(\omega_dt)-\frac{\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}e^{-\delta\omega_nt}\sin(\omega_dt) \right )u(t)$$
$$c(t)=\left ( 1-\frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}}\left ( (\sqrt{1-\delta^2})\cos(\omega_dt)+\delta \sin(\omega_dt) \right ) \right )u(t)$$
Wenn $\sqrt{1-\delta^2}=\sin(\theta)$dann ist 'δ' cos (θ). Ersetzen Sie diese Werte in der obigen Gleichung.
$$c(t)=\left ( 1-\frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}}(\sin(\theta)\cos(\omega_dt)+\cos(\theta)\sin(\omega_dt)) \right )u(t)$$
$$\Rightarrow c(t)=\left ( 1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta) \right )u(t)$$
Die Einheitsschrittantwort des Systems zweiter Ordnung weist also gedämpfte Schwingungen (abnehmende Amplitude) auf, wenn 'δ' zwischen Null und Eins liegt.
Fall 4: δ> 1
Wir können den Nennerterm der Übertragungsfunktion wie folgt ändern:
$$s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2=\left \{ s^2+2(s)(\delta\omega_n)+(\delta\omega_n)^2 \right \}+\omega_n^2-(\delta\omega_n)^2$$
$$=\left ( s+\delta\omega_n \right )^2-\omega_n^2\left ( \delta^2-1 \right )$$
Die Übertragungsfunktion wird,
$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2-\omega_n^2(\delta^2-1)}$$
$$\Rightarrow C(s)=\left ( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2-\omega_n^2(\delta^2-1)} \right )R(s)$$
Ersatz, $R(s) = \frac{1}{s}$ in der obigen Gleichung.
$C(s)=\left ( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2-(\omega_n\sqrt{\delta^2-1})^2} \right )\left ( \frac{1}{s} \right )=\frac{\omega_n^2}{s(s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})(s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1})}$
Machen Sie Teilfraktionen von $C(s)$.
$$C(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})(s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1})}$$
$$=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1}}+\frac{C}{s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1}}$$
Nach der Vereinfachung erhalten Sie die Werte von A, B und C als 1, $\frac{1}{2(\delta+\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})}$ und $\frac{-1}{2(\delta-\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})}$beziehungsweise. Ersetzen Sie diese Werte durch die obige Teilfraktionsexpansion von$C(s)$.
$$C(s)=\frac{1}{s}+\frac{1}{2(\delta+\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})}\left ( \frac{1}{s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1}} \right )-\left ( \frac{1}{2(\delta-\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})} \right )\left ( \frac{1}{s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1}} \right )$$
Wenden Sie die inverse Laplace-Transformation auf beiden Seiten an.
$c(t)=\left ( 1+\left ( \frac{1}{2(\delta+\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})} \right )e^{-(\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})t}-\left ( \frac{1}{2(\delta-\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})} \right )e^{-(\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1})t} \right )u(t)$
Da es überdämpft ist, erreicht die Einheitsschrittantwort des Systems zweiter Ordnung, wenn δ> 1 ist, im stationären Zustand niemals die Stufeneingabe.
Impulsantwort des Systems zweiter Ordnung
Das impulse response des Systems zweiter Ordnung kann unter Verwendung einer dieser beiden Methoden erhalten werden.
Befolgen Sie die Anweisungen, während Sie die Sprungantwort ableiten, indem Sie den Wert von berücksichtigen $R(s)$ als 1 statt $\frac{1}{s}$.
Führen Sie die Differenzierung der Sprungantwort durch.
Die folgende Tabelle zeigt die Impulsantwort des Systems zweiter Ordnung für 4 Fälle des Dämpfungsverhältnisses.
Zustand des Dämpfungsverhältnisses | Impulsantwort für t ≥ 0 |
---|---|
δ = 0 |
$\omega_n\sin(\omega_nt)$ |
δ = 1 |
$\omega_n^2te^{-\omega_nt}$ |
0 <δ <1 |
$\left ( \frac{\omega_ne^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt)$ |
δ> 1 |
$\left ( \frac{\omega_n}{2\sqrt{\delta^2-1}} \right )\left ( e^{-(\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1})t}-e^{-(\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})t} \right )$ |
Lassen Sie uns in diesem Kapitel die Zeitbereichsspezifikationen des Systems zweiter Ordnung diskutieren. Die Sprungantwort des Systems zweiter Ordnung für den unterdämpften Fall ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Alle Zeitbereichsspezifikationen sind in dieser Abbildung dargestellt. Die Reaktion bis zur Einschwingzeit wird als Einschwingverhalten bezeichnet, und die Reaktion nach der Einschwingzeit wird als stationäre Reaktion bezeichnet.
Verzögerungszeit
Es ist die Zeit, die die Antwort benötigt, um zu erreichen half of its final valueab dem Nullpunkt. Es wird mit bezeichnet$t_d$.
Betrachten Sie die Sprungantwort des Systems zweiter Ordnung für t ≥ 0, wenn 'δ' zwischen Null und Eins liegt.
$$c(t)=1-\left ( \frac{e^{-\delta \omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta)$$
Der Endwert der Sprungantwort ist eins.
Daher bei $t=t_d$beträgt der Wert der Sprungantwort 0,5. Ersetzen Sie diese Werte in der obigen Gleichung.
$$c(t_d)=0.5=1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_d}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_d+\theta)$$
$$\Rightarrow \left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_d}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_d+\theta)=0.5$$
Durch Verwendung der linearen Approximation erhalten Sie die delay time td wie
$$t_d=\frac{1+0.7\delta}{\omega_n}$$
Anstiegszeit
Es ist die Zeit, die erforderlich ist, damit die Antwort steigt 0% to 100% of its final value. Dies gilt für dieunder-damped systems. Berücksichtigen Sie bei überdämpften Systemen die Dauer von 10% bis 90% des Endwerts. Die Anstiegszeit wird mit bezeichnettr.
Bei t = t 1 = 0 ist c (t) = 0.
Wir wissen, dass der Endwert der Sprungantwort eins ist.
Daher bei $t = t_2$ist der Wert der Sprungantwort eins. Ersetzen Sie diese Werte in der folgenden Gleichung.
$$c(t)=1-\left ( \frac{e^{-\delta \omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta)$$
$$c(t_2)=1=1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_2}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_2+\theta)$$
$$\Rightarrow \left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_2}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_2+\theta)=0$$
$$\Rightarrow \sin(\omega_dt_2+\theta)=0$$
$$\Rightarrow \omega_dt_2+\theta=\pi$$
$$\Rightarrow t_2=\frac{\pi-\theta}{\omega_d}$$
Ersetzen Sie die Werte t 1 und t 2 durch die folgende Gleichung vonrise time,
$$t_r=t_2-t_1$$
$$\therefore \: t_r=\frac{\pi-\theta}{\omega_d}$$
Aus der obigen Gleichung können wir schließen, dass die Anstiegszeit $t_r$ und die gedämpfte Frequenz $\omega_d$ sind umgekehrt proportional zueinander.
Spitzenzeit
Es ist die Zeit, die die Antwort benötigt, um das zu erreichen peak valuezum ersten Mal. Es wird mit bezeichnet$t_p$. Beim$t = t_p$ist die erste Ableitung der Antwort Null.
Wir wissen, dass die Sprungantwort eines Systems zweiter Ordnung für einen unterdämpften Fall ist
$$c(t)=1-\left ( \frac{e^{-\delta \omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta)$$
Unterscheiden $c(t)$ in Bezug auf 't'.
$$\frac{\text{d}c(t)}{\text{d}t}=-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\omega_d\cos(\omega_dt+\theta)-\left ( \frac{-\delta\omega_ne^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta)$$
Ersatz, $t=t_p$ und $\frac{\text{d}c(t)}{\text{d}t}=0$ in der obigen Gleichung.
$$0=-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_p}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\left [ \omega_d\cos(\omega_dt_p+\theta)-\delta\omega_n\sin(\omega_dt_p+\theta) \right ]$$
$$\Rightarrow \omega_n\sqrt{1-\delta^2}\cos(\omega_dt_p+\theta)-\delta\omega_n\sin(\omega_dt_p+\theta)=0$$
$$\Rightarrow \sqrt{1-\delta^2}\cos(\omega_dt_p+\theta)-\delta\sin(\omega_dt_p+\theta)=0$$
$$\Rightarrow \sin(\theta)\cos(\omega_dt_p+\theta)-\cos(\theta)\sin(\omega_dt_p+\theta)=0$$
$$\Rightarrow \sin(\theta-\omega_dt_p-\theta)=0$$
$$\Rightarrow sin(-\omega_dt_p)=0\Rightarrow -\sin(\omega_dt_p)=0\Rightarrow sin(\omega_dt_p)=0$$
$$\Rightarrow \omega_dt_p=\pi$$
$$\Rightarrow t_p=\frac{\pi}{\omega_d}$$
Aus der obigen Gleichung können wir schließen, dass die Spitzenzeit $t_p$ und die gedämpfte Frequenz $\omega_d$ sind umgekehrt proportional zueinander.
Peak-Überschwingen
Spitzenüberschreitung Mpist definiert als die Abweichung der Antwort zur Spitzenzeit vom Endwert der Antwort. Es wird auch das genanntmaximum overshoot.
Mathematisch können wir es schreiben als
$$M_p=c(t_p)-c(\infty)$$
Wo,
c (t p ) ist der Spitzenwert der Antwort.
c (∞) ist der endgültige (stationäre) Wert der Antwort.
Beim $t = t_p$ist die Antwort c (t) -
$$c(t_p)=1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_p}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_p+\theta)$$
Ersatz, $t_p=\frac{\pi}{\omega_d}$ auf der rechten Seite der obigen Gleichung.
$$c(t_P)=1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_n\left ( \frac{\pi}{\omega_d} \right )}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin\left ( \omega_d\left ( \frac{\pi}{\omega_d} \right ) +\theta\right )$$
$$\Rightarrow c(t_p)=1-\left ( \frac{e^{-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )(-\sin(\theta))$$
Wir wissen das
$$\sin(\theta)=\sqrt{1-\delta^2}$$
Also werden wir bekommen $c(t_p)$ wie
$$c(t_p)=1+e^{-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )}$$
Ersetzen Sie die Werte von $c(t_p)$ und $c(\infty)$ in der Peak-Überschwinger-Gleichung.
$$M_p=1+e^{-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )}-1$$
$$\Rightarrow M_p=e^{-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )}$$
Percentage of peak overshoot % $M_p$ kann mit dieser Formel berechnet werden.
$$\%M_p=\frac{M_p}{c(\infty )}\times 100\%$$
Durch Ersetzen der Werte von $M_p$ und $c(\infty)$ In der obigen Formel erhalten wir den Prozentsatz des Spitzenüberschreitens $\%M_p$ wie
$$\%M_p=\left ( e^ {-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )} \right )\times 100\%$$
Aus der obigen Gleichung können wir schließen, dass der Prozentsatz des Spitzenüberschreitens $\% M_p$ wird abnehmen, wenn das Dämpfungsverhältnis $\delta$ erhöht sich.
Einschwingzeit
Es ist die Zeit, die die Antwort benötigt, um den stationären Zustand zu erreichen und innerhalb der angegebenen Toleranzbänder um den Endwert zu bleiben. Im Allgemeinen betragen die Toleranzbänder 2% und 5%. Die Einschwingzeit ist mit bezeichnet$t_s$.
Die Einschwingzeit für 5% Toleranzband beträgt -
$$t_s=\frac{3}{\delta\omega_n}=3\tau$$
Die Einschwingzeit für 2% Toleranzband beträgt -
$$t_s=\frac{4}{\delta\omega_n}=4\tau$$
Wo, $\tau$ ist die Zeitkonstante und ist gleich $\frac{1}{\delta\omega_n}$.
Sowohl die Einschwingzeit $t_s$ und die Zeitkonstante $\tau$ sind umgekehrt proportional zum Dämpfungsverhältnis $\delta$.
Sowohl die Einschwingzeit $t_s$ und die Zeitkonstante $\tau$sind unabhängig von der Systemverstärkung. Das heißt, auch der Systemgewinn ändert sich, die Einschwingzeit$t_s$ und Zeitkonstante $\tau$ wird sich nie ändern.
Beispiel
Lassen Sie uns nun die Zeitbereichsspezifikationen eines Steuerungssystems mit der Übertragungsfunktion mit geschlossenem Regelkreis finden $\frac{4}{s^2+2s+4}$ wenn das Einheitsschritt-Signal als Eingang an dieses Steuersystem angelegt wird.
Wir wissen, dass die Standardform der Übertragungsfunktion des Regelungssystems zweiter Ordnung als
$$\frac{\omega_n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2}$$
Durch Gleichsetzen dieser beiden Übertragungsfunktionen erhalten wir die ungedämpfte Eigenfrequenz $\omega_n$ als 2 rad / s und das Dämpfungsverhältnis $\delta$ als 0,5.
Wir kennen die Formel für die gedämpfte Frequenz $\omega_d$ wie
$$\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\delta^2}$$
Ersatz, $\omega_n$ und $\delta$ Werte in der obigen Formel.
$$\Rightarrow \omega_d=2\sqrt{1-(0.5)^2}$$
$$\Rightarrow \omega_d=1.732 \: rad/sec$$
Ersatz, $\delta$ Wert in folgender Beziehung
$$\theta=\cos^{-1}\delta$$
$$\Rightarrow \theta=\cos^{-1}(0.5)=\frac{\pi}{3}\:rad$$
Ersetzen Sie die oben genannten erforderlichen Werte in der Formel jeder Zeitbereichsspezifikation und vereinfachen Sie sie, um die Werte der Zeitbereichsspezifikationen für eine bestimmte Übertragungsfunktion zu erhalten.
Die folgende Tabelle zeigt die Formeln der Zeitbereichsspezifikationen, die Ersetzung der erforderlichen Werte und die Endwerte.
Zeitbereichsspezifikation | Formel | Substitution von Werten in der Formel | Endwert |
---|---|---|---|
Verzögerungszeit |
$t_d=\frac{1+0.7\delta}{\omega_n}$ |
$t_d=\frac{1+0.7(0.5)}{2}$ |
$t_d$= 0,675 s |
Anstiegszeit |
$t_r=\frac{\pi-\theta}{\omega_d}$ |
$t_r=\frac{\pi-(\frac{\pi}{3})}{1.732}$ |
$t_r$= 1,207 Sek |
Spitzenzeit |
$t_p=\frac{\pi}{\omega_d}$ |
$t_p=\frac{\pi}{1.732}$ |
$t_p$= 1,813 Sek |
% Spitzenüberschreitung |
$\%M_p=\left( e^{-\left (\frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right ) }\right )\times 100\%$ |
$\%M_p=\left( e^{-\left (\frac{0.5\pi}{\sqrt{1-(0.5)^2}} \right ) }\right )\times 100\%$ |
$\% \: M_p$= 16,32% |
Einschwingzeit für 2% Toleranzband |
$t_s=\frac{4}{\delta\omega_n}$ |
$t_S=\frac{4}{(0.5)(2)}$ |
$t_s$= 4 Sek |
Die Abweichung des Ausgangs des Steuersystems von der gewünschten Reaktion im stationären Zustand ist bekannt als steady state error. Es wird dargestellt als$e_{ss}$. Wir können einen stationären Fehler unter Verwendung des Endwertsatzes wie folgt finden.
$$e_{ss}=\lim_{t \to \infty}e(t)=\lim_{s \to 0}sE(s)$$
Wo,
E (s) ist die Laplace-Transformation des Fehlersignals, $e(t)$
Lassen Sie uns diskutieren, wie nacheinander stationäre Fehler für Einheitsrückkopplungs- und Nicht-Einheitsrückkopplungssteuersysteme gefunden werden können.
Steady-State-Fehler für Unity-Feedback-Systeme
Betrachten Sie das folgende Blockdiagramm eines Regelungssystems mit negativer Rückkopplung.
Wo,
- R (s) ist die Laplace-Transformation des Referenzeingangssignals $r(t)$
- C (s) ist die Laplace-Transformation des Ausgangssignals $c(t)$
Wir kennen die Übertragungsfunktion des Regelungssystems mit negativer Rückkopplung der Einheit als
$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}$$
$$\Rightarrow C(s)=\frac{R(s)G(s)}{1+G(s)}$$
Die Ausgabe des Summierpunktes ist -
$$E(s)=R(s)-C(s)$$
Ersatz $C(s)$ Wert in der obigen Gleichung.
$$E(s)=R(s)-\frac{R(s)G(s)}{1+G(s)}$$
$$\Rightarrow E(s)=\frac{R(s)+R(s)G(s)-R(s)G(s)}{1+G(s)}$$
$$\Rightarrow E(s)=\frac{R(s)}{1+G(s)}$$
Ersatz $E(s)$ Wert in der stationären Fehlerformel
$$e_{ss}=\lim_{s \to 0} \frac{sR(s)}{1+G(s)}$$
Die folgende Tabelle zeigt die stationären Fehler und die Fehlerkonstanten für Standardeingangssignale wie Einheitsschritt, Einheitsrampe und Einheitsparabelsignale.
Eingangssignal | Steady-State-Fehler $e_{ss}$ | Fehlerkonstante |
---|---|---|
Einheitsschritt-Signal |
$\frac{1}{1+k_p}$ |
$K_p=\lim_{s \to 0}G(s)$ |
Rampensignal der Einheit |
$\frac{1}{K_v}$ |
$K_v=\lim_{s \to 0}sG(s)$ |
Parabolisches Signal der Einheit |
$\frac{1}{K_a}$ |
$K_a=\lim_{s \to 0}s^2G(s)$ |
Wo, $K_p$, $K_v$ und $K_a$ sind Positionsfehlerkonstante, Geschwindigkeitsfehlerkonstante bzw. Beschleunigungsfehlerkonstante.
Note - Wenn eines der obigen Eingangssignale eine andere Amplitude als Eins hat, multiplizieren Sie den entsprechenden stationären Fehler mit dieser Amplitude.
Note- Wir können den stationären Fehler für das Einheitsimpulssignal nicht definieren, da er nur am Ursprung existiert. Daher können wir die Impulsantwort nicht mit der Einheitsimpulseingabe als vergleichent bezeichnet Unendlichkeit.
Beispiel
Lassen Sie uns den stationären Fehler für ein Eingangssignal finden $r(t)=\left( 5+2t+\frac{t^2}{2} \right )u(t)$ des negativen Rückkopplungsregelungssystems der Einheit mit $G(s)=\frac{5(s+4)}{s^2(s+1)(s+20)}$
Das gegebene Eingangssignal ist eine Kombination aus drei Signalen Schritt, Rampe und Parabol. Die folgende Tabelle zeigt die Fehlerkonstanten und stationären Fehlerwerte für diese drei Signale.
Eingangssignal | Fehlerkonstante | Steady-State-Fehler |
---|---|---|
$r_1(t)=5u(t)$ |
$K_p=\lim_{s \to 0}G(s)=\infty$ |
$e_{ss1}=\frac{5}{1+k_p}=0$ |
$r_2(t)=2tu(t)$ |
$K_v=\lim_{s \to 0}sG(s)=\infty$ |
$e_{ss2}=\frac{2}{K_v}=0$ |
$r_3(t)=\frac{t^2}{2}u(t)$ |
$K_a=\lim_{s \to 0}s^2G(s)=1$ |
$e_{ss3}=\frac{1}{k_a}=1$ |
Wir erhalten den gesamten stationären Fehler, indem wir die obigen drei stationären Fehler addieren.
$$e_{ss}=e_{ss1}+e_{ss2}+e_{ss3}$$
$$\Rightarrow e_{ss}=0+0+1=1$$
Daher haben wir den stationären Fehler erhalten $e_{ss}$ wie 1 für dieses Beispiel.
Steady-State-Fehler für Nicht-Unity-Feedback-Systeme
Betrachten Sie das folgende Blockdiagramm eines Regelungssystems mit negativer Rückkopplung.
Wir können die stationären Fehler nur für die Einheitsrückkopplungssysteme finden. Wir müssen also das Nicht-Einheits-Rückkopplungssystem in ein Einheits-Rückkopplungssystem umwandeln. Fügen Sie dazu einen positiven Rückkopplungspfad von Eins und einen negativen Rückkopplungspfad von Eins in das obige Blockdiagramm ein. Das neue Blockdiagramm sieht wie folgt aus.
Vereinfachen Sie das obige Blockdiagramm, indem Sie die negative Rückkopplung der Einheit unverändert lassen. Das Folgende ist das vereinfachte Blockdiagramm.
Dieses Blockschaltbild ähnelt dem Blockschaltbild des Regelungssystems mit negativer Rückkopplung. Hier hat der einzelne Block die Übertragungsfunktion$\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)-G(s)}$ Anstatt von $G(s)$. Sie können jetzt die stationären Fehler berechnen, indem Sie die stationäre Fehlerformel verwenden, die für die negativen Rückkopplungssysteme der Einheit angegeben ist.
Note- Es ist bedeutungslos, die stationären Fehler für instabile Systeme mit geschlossenem Regelkreis zu finden. Daher müssen wir die stationären Fehler nur für stabile Systeme mit geschlossenem Regelkreis berechnen. Dies bedeutet, dass wir prüfen müssen, ob das Steuerungssystem stabil ist oder nicht, bevor wir die stationären Fehler finden. Im nächsten Kapitel werden wir die konzeptbezogene Stabilität diskutieren.
Stabilität ist ein wichtiges Konzept. Lassen Sie uns in diesem Kapitel die Stabilität des Systems und die auf Stabilität basierenden Systemtypen diskutieren.
Was ist Stabilität?
Ein System gilt als stabil, wenn seine Ausgabe unter Kontrolle ist. Ansonsten soll es instabil sein. EINstable system erzeugt eine begrenzte Ausgabe für eine gegebene begrenzte Eingabe.
Die folgende Abbildung zeigt die Reaktion eines stabilen Systems.
Dies ist die Antwort des Steuerungssystems erster Ordnung für die Eingabe von Einheitsschritten. Diese Antwort hat Werte zwischen 0 und 1. Die Ausgabe ist also begrenzt. Wir wissen, dass das Einheitsschritt-Signal für alle positiven Werte von den Wert Eins hatteinschließlich Null. Es ist also eine begrenzte Eingabe. Daher ist das Steuersystem erster Ordnung stabil, da sowohl die Eingabe als auch die Ausgabe begrenzt sind.
Systemtypen basierend auf Stabilität
Wir können die Systeme basierend auf der Stabilität wie folgt klassifizieren.
- Absolut stabiles System
- Bedingt stabiles System
- Randstabiles System
Absolut stabiles System
Wenn das System für alle Bereiche der Systemkomponentenwerte stabil ist, wird es als bezeichnet absolutely stable system. Das Steuerungssystem mit offenem Regelkreis ist absolut stabil, wenn alle Pole der Übertragungsfunktion mit offenem Regelkreis in der linken Hälfte von vorhanden sind‘s’ plane. In ähnlicher Weise ist das Regelungssystem absolut stabil, wenn alle Pole der Übertragungsfunktion mit geschlossenem Regelkreis in der linken Hälfte der Ebene 's' vorhanden sind.
Bedingt stabiles System
Wenn das System für einen bestimmten Bereich von Systemkomponentenwerten stabil ist, wird es als bezeichnet conditionally stable system.
Randstabiles System
Wenn das System durch Erzeugen eines Ausgangssignals mit konstanter Amplitude und konstanter Schwingungsfrequenz für einen begrenzten Eingang stabil ist, ist es bekannt als marginally stable system. Das Steuerungssystem mit offenem Regelkreis ist geringfügig stabil, wenn zwei Pole der Übertragungsfunktion mit offenem Regelkreis auf der imaginären Achse vorhanden sind. In ähnlicher Weise ist das Steuersystem mit geschlossenem Regelkreis geringfügig stabil, wenn zwei Pole der Übertragungsfunktion mit geschlossenem Regelkreis auf der imaginären Achse vorhanden sind.
Lassen Sie uns in diesem Kapitel die Stabilitätsanalyse in der ‘s’Domain unter Verwendung des RouthHurwitz-Stabilitätskriteriums. In diesem Kriterium benötigen wir die charakteristische Gleichung, um die Stabilität der Regelungssysteme zu ermitteln.
Stabilitätskriterium Routh-Hurwitz
Das Stabilitätskriterium von Routh-Hurwitz hat eine notwendige Bedingung und eine ausreichende Bedingung für die Stabilität. Wenn ein Steuerungssystem die erforderliche Bedingung nicht erfüllt, können wir sagen, dass das Steuerungssystem instabil ist. Wenn das Steuerungssystem jedoch die erforderliche Bedingung erfüllt, kann es stabil sein oder nicht. Die ausreichende Bedingung ist also hilfreich, um zu wissen, ob das Steuerungssystem stabil ist oder nicht.
Notwendige Voraussetzung für die Stabilität von Routh-Hurwitz
Die notwendige Bedingung ist, dass die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms positiv sein sollten. Dies impliziert, dass alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung negative Realteile haben sollten.
Betrachten Sie die charakteristische Gleichung der Ordnung 'n' ist -
$$a_0s^n+a_1s^{n-1}+a_2s^{n-2}+...+a_{n-1}s^1+a_ns^0=0$$
Beachten Sie, dass in der kein Begriff fehlen sollte nthOrdnungskennliniengleichung. Dies bedeutet, dass dienth Die Ordnungskennliniengleichung sollte keinen Koeffizienten mit dem Wert Null haben.
Ausreichende Bedingung für die Stabilität von Routh-Hurwitz
Die ausreichende Bedingung ist, dass alle Elemente der ersten Spalte des Routh-Arrays das gleiche Vorzeichen haben. Dies bedeutet, dass alle Elemente der ersten Spalte des Routh-Arrays entweder positiv oder negativ sein sollten.
Routh Array-Methode
Wenn alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung in der linken Hälfte der 's'-Ebene vorhanden sind, ist das Steuersystem stabil. Wenn mindestens eine Wurzel der charakteristischen Gleichung in der rechten Hälfte der 's'-Ebene vorhanden ist, ist das Steuersystem instabil. Wir müssen also die Wurzeln der charakteristischen Gleichung finden, um zu wissen, ob das Steuerungssystem stabil oder instabil ist. Es ist jedoch schwierig, die Wurzeln der charakteristischen Gleichung mit zunehmender Ordnung zu finden.
Um dieses Problem dort zu überwinden, haben wir die Routh array method. Bei dieser Methode müssen die Wurzeln der charakteristischen Gleichung nicht berechnet werden. Formulieren Sie zuerst die Routh-Tabelle und finden Sie die Anzahl der Vorzeichenänderungen in der ersten Spalte der Routh-Tabelle. Die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der ersten Spalte der Routh-Tabelle gibt die Anzahl der Wurzeln der charakteristischen Gleichung an, die in der rechten Hälfte der 's'-Ebene existieren und das Steuersystem instabil ist.
Befolgen Sie diese Prozedur, um die Routh-Tabelle zu bilden.
Füllen Sie die ersten beiden Zeilen des Routh-Arrays mit den Koeffizienten des charakteristischen Polynoms, wie in der folgenden Tabelle angegeben. Beginnen Sie mit dem Koeffizienten von$s^n$ und weiter bis zum Koeffizienten von $s^0$.
Füllen Sie die verbleibenden Zeilen des Routh-Arrays mit den in der folgenden Tabelle genannten Elementen. Setzen Sie diesen Vorgang fort, bis Sie das erste Spaltenelement von erhaltenrow $s^0$ ist $a_n$. Hier,$a_n$ ist der Koeffizient von $s^0$ im charakteristischen Polynom.
Note - Wenn Zeilenelemente der Routh-Tabelle einen gemeinsamen Faktor haben, können Sie die Zeilenelemente zur Vereinfachung einfach mit diesem Faktor teilen.
Die folgende Tabelle zeigt das Routh-Array des charakteristischen Polynoms n- ter Ordnung.
$$a_0s^n+a_1s^{n-1}+a_2s^{n-2}+...+a_{n-1}s^1+a_ns^0$$
$s^n$ |
$a_0$ |
$a_2$ |
$a_4$ |
$a_6$ |
... |
... |
$s^{n-1}$ |
$a_1$ |
$a_3$ |
$a_5$ |
$a_7$ |
... |
... |
$s^{n-2}$ |
$b_1=\frac{a_1a_2-a_3a_0}{a_1}$ |
$b_2=\frac{a_1a_4-a_5a_0}{a_1}$ |
$b_3=\frac{a_1a_6-a_7a_0}{a_1}$ |
... |
... |
... |
$s^{n-3}$ |
$c_1=\frac{b_1a_3-b_2a_1}{b_1}$ |
$c_2=\frac{b_1a_55-b_3a_1}{b_1}$ |
$\vdots$ |
|||
$\vdots $ |
$\vdots$ |
$\vdots$ |
$\vdots$ |
|||
$s^1$ |
$\vdots$ |
$\vdots$ |
||||
$s^0$ |
$a_n$ |
Example
Finden wir die Stabilität des Steuerungssystems mit der charakteristischen Gleichung,
$$s^4+3s^3+3s^2+2s+1=0$$
Step 1 - Überprüfen Sie die notwendigen Bedingungen für die Stabilität von Routh-Hurwitz.
Alle Koeffizienten des charakteristischen Polynoms, $s^4+3s^3+3s^2+2s+1$sind positiv. Das Steuersystem erfüllt also die notwendige Bedingung.
Step 2 - Bilden Sie das Routh-Array für das angegebene charakteristische Polynom.
$s^4$ |
$1$ |
$3$ |
$1$ |
$s^3$ |
$3$ |
$2$ |
|
$s^2$ |
$\frac{(3 \times 3)-(2 \times 1)}{3}=\frac{7}{3}$ |
$\frac{(3 \times 1)-(0 \times 1)}{3}=\frac{3}{3}=1$ |
|
$s^1$ |
$\frac{\left ( \frac{7}{3}\times 2 \right )-(1 \times 3)}{\frac{7}{3}}=\frac{5}{7}$ |
||
$s^0$ |
$1$ |
Step 3 - Überprüfen Sie den ausreichenden Zustand für die Stabilität von Routh-Hurwitz.
Alle Elemente der ersten Spalte des Routh-Arrays sind positiv. In der ersten Spalte des Routh-Arrays findet kein Vorzeichenwechsel statt. Das Steuerungssystem ist also stabil.
Sonderfälle von Routh Array
Wir können beim Bilden des Routh-Tisches auf zwei Arten von Situationen stoßen. Es ist schwierig, die Routh-Tabelle aus diesen beiden Situationen zu vervollständigen.
Die zwei Sonderfälle sind -
- Das erste Element einer Zeile des Routh-Arrays ist Null.
- Alle Elemente einer Zeile des Routh-Arrays sind Null.
Lassen Sie uns nun diskutieren, wie die Schwierigkeit in diesen beiden Fällen nacheinander überwunden werden kann.
Das erste Element einer Zeile des Routh-Arrays ist Null
Wenn eine Zeile des Routh-Arrays nur das erste Element als Null enthält und mindestens eines der verbleibenden Elemente einen Wert ungleich Null hat, ersetzen Sie das erste Element durch eine kleine positive Ganzzahl. $\epsilon$. Fahren Sie dann mit dem Ausfüllen der Routh-Tabelle fort. Suchen Sie nun die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der ersten Spalte der Routh-Tabelle durch Ersetzen$\epsilon$ neigt zu Null.
Example
Finden wir die Stabilität des Steuerungssystems mit der charakteristischen Gleichung,
$$s^4+2s^3+s^2+2s+1=0$$
Step 1 - Überprüfen Sie die notwendigen Bedingungen für die Stabilität von Routh-Hurwitz.
Alle Koeffizienten des charakteristischen Polynoms, $s^4+2s^3+s^2+2s+1$sind positiv. Das Steuerungssystem erfüllte also die notwendige Bedingung.
Step 2 - Bilden Sie das Routh-Array für das angegebene charakteristische Polynom.
$s^4$ |
$1$ |
$1$ |
$1$ |
$s^3$ |
|
|
|
$s^2$ |
$\frac{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$ |
$\frac{(1 \times 1)-(0 \times 1)}{1}=1$ |
|
$s^1$ |
|||
$s^0$ |
Die Reihe $s^3$Elemente haben 2 als gemeinsamen Faktor. Alle diese Elemente werden also durch 2 geteilt.
Special case (i) - Nur das erste Element der Zeile $s^2$ist Null. Ersetzen Sie es also durch$\epsilon$ und setzen Sie den Vorgang zum Ausfüllen der Routh-Tabelle fort.
$s^4$ |
1 |
1 |
1 |
$s^3$ |
1 |
1 |
|
$s^2$ |
$\epsilon$ |
1 |
|
$s^1$ |
$\frac{\left ( \epsilon \times 1 \right )-\left ( 1 \times 1 \right )}{\epsilon}=\frac{\epsilon-1}{\epsilon}$ |
||
$s^0$ |
1 |
Step 3 - Überprüfen Sie den ausreichenden Zustand für die Stabilität von Routh-Hurwitz.
Wie $\epsilon$ gegen Null tendiert, wird die Routh-Tabelle so.
$s^4$ |
1 |
1 |
1 |
$s^3$ |
1 |
1 |
|
$s^2$ |
0 |
1 |
|
$s^1$ |
-∞ |
||
$s^0$ |
1 |
In der ersten Spalte der Routh-Tabelle gibt es zwei Vorzeichenwechsel. Daher ist das Steuerungssystem instabil.
Alle Elemente einer Zeile des Routh-Arrays sind Null
Befolgen Sie in diesem Fall die beiden folgenden Schritte:
Schreiben Sie die Hilfsgleichung A (s) der Reihe, die direkt über der Nullenreihe liegt.
Differenziere die Hilfsgleichung A (s) in Bezug auf s. Füllen Sie die Nullenreihe mit diesen Koeffizienten.
Example
Finden wir die Stabilität des Steuerungssystems mit der charakteristischen Gleichung,
$$s^5+3s^4+s^3+3s^2+s+3=0$$
Step 1 - Überprüfen Sie die notwendigen Bedingungen für die Stabilität von Routh-Hurwitz.
Alle Koeffizienten des gegebenen charakteristischen Polynoms sind positiv. Das Steuerungssystem erfüllte also die notwendige Bedingung.
Step 2 - Bilden Sie das Routh-Array für das angegebene charakteristische Polynom.
$s^5$ |
1 |
1 |
1 |
$s^4$ |
|
|
|
$s^3$ |
$\frac{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$ |
$\frac{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$ |
|
$s^2$ |
|||
$s^1$ |
|||
$s^0$ |
Die Reihe $s^4$ Elemente haben den gemeinsamen Faktor 3. Alle diese Elemente werden also durch 3 geteilt.
Special case (ii) - Alle Elemente der Zeile $s^3$sind Null. Schreiben Sie also die Hilfsgleichung A (s) der Zeile$s^4$.
$$A(s)=s^4+s^2+1$$
Differenzieren Sie die obige Gleichung in Bezug auf s.
$$\frac{\text{d}A(s)}{\text{d}s}=4s^3+2s$$
Platzieren Sie diese Koeffizienten in einer Reihe $s^3$.
$s^5$ |
1 |
1 |
1 |
$s^4$ |
1 |
1 |
1 |
$s^3$ |
|
|
|
$s^2$ |
$\frac{(2 \times 1)-(1 \times 1)}{2}=0.5$ |
$\frac{(2 \times 1)-(0 \times 1)}{2}=1$ |
|
$s^1$ |
$\frac{(0.5 \times 1)-(1 \times 2)}{0.5}=\frac{-1.5}{0.5}=-3$ |
||
$s^0$ |
1 |
Step 3 - Überprüfen Sie den ausreichenden Zustand für die Stabilität von Routh-Hurwitz.
In der ersten Spalte der Routh-Tabelle gibt es zwei Vorzeichenwechsel. Daher ist das Steuerungssystem instabil.
Im Routh-Hurwitz-Stabilitätskriterium können wir erkennen, ob sich die Pole mit geschlossener Schleife in der linken Hälfte der 's'-Ebene oder in der rechten Hälfte der' s'-Ebene oder auf einer imaginären Achse befinden. Wir können also die Art des Steuerungssystems nicht finden. Um diese Einschränkung zu überwinden, gibt es eine Technik, die als Wurzelort bekannt ist. Wir werden diese Technik in den nächsten beiden Kapiteln diskutieren.
Im Wurzelortdiagramm können wir den Pfad der Pole mit geschlossener Schleife beobachten. Daher können wir die Art des Steuerungssystems identifizieren. Bei dieser Technik verwenden wir eine Übertragungsfunktion mit offenem Regelkreis, um die Stabilität des Steuerungssystems mit geschlossenem Regelkreis zu ermitteln.
Grundlagen des Wurzelorts
Der Wurzelort ist der Ort der Wurzeln der charakteristischen Gleichung durch Variieren der Systemverstärkung K von Null bis unendlich.
Wir wissen, dass die charakteristische Gleichung des Regelungssystems lautet
$$1+G(s)H(s)=0$$
Wir können vertreten $G(s)H(s)$ wie
$$G(s)H(s)=K\frac{N(s)}{D(s)}$$
Wo,
K repräsentiert den Multiplikationsfaktor
N (s) repräsentiert den Zählerterm mit dem (faktorisierten) Polynom n- ter Ordnung von 's'.
D (n) den Nenner - Term mit (einkalkuliert) m - ten Ordnung Polynom 's'.
Ersatz, $G(s)H(s)$ Wert in der charakteristischen Gleichung.
$$1+k\frac{N(s)}{D(s)}=0$$
$$\Rightarrow D(s)+KN(s)=0$$
Case 1 − K = 0
Wenn $K=0$, dann $D(s)=0$.
Das heißt, die Pole mit geschlossener Schleife sind gleich den Polen mit offener Schleife, wenn K Null ist.
Case 2 − K = ∞
Schreiben Sie die obige charakteristische Gleichung als neu
$$K\left(\frac{1}{K}+\frac{N(s)}{D(s)} \right )=0 \Rightarrow \frac{1}{K}+\frac{N(s)}{D(s)}=0$$
Ersatz, $K = \infty$ in der obigen Gleichung.
$$\frac{1}{\infty}+\frac{N(s)}{D(s)}=0 \Rightarrow \frac{N(s)}{D(s)}=0 \Rightarrow N(s)=0$$
Wenn $K=\infty$, dann $N(s)=0$. Dies bedeutet, dass die Pole der geschlossenen Schleife gleich den Nullen der offenen Schleife sind, wenn K unendlich ist.
Aus den obigen zwei Fällen können wir schließen, dass die Wurzelortverzweigungen an Polen mit offener Schleife beginnen und an Nullen mit offener Schleife enden.
Winkelbedingung und Größenbedingung
Die Punkte auf den Wurzelortästen erfüllen die Winkelbedingung. Die Winkelbedingung wird also verwendet, um zu wissen, ob der Punkt auf dem Wurzelortzweig vorhanden ist oder nicht. Wir können den Wert von K für die Punkte auf den Wurzelortzweigen unter Verwendung der Größenbedingung ermitteln. Wir können also die Größenbedingung für die Punkte verwenden, und dies erfüllt die Winkelbedingung.
Die charakteristische Gleichung des Regelungssystems ist
$$1+G(s)H(s)=0$$
$$\Rightarrow G(s)H(s)=-1+j0$$
Das phase angle von $G(s)H(s)$ ist
$$\angle G(s)H(s)=\tan^{-1}\left ( \frac{0}{-1} \right )=(2n+1)\pi$$
Das angle conditionist der Punkt, an dem der Winkel der Übertragungsfunktion mit offener Schleife ein ungerades Vielfaches von 180 0 ist .
In der Größenordnung von $G(s)H(s)$ ist -
$$|G(s)H(s)|=\sqrt {(-1)^2+0^2}=1$$
Die Größenbedingung ist der Punkt (der die Winkelbedingung erfüllt), an dem die Größe der Übertragungsfunktion mit offener Schleife eins ist.
Das root locusist eine grafische Darstellung im S-Bereich und symmetrisch zur realen Achse. Weil die Pole und Nullen mit offener Schleife in der S-Domäne existieren und die Werte entweder als reelle oder als komplexe konjugierte Paare vorliegen. Lassen Sie uns in diesem Kapitel diskutieren, wie der Wurzelort konstruiert (gezeichnet) wird.
Regeln für die Konstruktion des Wurzelorts
Befolgen Sie diese Regeln zum Erstellen eines Root-Locus.
Rule 1 - Suchen Sie die Pole und Nullen der offenen Schleife in der Ebene 's'.
Rule 2 - Finden Sie die Anzahl der Wurzelortzweige.
Wir wissen, dass die Wurzelortverzweigungen an den Polen mit offener Schleife beginnen und an Nullen mit offener Schleife enden. Also die Anzahl der WurzelortzweigeN ist gleich der Anzahl der endlichen Pole mit offener Schleife P oder die Anzahl der endlichen Nullen mit offener Schleife Z, der größere Wert gilt.
Mathematisch können wir die Anzahl der Wurzelortzweige schreiben N wie
$N=P$ wenn $P\geq Z$
$N=Z$ wenn $P<Z$
Rule 3 - Identifizieren und zeichnen Sie die real axis root locus branches.
Wenn der Winkel der Übertragungsfunktion mit offener Schleife an einem Punkt ein ungerades Vielfaches von 180 0 ist , befindet sich dieser Punkt am Wurzelort. Wenn auf der linken Seite eines Punktes auf der realen Achse eine ungerade Anzahl der Pole und Nullen mit offener Schleife vorhanden ist, befindet sich dieser Punkt auf dem Zweig des Wurzelorts. Daher ist der Punktzweig, der diese Bedingung erfüllt, die reale Achse des Wurzelortzweigs.
Rule 4 - Finden Sie den Schwerpunkt und den Winkel der Asymptoten.
Wenn $P = Z$Dann beginnen alle Wurzelortzweige an endlichen Polen mit offener Schleife und enden an Nullen mit endlicher offener Schleife.
Wenn $P > Z$ , dann $Z$ Die Anzahl der Wurzelortverzweigungen beginnt an endlichen Polen mit offener Schleife und endet an endlichen Nullen mit offener Schleife und $P − Z$ Die Anzahl der Wurzelortverzweigungen beginnt an endlichen Polen mit offener Schleife und endet an Nullen mit unendlicher offener Schleife.
Wenn $P < Z$ , dann beginnt die P-Anzahl der Wurzelortverzweigungen an endlichen Polen mit offener Schleife und endet an endlichen Nullen mit offener Schleife und $Z − P$ Die Anzahl der Wurzelortverzweigungen beginnt an unendlichen Polen mit offener Schleife und endet an Nullen mit endlicher offener Schleife.
Einige der Wurzelortäste nähern sich also der Unendlichkeit, wenn $P \neq Z$. Asymptoten geben die Richtung dieser Wurzelortäste an. Der Schnittpunkt von Asymptoten auf der realen Achse ist bekannt alscentroid.
Wir können das berechnen centroid α unter Verwendung dieser Formel,
$\alpha = \frac{\sum Real\: part\: of\: finite\: open\: loop\: poles\:-\sum Real\: part\: of\: finite\: open\: loop\: zeros}{P-Z}$
Die Formel für den Winkel von asymptotes θ ist
$$\theta=\frac{(2q+1)180^0}{P-Z}$$
Wo,
$$q=0,1,2,....,(P-Z)-1$$
Rule 5 - Finden Sie die Schnittpunkte von Wurzelortästen mit einer imaginären Achse.
Wir können den Punkt berechnen, an dem der Wurzelortzweig die imaginäre Achse schneidet, und den Wert von K an diesem Punkt mit der Routh-Array-Methode und Special case (ii).
Wenn alle Elemente einer Zeile des Routh-Arrays Null sind, schneidet der Wurzelortzweig die imaginäre Achse und umgekehrt.
Identifizieren Sie die Zeile so, dass die Elemente der gesamten Zeile Null sind, wenn wir das erste Element als Null festlegen. Finden Sie den Wert vonK für diese Kombination.
Ersetzen Sie dies KWert in der Hilfsgleichung. Sie erhalten den Schnittpunkt des Wurzelortzweigs mit einer imaginären Achse.
Rule 6 - Finden Sie Abbruch- und Einbruchspunkte.
Wenn zwischen zwei Polen mit offener Schleife ein realer Achsenwurzelortzweig existiert, gibt es einen break-away point zwischen diesen beiden offenen Polen.
Wenn zwischen zwei Nullen mit offener Schleife ein realer Wurzelwurzelzweig existiert, gibt es einen break-in point zwischen diesen beiden offenen Nullen.
Note - Abreiß- und Einlaufpunkte existieren nur auf den Wurzelachsenästen der realen Achse.
Befolgen Sie diese Schritte, um Abbruch- und Einlaufpunkte zu finden.
Schreiben $K$ bezüglich $s$ aus der charakteristischen Gleichung $1 + G(s)H(s) = 0$.
Unterscheiden $K$in Bezug auf s und machen es gleich Null. Ersetzen Sie diese Werte durch$s$ in der obigen Gleichung.
Die Werte von $s$ für die die $K$ Wert ist positiv sind die break points.
Rule 7 - Finden Sie den Abflugwinkel und den Ankunftswinkel.
Der Abflugwinkel und der Ankunftswinkel können an komplexen konjugierten Polen mit offener Schleife bzw. an komplexen konjugierten Nullen mit offener Schleife berechnet werden.
Die Formel für die angle of departure $\phi_d$ ist
$$\phi_d=180^0-\phi$$
Die Formel für die angle of arrival $\phi_a$ ist
$$\phi_a=180^0+\phi$$
Wo,
$$\phi=\sum \phi_P-\sum \phi_Z$$
Beispiel
Zeichnen wir nun den Wurzelort des Steuerungssystems mit Übertragungsfunktion im offenen Regelkreis. $G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+5)}$
Step 1 - Die gegebene Open-Loop-Übertragungsfunktion hat drei Pole an $s = 0, s = −1$ und $s = −5$. Es hat keine Null. Daher ist die Anzahl der Wurzelortverzweigungen gleich der Anzahl der Pole der Übertragungsfunktion mit offener Schleife.
$$N=P=3$$
Die drei Pole sind in der obigen Abbildung dargestellt. Das Liniensegment zwischen$s = −1$ und $s = 0$ist ein Zweig des Wurzelorts auf der realen Achse. Und der andere Zweig des Wurzelorts auf der realen Achse ist das Liniensegment links von$s = −5$.
Step 2 - Wir erhalten die Werte des Schwerpunkts und den Winkel der Asymptoten unter Verwendung der angegebenen Formeln.
Schwerpunkt $\alpha = −2$
Der Winkel der Asymptoten beträgt $\theta = 60^0,180^0$ und $300^0$.
Der Schwerpunkt und drei Asymptoten sind in der folgenden Abbildung dargestellt.
Step 3 - Da zwei Asymptoten die Winkel von haben $60^0$ und $300^0$zwei Wurzelortäste schneiden die imaginäre Achse. Unter Verwendung der Routh-Array-Methode und des Sonderfalls (ii) schneiden die Wurzelortzweige die imaginäre Achse bei$j\sqrt{5}$ und $−j\sqrt{5}$.
Zwischen den Polen befindet sich ein Abreißpunkt auf dem Zweig der Wurzelachse der realen Achse $s = −1$ und $s = 0$. Wenn Sie das für die Berechnung des Abreißpunkts angegebene Verfahren befolgen, erhalten Sie es als$s = −0.473$.
Das Root-Locus-Diagramm für das angegebene Steuerungssystem ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Auf diese Weise können Sie das Wurzelortdiagramm eines beliebigen Steuerungssystems zeichnen und die Bewegung der Pole der Übertragungsfunktion mit geschlossenem Regelkreis beobachten.
Aus den Wurzelortdiagrammen können wir den Bereich der K-Werte für verschiedene Arten der Dämpfung erkennen.
Auswirkungen des Hinzufügens von Open-Loop-Polen und Nullen auf den Root-Locus
Der Wurzelort kann verschoben werden ‘s’ plane durch Hinzufügen der Pole mit offener Schleife und der Nullen mit offener Schleife.
Wenn wir einen Pol in die Übertragungsfunktion mit offener Schleife aufnehmen, bewegen sich einige der Wurzelortäste in Richtung der rechten Hälfte der Ebene. Aus diesem Grund ist das Dämpfungsverhältnis$\delta$nimmt ab. Was impliziert, gedämpfte Frequenz$\omega_d$ erhöht sich und die Zeitbereichsspezifikationen wie Verzögerungszeit $t_d$Anstiegszeit $t_r$ und Spitzenzeit $t_p$verringern. Dies wirkt sich jedoch auf die Systemstabilität aus.
Wenn wir eine Null in die Übertragungsfunktion mit offener Schleife aufnehmen, bewegen sich einige der Wurzelortzweige in Richtung der linken Hälfte der Ebene von 's'. Dies erhöht die Stabilität des Steuerungssystems. In diesem Fall das Dämpfungsverhältnis$\delta$erhöht sich. Was impliziert, gedämpfte Frequenz$\omega_d$ nimmt ab und die Zeitbereichsspezifikationen wie Verzögerungszeit $t_d$Anstiegszeit $t_r$ und Spitzenzeit $t_p$ erhöhen, ansteigen.
Je nach Anforderung können wir also die Pole oder Nullen mit offener Schleife zur Übertragungsfunktion hinzufügen (hinzufügen).
Wir haben bereits die Zeitantwortanalyse der Steuerungssysteme und die Zeitbereichsspezifikationen der Steuerungssysteme zweiter Ordnung erörtert. Lassen Sie uns in diesem Kapitel die Frequenzganganalyse der Steuerungssysteme und die Frequenzbereichsspezifikationen der Steuerungssysteme zweiter Ordnung diskutieren.
Was ist Frequenzgang?
Die Antwort eines Systems kann sowohl in die Übergangsantwort als auch in die stationäre Antwort unterteilt werden. Wir können das Einschwingverhalten mithilfe von Fourier-Integralen ermitteln. Die stationäre Reaktion eines Systems für ein sinusförmiges Eingangssignal ist als bekanntfrequency response. In diesem Kapitel konzentrieren wir uns nur auf die stationäre Reaktion.
Wenn ein sinusförmiges Signal als Eingang für ein lineares zeitinvariantes (LTI) System angelegt wird, erzeugt es den stationären Ausgang, der auch ein sinusförmiges Signal ist. Die sinusförmigen Eingangs- und Ausgangssignale haben die gleiche Frequenz, jedoch unterschiedliche Amplituden und Phasenwinkel.
Das Eingangssignal sei -
$$r(t)=A\sin(\omega_0t)$$
Die Open-Loop-Übertragungsfunktion ist -
$$G(s)=G(j\omega)$$
Wir können vertreten $G(j\omega)$ in Bezug auf Größe und Phase wie unten gezeigt.
$$G(j\omega)=|G(j\omega)| \angle G(j\omega)$$
Ersatz, $\omega = \omega_0$ in der obigen Gleichung.
$$G(j\omega_0)=|G(j\omega_0)| \angle G(j\omega_0)$$
Das Ausgangssignal ist
$$c(t)=A|G(j\omega_0)|\sin(\omega_0t + \angle G(j\omega_0))$$
Das amplitude des sinusförmigen Ausgangssignals wird durch Multiplizieren der Amplitude des sinusförmigen Eingangssignals und der Größe von erhalten $G(j\omega)$ beim $\omega = \omega_0$.
Das phase des sinusförmigen Ausgangssignals wird erhalten, indem die Phase des sinusförmigen Eingangssignals und die Phase von addiert werden $G(j\omega)$ beim $\omega = \omega_0$.
Wo,
A ist die Amplitude des sinusförmigen Eingangssignals.
ω0 ist die Winkelfrequenz des sinusförmigen Eingangssignals.
Wir können schreiben, Winkelfrequenz $\omega_0$ Wie nachfolgend dargestellt.
$$\omega_0=2\pi f_0$$
Hier, $f_0$ist die Frequenz des sinusförmigen Eingangssignals. In ähnlicher Weise können Sie das gleiche Verfahren für das Regelungssystem anwenden.
Frequenzbereichsspezifikationen
Die Frequenzbereichsspezifikationen sind resonant peak, resonant frequency and bandwidth.
Betrachten Sie die Übertragungsfunktion des Regelungssystems zweiter Ordnung als:
$$T(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2}$$
Ersatz, $s = j\omega$ in der obigen Gleichung.
$$T(j\omega)=\frac{\omega_n^2}{(j\omega)^2+2\delta\omega_n(j\omega)+\omega_n^2}$$
$$\Rightarrow T(j\omega)=\frac{\omega_n^2}{-\omega^2+2j\delta\omega\omega_n+\omega_n^2}=\frac{\omega_n^2}{\omega_n^2\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2}+\frac{2j\delta\omega}{\omega_n} \right )}$$
$$\Rightarrow T(j\omega)=\frac{1}{\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2} \right )+j\left ( \frac{2\delta\omega}{\omega_n} \right )}$$
Lassen, $\frac{\omega}{\omega_n}=u$ Ersetzen Sie diesen Wert in der obigen Gleichung.
$$T(j\omega)=\frac{1}{(1-u^2)+j(2\delta u)}$$
In der Größenordnung von $T(j\omega)$ ist -
$$M=|T(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt {(1-u^2)^2+(2\delta u)^2}}$$
Phase von $T(j\omega)$ ist -
$$\angle T(j\omega)=-tan^{-1}\left( \frac{2\delta u}{1-u^2} \right )$$
Resonanzfrequenz
Dies ist die Frequenz, bei der die Größe des Frequenzgangs zum ersten Mal einen Spitzenwert aufweist. Es wird mit bezeichnet$\omega_r$. Beim$\omega = \omega_r$, die erste Ableitung der Größe von $T(j\omega)$ ist Null.
Unterscheiden $M$ in Gedenken an $u$.
$$\frac{\text{d}M}{\text{d}u}=-\frac{1}{2}\left [ (1-u^2)^2+(2\delta u)^2 \right ]^{\frac{-3}{2}} \left [2(1-u^2)(-2u)+2(2\delta u)(2\delta) \right ]$$
$$\Rightarrow \frac{\text{d}M}{\text{d}u}=-\frac{1}{2}\left [ (1-u^2)^2+(2\delta u)^2 \right ]^{\frac{-3}{2}} \left [4u(u^2-1 +2\delta^2) \right ]$$
Ersatz, $u=u_r$ und $\frac{\text{d}M}{\text{d}u}==0$ in der obigen Gleichung.
$$0=-\frac{1}{2}\left [ (1-u_r^2)^2+(2\delta u_r)^2 \right ]^{-\frac{3}{2}}\left [ 4u_r(u_r^2-1 +2\delta^2) \right ]$$
$$\Rightarrow 4u_r(u_r^2-1 +2\delta^2)=0$$
$$\Rightarrow u_r^2-1+2\delta^2=0$$
$$\Rightarrow u_r^2=1-2\delta^2$$
$$\Rightarrow u_r=\sqrt{1-2\delta^2}$$
Ersatz, $u_r=\frac{\omega_r}{\omega_n}$ in der obigen Gleichung.
$$\frac{\omega_r}{\omega_n}=\sqrt{1-2\delta^2}$$
$$\Rightarrow \omega_r=\omega_n \sqrt{1-2\delta^2}$$
Resonanzpeak
Dies ist der Spitzenwert (Maximalwert) der Größe von $T(j\omega)$. Es wird mit bezeichnet$M_r$.
Beim $u = u_r$, die Größe von $T(j\omega)$ ist -
$$M_r=\frac{1}{\sqrt{(1-u_r^2)^2+(2\delta u_r)^2}}$$
Ersatz, $u_r = \sqrt{1 − 2\delta^2}$ und $1 − u_r^2 = 2\delta^2$ in der obigen Gleichung.
$$M_r=\frac{1}{\sqrt{(2\delta^2)^2+(2\delta \sqrt{1-2\delta^2})^2}}$$
$$\Rightarrow M_r=\frac{1}{2\delta \sqrt {1-\delta^2}}$$
Die Resonanzspitze im Frequenzgang entspricht der Spitzenüberschreitung im Zeitbereichs-Einschwingverhalten für bestimmte Werte des Dämpfungsverhältnisses $\delta$. Der Resonanzpeak und das Peaküberschwingen sind also miteinander korreliert.
Bandbreite
Es ist der Frequenzbereich, über den die Größe von $T(j\omega)$ fällt von seinem Nullfrequenzwert auf 70,7% ab.
Beim $\omega = 0$, der Wert von $u$ wird Null sein.
Ersatz, $u = 0$ in M.
$$M=\frac{1}{\sqrt {(1-0^2)^2+(2\delta(0))^2}}=1$$
Daher ist die Größe von $T(j\omega)$ ist einer bei $\omega = 0$.
Bei einer Frequenz von 3 dB beträgt die Größe von $T(j\omega)$ wird 70,7% der Größe von sein $T(j\omega)$ beim $\omega = 0$.
ich esse $\omega = \omega_B, M = 0.707(1) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$$\Rightarrow M=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{(1-u_b^2)^2+(2\delta u_b)^2}}$$
$$\Rightarrow 2=(1-u_b^2)^2+(2\delta)^2 u_b^2$$
Lassen, $u_b^2=x$
$$\Rightarrow 2=(1-x)^2+(2\delta)^2 x$$
$$\Rightarrow x^2+(4\delta^2-2)x-1=0$$
$$\Rightarrow x=\frac{-(4\delta^2 -2)\pm \sqrt{(4\delta^2-2)^2+4}}{2}$$
Betrachten Sie nur den positiven Wert von x.
$$x=1-2\delta^2+\sqrt {(2\delta^2-1)^2+1}$$
$$\Rightarrow x=1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}$$
Ersatz, $x=u_b^2=\frac{\omega_b^2}{\omega_n^2}$
$$\frac{\omega_b^2}{\omega_n^2}=1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}$$
$$\Rightarrow \omega_b=\omega_n \sqrt {1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}}$$
Bandbreite $\omega_b$ im Frequenzgang ist umgekehrt proportional zur Anstiegszeit $t_r$ im Zeitbereich Einschwingverhalten.
Das Bode-Diagramm oder das Bode-Diagramm besteht aus zwei Diagrammen -
- Größenplot
- Phasendiagramm
In beiden Darstellungen repräsentiert die x-Achse die Winkelfrequenz (logarithmische Skala). Während die Y-Achse die Größe (lineare Skala) der Übertragungsfunktion im offenen Regelkreis im Betragsdiagramm und den Phasenwinkel (lineare Skala) der Übertragungsfunktion im offenen Regelkreis im Phasendiagramm darstellt.
Das magnitude der Übertragungsfunktion im offenen Regelkreis in dB ist -
$$M=20\: \log|G(j\omega)H(j\omega)|$$
Das phase angle der Übertragungsfunktion im offenen Regelkreis in Grad ist -
$$\phi=\angle G(j\omega)H(j\omega)$$
Note - Die Basis des Logarithmus ist 10.
Grundlegendes zu Bode-Plots
Die folgende Tabelle zeigt die Steigungs-, Größen- und Phasenwinkelwerte der Terme, die in der Übertragungsfunktion mit offener Schleife vorhanden sind. Diese Daten sind nützlich beim Zeichnen der Bode-Diagramme.
Art des Begriffs | G (jω) H (jω) | Steigung (dB / Dez) | Größe (dB) | Phasenwinkel (Grad) |
---|---|---|---|---|
Konstante |
$K$ |
$0$ |
$20 \log K$ |
$0$ |
Null am Ursprung |
$j\omega$ |
$20$ |
$20 \log \omega$ |
$90$ |
'n' Nullen am Ursprung |
$(j\omega)^n$ |
$20\: n$ |
$20\: n \log \omega$ |
$90\: n$ |
Pol am Ursprung |
$\frac{1}{j\omega}$ |
$-20$ |
$-20 \log \omega$ |
$-90 \: or \: 270$ |
'n' Pole am Ursprung |
$\frac{1}{(j\omega)^n}$ |
$-20\: n$ |
$-20 \: n \log \omega$ |
$-90 \: n \: or \: 270 \: n$ |
Einfache Null |
$1+j\omega r$ |
$20$ |
$0\: for\: \omega < \frac{1}{r}$ $20\: \log \omega r\: for \: \omega > \frac{1}{r}$ |
$0 \: for \: \omega < \frac{1}{r}$ $90 \: for \: \omega > \frac{1}{r}$ |
Einfache Stange |
$\frac{1}{1+j\omega r}$ |
$-20$ |
$0\: for\: \omega < \frac{1}{r}$ $-20\: \log \omega r\: for\: \omega > \frac{1}{r}$ |
$0 \: for \: \omega < \frac{1}{r}$ $-90\: or \: 270 \: for\: \omega > \frac{1}{r}$ |
Abgeleiteter Term zweiter Ordnung |
$\omega_n^2\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2}+\frac{2j\delta\omega}{\omega_n} \right )$ |
$40$ |
$40\: \log\: \omega_n\: for \: \omega < \omega_n$ $20\: \log\:(2\delta\omega_n^2)\: for \: \omega=\omega_n$ $40 \: \log \: \omega\:for \:\omega > \omega_n$ |
$0 \: for \: \omega < \omega_n$ $90 \: for \: \omega = \omega_n$ $180 \: for \: \omega > \omega_n$ |
Integraler Term zweiter Ordnung |
$\frac{1}{\omega_n^2\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2}+\frac{2j\delta\omega}{\omega_n} \right )}$ |
$-40$ |
$-40\: \log\: \omega_n\: for \: \omega < \omega_n$ $-20\: \log\:(2\delta\omega_n^2)\: for \: \omega=\omega_n$ $-40 \: \log \: \omega\:for \:\omega > \omega_n$ |
$-0 \: for \: \omega < \omega_n$ $-90 \: for \: \omega = \omega_n$ $-180 \: for \: \omega > \omega_n$ |
Betrachten Sie die Open-Loop-Übertragungsfunktion $G(s)H(s) = K$.
Größe $M = 20\: \log K$ dB
Phasenwinkel $\phi = 0$ Grad
Wenn $K = 1$dann beträgt die Größe 0 dB.
Wenn $K > 1$dann wird die Größe positiv sein.
Wenn $K < 1$dann ist die Größe negativ.
Die folgende Abbildung zeigt das entsprechende Bode-Diagramm.
Das Betragsdiagramm ist eine horizontale Linie, die unabhängig von der Frequenz ist. Die 0-dB-Linie selbst ist das Betragsdiagramm, wenn der Wert von K eins ist. Für die positiven Werte von K verschiebt sich die horizontale Linie$20 \:\log K$dB über der 0 dB-Linie. Bei den negativen Werten von K verschiebt sich die horizontale Linie$20\: \log K$dB unter der 0 dB-Linie. Die Null-Grad-Linie selbst ist das Phasendiagramm für alle positiven Werte von K.
Betrachten Sie die Open-Loop-Übertragungsfunktion $G(s)H(s) = s$.
Größe $M = 20 \log \omega$ dB
Phasenwinkel $\phi = 90^0$
Beim $\omega = 0.1$ rad / sec beträgt die Größe -20 dB.
Beim $\omega = 1$ rad / sec beträgt die Größe 0 dB.
Beim $\omega = 10$ rad / sec beträgt die Größe 20 dB.
Die folgende Abbildung zeigt das entsprechende Bode-Diagramm.
Das Betragsdiagramm ist eine Linie mit einer Steigung von 20 dB / Dez. Diese Linie begann um$\omega = 0.1$rad / sec hat eine Größe von -20 dB und setzt sich auf derselben Steigung fort. Es berührt 0 dB Linie bei$\omega = 1$rad / sek. In diesem Fall ist das Phasendiagramm eine Linie von 90 0 .
Betrachten Sie die Open-Loop-Übertragungsfunktion $G(s)H(s) = 1 + s\tau$.
Größe $M = 20\: log \sqrt{1 + \omega^2\tau^2}$ dB
Phasenwinkel $\phi = \tan^{-1}\omega\tau$ Grad
Zum $ω < \frac{1}{\tau}$ beträgt die Größe 0 dB und der Phasenwinkel 0 Grad.
Zum $\omega > \frac{1}{\tau}$ ist die Größe $20\: \log \omega\tau$dB und Phasenwinkel beträgt 90 0 .
Die folgende Abbildung zeigt das entsprechende Bode-Diagramm.
Das Betragsdiagramm hat eine Größe von 0 dB bis $\omega=\frac{1}{\tau}$rad / sek. Von$\omega = \frac{1}{\tau}$rad / sec hat es eine Steigung von 20 dB / dec. In diesem Fall hat das Phasendiagramm einen Phasenwinkel von 0 Grad bis zu$\omega = \frac{1}{\tau}$rad / sec und von hier aus hat es einen Phasenwinkel von 90 0 . Diese Bode-Handlung heißtasymptotic Bode plot.
Da die Größen- und Phasendiagramme mit geraden Linien dargestellt werden, ähneln die Exact Bode-Diagramme den asymptotischen Bode-Diagrammen. Der einzige Unterschied besteht darin, dass die Exact Bode-Diagramme einfache Kurven anstelle von geraden Linien aufweisen.
In ähnlicher Weise können Sie die Bode-Diagramme für andere Begriffe der Übertragungsfunktion mit offenem Regelkreis zeichnen, die in der Tabelle angegeben sind.
Lassen Sie uns in diesem Kapitel detailliert verstehen, wie Bode-Diagramme erstellt (gezeichnet) werden.
Regeln für den Bau von Bode-Plots
Befolgen Sie diese Regeln beim Erstellen eines Bode-Diagramms.
Stellen Sie die Übertragungsfunktion mit offenem Regelkreis in der Standardform der Zeitkonstante dar.
Ersatz, $s=j\omega$ in der obigen Gleichung.
Finden Sie die Eckfrequenzen und ordnen Sie sie in aufsteigender Reihenfolge an.
Betrachten wir die Ausgangsfrequenz des Bode - Diagramm als 1/10 th der minimalen Eckfrequenz bzw. 0,1 rad / s je nachdem , was kleiner Wert ist , und ziehen das Bode - Diagramm bis zu 10 - fache maximale Eckfrequenz.
Zeichnen Sie die Größendiagramme für jeden Term und kombinieren Sie diese Diagramme richtig.
Zeichnen Sie die Phasendiagramme für jeden Term und kombinieren Sie diese Diagramme richtig.
Note - Die Eckfrequenz ist die Frequenz, bei der sich die Steigung des Magnitudenplots ändert.
Beispiel
Betrachten Sie die Open-Loop-Übertragungsfunktion eines Regelungssystems
$$G(s)H(s)=\frac{10s}{(s+2)(s+5)}$$
Lassen Sie uns diese Übertragungsfunktion mit offenem Regelkreis in die Standardform einer Zeitkonstante umwandeln.
$$G(s)H(s)=\frac{10s}{2\left( \frac{s}{2}+1 \right )5 \left( \frac{s}{5}+1 \right )}$$
$$\Rightarrow G(s)H(s)=\frac{s}{\left( 1+\frac{s}{2} \right )\left( 1+\frac{s}{5} \right )}$$
Wir können also das Bode-Diagramm in einem Semi-Log-Blatt nach den zuvor genannten Regeln zeichnen.
Stabilitätsanalyse mit Bode-Plots
Anhand der Bode-Diagramme können wir anhand der Werte dieser Parameter sagen, ob das Steuerungssystem stabil, geringfügig stabil oder instabil ist.
- Verstärkungsübergangsfrequenz und Phasenübergangsfrequenz
- Gewinnspanne und Phasenrand
Phasenübergangsfrequenz
Die Frequenz, bei der das Phasendiagramm die Phase -180 0 aufweist, ist bekannt alsphase cross over frequency. Es wird mit bezeichnet$\omega_{pc}$. Die Einheit der Phasenübergangsfrequenz istrad/sec.
Überkreuzen Sie die Frequenz
Die Frequenz, bei der das Betragsdiagramm die Größe von Null dB hat, ist bekannt als gain cross over frequency. Es wird mit bezeichnet$\omega_{gc}$. Die Einheit der Überkreuzungsfrequenz der Verstärkung istrad/sec.
Die Stabilität des Steuersystems basierend auf der Beziehung zwischen der Phasenübergangsfrequenz und der Verstärkungsübergangsfrequenz ist nachstehend aufgeführt.
Wenn die Phase Frequenz überschreitet $\omega_{pc}$ ist größer als die Verstärkungsübergangsfrequenz $\omega_{gc}$, dann ist das Steuerungssystem stable.
Wenn die Phase Frequenz überschreitet $\omega_{pc}$ ist gleich der Verstärkungsübergangsfrequenz $\omega_{gc}$, dann ist das Steuerungssystem marginally stable.
Wenn die Phase Frequenz überschreitet $\omega_{pc}$ ist kleiner als die Verstärkungsübergangsfrequenz $\omega_{gc}$, dann ist das Steuerungssystem unstable.
Gewinnspanne
Gewinnspanne $GM$ ist gleich negativ der Größe in dB bei Phasenübergangsfrequenz.
$$GM=20\log\left( \frac{1}{M_{pc}}\right )=20logM_{pc}$$
Wo, $M_{pc}$ist die Größe bei der Phasenübergangsfrequenz. Die Einheit der Gewinnspanne (GM) istdB.
Phasenrand
Die Formel für den Phasenrand $PM$ ist
$$PM=180^0+\phi_{gc}$$
Wo, $\phi_{gc}$ist der Phasenwinkel bei Überkreuzungsfrequenz der Verstärkung. Die Einheit des Phasenabstands istdegrees.
Die Stabilität des Steuerungssystems basierend auf der Beziehung zwischen Verstärkungsspanne und Phasenspanne ist unten aufgeführt.
Wenn beide die Gewinnspanne $GM$ und der Phasenrand $PM$ positiv sind, dann ist das Steuerungssystem stable.
Wenn beide die Gewinnspanne $GM$ und der Phasenrand $PM$ gleich Null sind, dann ist das Steuerungssystem marginally stable.
Wenn die Gewinnspanne $GM$ und / oder die Phasenreserve $PM$ sind / ist negativ, dann ist das Steuerungssystem unstable.
In den vorherigen Kapiteln haben wir die Bode-Diagramme besprochen. Dort haben wir zwei separate Diagramme für Größe und Phase als Funktion der Frequenz. Lassen Sie uns nun über Polarkurven diskutieren. Polardiagramm ist ein Diagramm, das zwischen Größe und Phase gezeichnet werden kann. Hier werden die Größen nur durch Normalwerte dargestellt.
Die polare Form von $G(j\omega)H(j\omega)$ ist
$$G(j\omega)H(j\omega)=|G(j\omega)H(j\omega)| \angle G(j\omega)H(j\omega)$$
Das Polar plot ist ein Diagramm, das zwischen der Größe und dem Phasenwinkel von gezeichnet werden kann $G(j\omega)H(j\omega)$ durch Variieren $\omega$von Null bis ∞. Das Polardiagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Dieses Diagrammblatt besteht aus konzentrischen Kreisen und radialen Linien. Dasconcentric circles und die radial linesrepräsentieren die Größen bzw. Phasenwinkel. Diese Winkel werden durch positive Werte gegen den Uhrzeigersinn dargestellt. Ebenso können wir Winkel mit negativen Werten im Uhrzeigersinn darstellen. Beispielsweise ist der Winkel 270 0 im Uhrzeigersinn gleich dem Winkel –90 0 im Uhrzeigersinn.
Regeln zum Zeichnen von Polardiagrammen
Befolgen Sie diese Regeln zum Zeichnen der Polardiagramme.
Ersatz, $s = j\omega$ in der Open-Loop-Übertragungsfunktion.
Schreiben Sie die Ausdrücke für Größe und Phase von $G(j\omega)H(j\omega)$.
Finden Sie die Startgröße und die Phase von $G(j\omega)H(j\omega)$ durch Ersetzen $\omega = 0$. Das Polardiagramm beginnt also mit dieser Größe und dem Phasenwinkel.
Finden Sie die Endgröße und die Phase von $G(j\omega)H(j\omega)$ durch Ersetzen $\omega = \infty$. Das Polardiagramm endet also mit dieser Größe und dem Phasenwinkel.
Überprüfen Sie, ob das Polardiagramm die reale Achse schneidet, indem Sie den imaginären Term von festlegen $G(j\omega)H(j\omega)$ gleich Null und finden Sie die Werte von $\omega$.
Überprüfen Sie, ob das Polardiagramm die imaginäre Achse schneidet, indem Sie einen realen Term von erstellen $G(j\omega)H(j\omega)$ gleich Null und finden Sie die Werte von $\omega$.
Um die Polarkurve klarer zu zeichnen, ermitteln Sie die Größe und Phase von $G(j\omega)H(j\omega)$ unter Berücksichtigung der anderen Werte von $\omega$.
Beispiel
Betrachten Sie die Open-Loop-Übertragungsfunktion eines Regelungssystems.
$$G(s)H(s)=\frac{5}{s(s+1)(s+2)}$$
Zeichnen wir das Polardiagramm für dieses Steuerungssystem unter Verwendung der obigen Regeln.
Step 1 - Ersatz, $s = j\omega$ in der Open-Loop-Übertragungsfunktion.
$$G(j\omega)H(j\omega)=\frac{5}{j\omega(j\omega+1)(j\omega+2)}$$
Die Größe der Übertragungsfunktion mit offener Schleife ist
$$M=\frac{5}{\omega(\sqrt{\omega^2+1})(\sqrt{\omega^2+4})}$$
Der Phasenwinkel der Übertragungsfunktion mit offener Schleife beträgt
$$\phi=-90^0-\tan^{-1}\omega-\tan^{-1}\frac{\omega}{2}$$
Step 2 - Die folgende Tabelle zeigt die Größe und den Phasenwinkel der Übertragungsfunktion im offenen Regelkreis bei $\omega = 0$ rad / sec und $\omega = \infty$ rad / sek.
Frequenz (rad / sec) | Größe | Phasenwinkel (Grad) |
---|---|---|
0 | ∞ | -90 oder 270 |
∞ | 0 | -270 oder 90 |
Das Polardiagramm beginnt also bei (∞, −90 0 ) und endet bei (0, −270 0 ). Der erste und der zweite Term in den Klammern geben die Größe bzw. den Phasenwinkel an.
Step 3- Basierend auf den Anfangs- und Endpolarkoordinaten schneidet dieses Polardiagramm die negative reelle Achse. Der der negativen reellen Achse entsprechende Phasenwinkel beträgt –180 0 oder 180 0 . Wenn wir also den Phasenwinkel der Übertragungsfunktion mit offener Schleife entweder mit –180 0 oder mit 180 0 gleichsetzen , erhalten wir die$\omega$ Wert als $\sqrt{2}$.
Durch Ersetzen $\omega = \sqrt{2}$ in der Größe der Open-Loop-Übertragungsfunktion erhalten wir $M = 0.83$. Daher schneidet das Polardiagramm die negative reale Achse, wenn$\omega = \sqrt{2}$und die Polarkoordinate ist (0,83, –180 0 ).
So können wir das Polardiagramm mit den obigen Informationen auf dem Polardiagrammblatt zeichnen.
Nyquist-Diagramme sind die Fortsetzung von Polardiagrammen zum Ermitteln der Stabilität der Regelungssysteme durch Variieren von ω von −∞ bis ∞. Das heißt, Nyquist-Diagramme werden verwendet, um den vollständigen Frequenzgang der Übertragungsfunktion mit offener Schleife zu zeichnen.
Nyquist-Stabilitätskriterium
Das Nyquist-Stabilitätskriterium funktioniert auf der principle of argument. Es heißt, wenn es P-Pole gibt und Z-Nullen von dem geschlossenen Pfad der Ebene 's' eingeschlossen sind, dann der entsprechende$G(s)H(s)$ Flugzeug muss den Ursprung umgeben $P − Z$mal. Wir können also die Anzahl der Einkreisungen N wie folgt schreiben:
$$N=P-Z$$
Wenn der geschlossene Pfad der eingeschlossenen Ebene nur Pole enthält, dann ist die Richtung der Einkreisung in der $G(s)H(s)$ Die Ebene ist entgegengesetzt zur Richtung des geschlossenen geschlossenen Pfades in der Ebene 's'.
Wenn der geschlossene Pfad der eingeschlossenen Ebene nur Nullen enthält, ist die Richtung der Einkreisung in der $G(s)H(s)$ Die Ebene befindet sich in der gleichen Richtung wie die des geschlossenen geschlossenen Pfades in der Ebene 's'.
Wenden wir nun das Argumentationsprinzip auf die gesamte rechte Hälfte der 's'-Ebene an, indem wir es als geschlossenen Pfad auswählen. Dieser ausgewählte Pfad wird als bezeichnetNyquist Kontur.
Wir wissen, dass das Regelungssystem stabil ist, wenn sich alle Pole der Übertragungsfunktion mit geschlossenem Regelkreis in der linken Hälfte der Ebene befinden. Die Pole der Übertragungsfunktion mit geschlossenem Regelkreis sind also nichts anderes als die Wurzeln der charakteristischen Gleichung. Mit zunehmender Reihenfolge der charakteristischen Gleichung ist es schwierig, die Wurzeln zu finden. Korrelieren wir also diese Wurzeln der charakteristischen Gleichung wie folgt.
Die Pole der charakteristischen Gleichung sind die gleichen wie die der Pole der Übertragungsfunktion mit offener Schleife.
Die Nullen der charakteristischen Gleichung sind die gleichen wie die der Pole der Übertragungsfunktion mit geschlossenem Regelkreis.
Wir wissen, dass das Steuerungssystem mit offenem Regelkreis stabil ist, wenn sich in der rechten Hälfte der Ebene kein offener Pol befindet.
dh$P=0 \Rightarrow N=-Z$
We know that the closed loop control system is stable if there is no closed loop pole in the right half of the ‘s’ plane.
i.e.,$Z=0 \Rightarrow N=P$
Nyquist stability criteriongibt an, dass die Anzahl der Einkreisungen um den kritischen Punkt (1 + j0) gleich den Polen der charakteristischen Gleichung sein muss, die nichts anderes als die Pole der Übertragungsfunktion mit offener Schleife in der rechten Hälfte der 's'-Ebene sind. Die Verschiebung des Ursprungs nach (1 + j0) ergibt die charakteristische Gleichungsebene.
Regeln zum Zeichnen von Nyquist-Plots
Befolgen Sie diese Regeln zum Zeichnen der Nyquist-Diagramme.
Suchen Sie die Pole und Nullen der Übertragungsfunktion mit offener Schleife $G(s)H(s)$ in 's' Flugzeug.
Zeichnen Sie das Polardiagramm durch Variieren $\omega$von null bis unendlich. Wenn Pol oder Null bei s = 0 vorhanden sind, dann variieren$\omega$ von 0+ bis unendlich zum Zeichnen des Polardiagramms.
Zeichnen Sie das Spiegelbild des obigen Polardiagramms für Werte von $\omega$im Bereich von −∞ bis Null (0 - wenn bei s = 0 ein Pol oder eine Null vorhanden ist).
Die Anzahl der Halbkreise mit unendlichem Radius entspricht der Anzahl der Pole oder Nullen am Ursprung. Der Halbkreis mit unendlichem Radius beginnt an dem Punkt, an dem das Spiegelbild des Polardiagramms endet. Und dieser Halbkreis mit unendlichem Radius endet an dem Punkt, an dem die Polarkurve beginnt.
Nach dem Zeichnen des Nyquist-Diagramms können wir die Stabilität des Regelungssystems anhand des Nyquist-Stabilitätskriteriums ermitteln. Liegt der kritische Punkt (-1 + j0) außerhalb der Einkreisung, ist das Regelungssystem absolut stabil.
Stabilitätsanalyse mit Nyquist-Plots
Anhand der Nyquist-Diagramme können wir anhand der Werte dieser Parameter erkennen, ob das Steuerungssystem stabil, geringfügig stabil oder instabil ist.
- Verstärkungsübergangsfrequenz und Phasenübergangsfrequenz
- Gewinnspanne und Phasenrand
Phasenübergangsfrequenz
Die Frequenz, mit der das Nyquist-Diagramm die negative reelle Achse schneidet (Phasenwinkel ist 180 0 ), wird als bezeichnetphase cross over frequency. Es wird mit bezeichnet$\omega_{pc}$.
Überkreuzen Sie die Frequenz
Die Frequenz, mit der das Nyquist-Diagramm die Größe Eins hat, wird als bezeichnet gain cross over frequency. Es wird mit bezeichnet$\omega_{gc}$.
Die Stabilität des Steuersystems basierend auf der Beziehung zwischen der Phasenübergangsfrequenz und der Verstärkungsübergangsfrequenz ist nachstehend aufgeführt.
Wenn die Phase Frequenz überschreitet $\omega_{pc}$ ist größer als die Verstärkungsübergangsfrequenz $\omega_{gc}$, dann ist das Steuerungssystem stable.
Wenn die Phase Frequenz überschreitet $\omega_{pc}$ ist gleich der Verstärkungsübergangsfrequenz $\omega_{gc}$, dann ist das Steuerungssystem marginally stable.
Wenn Phasenübergangsfrequenz $\omega_{pc}$ ist kleiner als die Überkreuzungsfrequenz der Verstärkung $\omega_{gc}$, dann ist das Steuerungssystem unstable.
Gewinnspanne
Die Gewinnspanne $GM$ ist gleich dem Kehrwert der Größe des Nyquist-Diagramms bei der Phasenübergangsfrequenz.
$$GM=\frac{1}{M_{pc}}$$
Wo, $M_{pc}$ ist die Größe im Normalmaßstab bei der Phasenübergangsfrequenz.
Phasenrand
Der Phasenrand $PM$ist gleich der Summe von 180 0 und dem Phasenwinkel bei der Überkreuzungsfrequenz der Verstärkung.
$$PM=180^0+\phi_{gc}$$
Wo, $\phi_{gc}$ ist der Phasenwinkel bei der Überkreuzungsfrequenz der Verstärkung.
Die Stabilität des Steuersystems basierend auf der Beziehung zwischen der Verstärkungsspanne und der Phasenspanne ist unten aufgeführt.
Wenn die Gewinnspanne $GM$ ist größer als eins und der Phasenabstand $PM$ ist positiv, dann ist das Steuerungssystem stable.
Wenn die Gewinnspanne $GM$ ist gleich eins und der Phasenrand $PM$ ist null Grad, dann ist das Steuersystem marginally stable.
Wenn die Gewinnspanne $GM$ ist kleiner als eins und / oder der Phasenabstand $PM$ negativ ist, dann ist das Steuerungssystem unstable.
Es gibt drei Arten von Kompensatoren: Lag-, Lead- und Lag-Lead-Kompensatoren. Diese werden am häufigsten verwendet.
Verzögerungskompensator
Der Verzögerungskompensator ist ein elektrisches Netzwerk, das einen sinusförmigen Ausgang mit der Phasenverzögerung erzeugt, wenn ein sinusförmiger Eingang angelegt wird. Die Verzögerungskompensatorschaltung im Bereich 's' ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Hier liegt der Kondensator in Reihe mit dem Widerstand $R_2$ und die Ausgabe wird über diese Kombination gemessen.
Die Übertragungsfunktion dieses Verzögerungskompensators ist -
$$\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{1}{\alpha} \left( \frac{s+\frac{1}{\tau}}{s+\frac{1}{\alpha\tau}} \right )$$
Wo,
$$\tau=R_2C$$
$$\alpha=\frac{R_1+R_2}{R_2}$$
Aus der obigen Gleichung ergibt sich $\alpha$ ist immer größer als eins.
Aus der Übertragungsfunktion können wir schließen, dass der Verzögerungskompensator einen Pol hat $s = − \frac{1}{\alpha \tau}$ und eine Null bei $s = −\frac{1}{\tau}$. Dies bedeutet, dass der Pol in der Pol-Null-Konfiguration des Verzögerungskompensators näher am Ursprung liegt.
Ersatz, $s = j\omega$ in der Übertragungsfunktion.
$$\frac{V_o(j\omega)}{V_i(j\omega)}=\frac{1}{\alpha}\left( \frac{j\omega+\frac{1}{\tau}}{j\omega+\frac{1}{\alpha\tau}}\right )$$
Phasenwinkel $\phi = \tan^{−1} \omega\tau − tan^{−1} \alpha\omega\tau$
Wir wissen, dass die Phase des sinusförmigen Ausgangssignals gleich der Summe der Phasenwinkel des sinusförmigen Eingangssignals und der Übertragungsfunktion ist.
Um die Phasenverzögerung am Ausgang dieses Kompensators zu erzeugen, sollte der Phasenwinkel der Übertragungsfunktion negativ sein. Dies wird passieren, wenn$\alpha > 1$.
Bleikompensator
Der Leitungskompensator ist ein elektrisches Netzwerk, das einen sinusförmigen Ausgang mit Phasenleitung erzeugt, wenn ein sinusförmiger Eingang angelegt wird. Die Leitungskompensatorschaltung im Bereich 's' ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Hier ist der Kondensator parallel zum Widerstand $R_1$ und der Ausgang wird über dem Widerstand $ R_2 gemessen.
Die Übertragungsfunktion dieses Bleikompensators ist -
$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ beta \ left (\ frac {s \ tau + 1} {\ beta s \ tau + 1} \ right) $$
Wo,
$$ \ tau = R_1C $$
$$ \ beta = \ frac {R_2} {R_1 + R_2} $$
Aus der Übertragungsfunktion können wir schließen, dass der Bleikompensator einen Pol bei $ s = - \ frac {1} {\ beta} hat.$ and zero at $s = - \ frac {1} {\ beta \ tau} $.
Ersetzen Sie $ s = j \ omega $ in der Übertragungsfunktion.
$$ \ frac {V_o (j \ omega)} {V_i (j \ omega)} = \ beta \ left (\ frac {j \ omega \ tau + 1} {\ beta j \ omega \ tau + 1} \ right ) $$
Phasenwinkel $ \ phi = tan ^ {- 1} \ omega \ tau - tan ^ {- 1} \ beta \ omega \ tau $
Wir wissen, dass die Phase des sinusförmigen Ausgangssignals gleich der Summe der Phasenwinkel des sinusförmigen Eingangssignals und der Übertragungsfunktion ist.
Um die Phasenleitung am Ausgang dieses Kompensators zu erzeugen, sollte der Phasenwinkel der Übertragungsfunktion positiv sein. Dies geschieht, wenn $ 0 <\ beta <1 $. Daher ist Null in der Pol-Null-Konfiguration des Leitungskompensators näher am Ursprung.
Lag-Lead-Kompensator
Der Lag-Lead-Kompensator ist ein elektrisches Netzwerk, das eine Phasenverzögerung in einem Frequenzbereich und eine Phasenleitung in einem anderen Frequenzbereich erzeugt. Es ist eine Kombination aus Verzögerungs- und Leitungskompensatoren. Die Verzögerungsleitungskompensatorschaltung im Bereich 's' ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Diese Schaltung sieht so aus, als wären beide Kompensatoren kaskadiert. Die Übertragungsfunktion dieser Schaltung ist also das Produkt der Übertragungsfunktionen der Leitungs- und Verzögerungskompensatoren.
$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ beta \ left (\ frac {s \ tau_1 + 1} {\ beta s \ tau_1 + 1} \ right) \ frac {1} {\ alpha} \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_2}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau_2}} \ right) $$
Wir kennen $ \ alpha \ beta = 1 $.
$$ \ Rightarrow \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_1}} {s + \ frac {1} {\ beta \ tau_1}} \ rechts) \ links (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_2}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau_2}} \ rechts) $$
Wo,
$$ \ tau_1 = R_1C_1 $$
$$ \ tau_2 = R_2C_2 $$
Die verschiedenen Arten von Steuerungen werden verwendet, um die Leistung von Steuerungssystemen zu verbessern. In diesem Kapitel werden die grundlegenden Regler wie die Proportional-, die Ableitungs- und die Integralregler erläutert.
Proportionalregler
Der Proportionalregler erzeugt einen Ausgang, der proportional zum Fehlersignal ist.
$$ u (t) \ propto e (t) $$
$$ \ Rightarrow u (t) = K_P e (t) $$
Wenden Sie die Laplace-Transformation auf beiden Seiten an -
$$ U (s) = K_P E (s) $$
$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_P $$
Daher ist die Übertragungsfunktion des Proportionalreglers $ K_P $.
Wo,
U (s) ist die Laplace-Transformation des Betätigungssignals u (t)
E (s) ist die Laplace-Transformation des Fehlersignals e (t)
K P ist die Proportionalitätskonstante
Das Blockschaltbild des Regelungssystems mit negativer Rückkopplung der Einheit zusammen mit dem Proportionalregler ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Der Proportionalregler wird verwendet, um das Einschwingverhalten gemäß den Anforderungen zu ändern.
Derivative Controller
Der Ableitungsregler erzeugt einen Ausgang, der vom Fehlersignal abgeleitet ist.
$$ u (t) = K_D \ frac {\ text {d} e (t)} {\ text {d} t} $$
Wenden Sie die Laplace-Transformation auf beiden Seiten an.
$$ U (s) = K_D sE (s) $$
$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_D s $$
Daher ist die Übertragungsfunktion des Ableitungsreglers $ K_D s $.
Dabei ist $ K_D $ die Ableitungskonstante.
Das Blockschaltbild des Regelungssystems mit negativer Rückkopplung der Einheit und der Ableitungssteuerung ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Der Ableitungsregler wird verwendet, um das instabile Steuersystem in ein stabiles zu verwandeln.
Integrierter Controller
Der Integralregler erzeugt einen Ausgang, der Integral des Fehlersignals ist.
$$ u (t) = K_I \ int e (t) dt $$
Wenden Sie die Laplace-Transformation auf beiden Seiten an -
$$ U (s) = \ frac {K_I E (s)} {s} $$
$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = \ frac {K_I} {s} $$
Daher ist die Übertragungsfunktion des Integralreglers $ \ frac {K_I} {s} $.
Wobei $ K_I $ die Integralkonstante ist.
Das Blockschaltbild des Regelungssystems mit negativer Rückkopplung der Einheit und der integrierten Steuerung ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Der integrierte Regler wird verwendet, um den stationären Fehler zu verringern.
Lassen Sie uns nun über die Kombination der Basissteuerungen diskutieren.
Proportional Derivative (PD) Controller
Der Proportional-Ableitungsregler erzeugt einen Ausgang, der die Kombination der Ausgänge von Proportional- und Ableitungsreglern ist.
$$ u (t) = K_Pe (t) + K_D \ frac {\ text {d} e (t)} {\ text {d} t} $$
Laplace-Transformation auf beiden Seiten anwenden -
$$ U (s) = (K_P + K_D s) E (s) $$
$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_P + K_D s $$
Daher ist die Übertragungsfunktion des Proportionalableitungsreglers $ K_P + K_D s $.
Das Blockschaltbild des Regelungssystems mit negativer Rückkopplung der Einheit und der Proportionalableitungssteuerung ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Der Proportionalableitungsregler wird verwendet, um die Stabilität des Steuersystems zu verbessern, ohne den stationären Fehler zu beeinflussen.
Proportional Integral (PI) Regler
Der Proportional-Integralregler erzeugt einen Ausgang, bei dem es sich um die Kombination der Ausgänge des Proportional- und des Integralreglers handelt.
$$ u (t) = K_Pe (t) + K_I \ inte (t) dt $$
Laplace-Transformation auf beiden Seiten anwenden -
$$ U (s) = \ left (K_P + \ frac {K_I} {s} \ right) E (s) $$
$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_P + \ frac {K_I} {s} $$
Daher ist die Übertragungsfunktion des Proportional-Integral-Reglers $ K_P + \ frac {K_I} {s} $.
Das Blockschaltbild des Regelungssystems mit negativer Rückkopplung der Einheit und der Proportional-Integral-Steuerung ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Der Proportional-Integralregler wird verwendet, um den stationären Fehler zu verringern, ohne die Stabilität des Steuerungssystems zu beeinträchtigen.
PID-Regler (Proportional Integral Derivative)
Der Proportional-Integral-Ableitungsregler erzeugt einen Ausgang, der die Kombination der Ausgänge von Proportional-, Integral- und Ableitungsreglern ist.
$$ u (t) = K_Pe (t) + K_I \ inte (t) dt + K_D \ frac {\ text {d} e (t)} {\ text {d} t} $$
Laplace-Transformation auf beiden Seiten anwenden -
$$ U (s) = \ left (K_P + \ frac {K_I} {s} + K_D s \ right) E (s) $$
$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_P + \ frac {K_I} {s} + K_D s $$
Daher ist die Übertragungsfunktion des Proportional-Integral-Ableitungsreglers $ K_P + \ frac {K_I} {s} + K_D s $.
Das Blockschaltbild des Regelungssystems mit negativer Rückkopplung der Einheit und des Reglers mit proportionaler integraler Ableitung ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Der Proportional-Integral-Ableitungsregler wird verwendet, um die Stabilität des Steuersystems zu verbessern und den stationären Fehler zu verringern.
Das state space model des linearen zeitinvarianten (LTI) Systems kann dargestellt werden als:
$$ \ dot {X} = AX + BU $$
$$ Y = CX + DU $$
Die erste und die zweite Gleichung sind als Zustandsgleichung bzw. Ausgangsgleichung bekannt.
Wo,
X und $ \ dot {X} $ sind der Zustandsvektor bzw. der Differentialzustandsvektor.
U und Y sind Eingabevektor bzw. Ausgabevektor.
A ist die Systemmatrix.
B und C sind die Eingangs- und Ausgangsmatrizen.
D ist die Feed-Forward-Matrix.
Grundlegende Konzepte des Zustandsraummodells
Die folgende grundlegende Terminologie in diesem Kapitel.
Zustand
Es handelt sich um eine Gruppe von Variablen, die den Verlauf des Systems zusammenfasst, um die zukünftigen Werte (Ausgaben) vorherzusagen.
Zustandsvariable
Die Anzahl der erforderlichen Zustandsvariablen entspricht der Anzahl der im System vorhandenen Speicherelemente.
Examples - Strom fließt durch Induktivität, Spannung über Kondensator
Zustandsvektor
Es ist ein Vektor, der die Zustandsvariablen als Elemente enthält.
In den früheren Kapiteln haben wir zwei mathematische Modelle der Steuerungssysteme diskutiert. Dies sind das Differentialgleichungsmodell und das Übertragungsfunktionsmodell. Das Zustandsraummodell kann aus einem dieser beiden mathematischen Modelle erhalten werden. Lassen Sie uns nun diese beiden Methoden einzeln diskutieren.
Zustandsraummodell aus Differentialgleichung
Betrachten Sie die folgende Reihe der RLC-Schaltung. Es hat eine Eingangsspannung, $ v_i (t)$ and the current flowing through the circuit is $i (t) $.
In dieser Schaltung befinden sich zwei Speicherelemente (Induktor und Kondensator). Die Anzahl der Zustandsvariablen ist also gleich zwei und diese Zustandsvariablen sind der Strom, der durch die Induktivität fließt, $ i (t)$ and the voltage across capacitor, $v_c (t) $.
Von der Schaltung ist die Ausgangsspannung $ v_0 (t)$ is equal to the voltage across capacitor, $v_c (t) $.
$$ v_0 (t) = v_c (t) $$
Wenden Sie KVL um die Schleife an.
$$ v_i (t) = Ri (t) + L \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} + v_c (t) $$
$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} = - \ frac {Ri (t)} {L} - \ frac {v_c (t)} {L} + \ frac {v_i (t)} {L} $$
Die Spannung am Kondensator beträgt -
$$ v_c (t) = \ frac {1} {C} \ int i (t) dt $$
Unterscheiden Sie die obige Gleichung in Bezug auf die Zeit.
$$ \ frac {\ text {d} v_c (t)} {\ text {d} t} = \ frac {i (t)} {C} $$
Zustandsvektor $ X = \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $
Differentialzustandsvektor, $ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t )} {\ text {d} t} \ end {bmatrix} $
Wir können die Differentialgleichungen und die Ausgabegleichung in die Standardform des Zustandsraummodells einordnen als:
$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t)} { \ text {d} t} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } v_i (t) \ end {bmatrix} $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $$
Wo,
$$ A = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix}, \: B = \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix}, \: C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \: und \: D = \ begin {bmatrix } 0 \ end {bmatrix} $$
Zustandsraummodell aus der Übertragungsfunktion
Betrachten Sie die beiden Arten von Übertragungsfunktionen basierend auf der Art der im Zähler vorhandenen Begriffe.
- Übertragungsfunktion mit konstantem Term im Zähler.
- Übertragungsfunktion mit der Polynomfunktion 's' im Zähler.
Übertragungsfunktion mit konstantem Term im Zähler
Betrachten Sie die folgende Übertragungsfunktion eines Systems
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1s + a_0} $ $
Ordnen Sie die obige Gleichung als neu an
$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) Y (s) = b_0 U (s) $$
Wenden Sie die inverse Laplace-Transformation auf beiden Seiten an.
$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} + a_0y (t) = b_0 u (t) $$
Lassen
$$ y (t) = x_1 $$
$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$
$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$
$$. $$
$$. $$
$$. $$
$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $
$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$
und $ u (t) = u $
Dann,
$$ \ dot {x} _n + a_ {n-1} x_n + ... + a_1x_2 + a_0x_1 = b_0 u $$
Aus der obigen Gleichung können wir die folgende Zustandsgleichung schreiben.
$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + b_0 u $$
Die Ausgabegleichung lautet -
$$ y (t) = y = x_1 $$
Das Zustandsraummodell ist -
$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $
$$ = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dotso & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ dotso & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dotso & 0 & 1 \\ - a_0 & -a_1 & -a_2 & \ dotso & -a_ {n-2} & -a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$
Hier ist $ D = \ left [0 \ right]. $
Beispiel
Suchen Sie das Zustandsraummodell für das System mit Übertragungsfunktion.
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$
Ordnen Sie die obige Gleichung neu an als,
$$ (s ^ 2 + s + 1) Y (s) = U (s) $$
Wenden Sie die inverse Laplace-Transformation auf beiden Seiten an.
$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} + \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} + y (t) = u (t) $$
Lassen
$$ y (t) = x_1 $$
$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$
und $ u (t) = u $
Dann ist die Zustandsgleichung
$$ \ dot {x} _2 = -x_1-x_2 + u $$
Die Ausgangsgleichung lautet
$$ y (t) = y = x_1 $$
Das Zustandsraummodell ist
$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & -1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ left [u \ right] $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$
Übertragungsfunktion mit der Polynomfunktion 's' im Zähler
Betrachten Sie die folgende Übertragungsfunktion eines Systems
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} \ rechts) (b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) $$
Die obige Gleichung liegt in Form eines Produkts von Übertragungsfunktionen von zwei Blöcken vor, die kaskadiert sind.
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {V (s)} {U (s)} \ right) \ left (\ frac {Y (s)} {V. (s)} \ right) $$
Hier,
$$ \ frac {V (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$
Ordnen Sie die obige Gleichung als neu an
$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) V (s) = U (s) $$
Wenden Sie die inverse Laplace-Transformation auf beiden Seiten an.
$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v (t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} v (t)} {\ text {d} t} + a_0v (t) = u (t) $$
Lassen
$$ v (t) = x_1 $$
$$ \ frac {\ text {d} v ((t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$
$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$
$$. $$
$$. $$
$$. $$
$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $
$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$
und $ u (t) = u $
Dann ist die Zustandsgleichung
$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u $$
Erwägen,
$$ \ frac {Y (s)} {V (s)} = b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0 $$
Ordnen Sie die obige Gleichung als neu an
$$ Y (s) = (b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) V (s) $$
Wenden Sie die inverse Laplace-Transformation auf beiden Seiten an.
$$ y (t) = b_n \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} + b_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n -1} v (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + b_1 \ frac {\ text {d} v (t)} {\ text {d} t} + b_0v (t) $$
Durch Ersetzen der Zustandsvariablen und $ y (t) = y $ in der obigen Gleichung wird die Ausgabegleichung wie folgt erhalten:
$$ y = b_n \ dot {x} _n + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$
Ersetzen Sie den Wert $ \ dot {x} _n $ in der obigen Gleichung.
$$ y = b_n (-a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u) + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$
$$ y = (b_0-b_na_0) x_1 + (b_1-b_na_1) x_2 + ... + (b_ {n-1} -b_na_ {n-1}) x_n + b_n u $$
Das Zustandsraummodell ist
$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $
$$ = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dotso & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ dotso & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dotso & 0 & 1 \\ - a_0 & -a_1 & -a_2 & \ dotso & -a_ {n-2} & -a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$
$$ Y = [b_0-b_na_0 \ quad b_1-b_na_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} -b_na_ {n-2} \ quad b_ {n-1} -b_na_ {n-1}] \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$
Wenn $ b_n = 0 $ ist, dann
$$ Y = [b_0 \ quad b_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} \ quad b_ {n-1}] \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n- 1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$
Im vorherigen Kapitel haben wir gelernt, wie man das Zustandsraummodell aus Differentialgleichung und Übertragungsfunktion erhält. Lassen Sie uns in diesem Kapitel diskutieren, wie Sie eine Übertragungsfunktion aus dem Zustandsraummodell erhalten.
Übertragungsfunktion aus dem Zustandsraummodell
Wir wissen, dass das Zustandsraummodell eines linearen zeitinvarianten (LTI) Systems -
$$ \ dot {X} = AX + BU $$
$$ Y = CX + DU $$
Wenden Sie die Laplace-Transformation auf beiden Seiten der Zustandsgleichung an.
$$ sX (s) = AX (s) + BU (s) $$
$$ \ Rightarrow (sI-A) X (s) = BU (s) $$
$$ \ Rightarrow X (s) = (sI-A) ^ {- 1} BU (s) $$
Wenden Sie die Laplace-Transformation auf beiden Seiten der Ausgabegleichung an.
$$ Y (s) = CX (s) + DU (s) $$
Ersetzen Sie den X (s) -Wert in der obigen Gleichung.
$$ \ Rightarrow Y (s) = C (sI-A) ^ {- 1} BU (s) + DU (s) $$
$$ \ Rightarrow Y (s) = [C (sI-A) ^ {- 1} B + D] U (s) $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B + D $$
Die obige Gleichung repräsentiert die Übertragungsfunktion des Systems. Wir können also die Übertragungsfunktion des Systems berechnen, indem wir diese Formel für das im Zustandsraummodell dargestellte System verwenden.
Note - Wenn $ D = [0] $ ist, ist die Übertragungsfunktion
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B $$
Example
Berechnen wir die Übertragungsfunktion des im Zustandsraummodell dargestellten Systems als:
$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$
Hier,
$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ quad und \ quad D = [0] $$
Die Formel für die Übertragungsfunktion bei $ D = [0] $ lautet -
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B $$
Ersetzen Sie die A-, B & C-Matrizen in der obigen Gleichung.
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s + 1 & 1 \\ - 1 & s \ end {bmatrix } ^ {- 1} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ frac {\ begin {bmatrix} s & -1 \\ 1 & s + 1 \ end {bmatrix}} {(s + 1) s-1 (-1)} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s \\ 1 \ end {bmatrix}} {s ^ 2 + s + 1} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$
Daher ist die Übertragungsfunktion des Systems für das gegebene Zustandsraummodell
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$
Zustandsübergangsmatrix und ihre Eigenschaften
Wenn das System Anfangsbedingungen hat, erzeugt es eine Ausgabe. Da diese Ausgabe auch ohne Eingabe vorhanden ist, wird sie aufgerufenzero input response$ x_ {ZIR} (t) $. Mathematisch können wir es schreiben als,
$$ x_ {ZIR} (t) = e ^ {At} X (0) = L ^ {- 1} \ left \ {\ left [sI-A \ right] ^ {- 1} X (0) \ right \} $$
Aus der obigen Beziehung können wir die Zustandsübergangsmatrix $ \ phi (t) $ as schreiben
$$ \ phi (t) = e ^ {At} = L ^ {- 1} [sI-A] ^ {- 1} $$
Die Null-Eingangsantwort kann also erhalten werden, indem die Zustandsübergangsmatrix $ \ phi (t) $ mit der Anfangsbedingungsmatrix multipliziert wird.
Es folgen die Eigenschaften der Zustandsübergangsmatrix.
Wenn $ t = 0 $ ist, ist die Zustandsübergangsmatrix gleich einer Identitätsmatrix.
$$ \ phi (0) = I $$
Die Umkehrung der Zustandsübergangsmatrix ist dieselbe wie die der Zustandsübergangsmatrix, nur indem 't' durch '-t' ersetzt wird.
$$ \ phi ^ {- 1} (t) = \ phi (−t) $$
Wenn $ t = t_1 + t_2$ , then the corresponding state transition matrix is equal to the multiplication of the two state transition matrices at $t = t_1$ and $t = t_2 $.
$$ \ phi (t_1 + t_2) = \ phi (t_1) \ phi (t_2) $$
Kontrollierbarkeit und Beobachtbarkeit
Lassen Sie uns nun die Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit des Steuerungssystems nacheinander diskutieren.
Kontrollierbarkeit
Ein Steuerungssystem soll sein controllable wenn die Anfangszustände des Steuersystems durch eine gesteuerte Eingabe in endlicher Zeitdauer in einige andere gewünschte Zustände übertragen (geändert) werden.
Wir können die Steuerbarkeit eines Steuerungssystems mithilfe von überprüfen Kalman’s test.
Schreiben Sie die Matrix $ Q_c $ in der folgenden Form.
$$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ quad A ^ 2B \ quad ... \ quad A ^ {n-1} B \ right] $$
Finden Sie die Determinante der Matrix $ Q_c $ und wenn sie nicht gleich Null ist, ist das Steuersystem steuerbar.
Beobachtbarkeit
Ein Steuerungssystem soll sein observable wenn es in der Lage ist, die Anfangszustände des Steuerungssystems durch Beobachten der Ausgänge in endlicher Zeitdauer zu bestimmen.
Wir können die Beobachtbarkeit eines Steuerungssystems mithilfe von überprüfen Kalman’s test.
Schreiben Sie die Matrix $ Q_o $ in folgender Form.
$$ Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ quad (A ^ T) ^ 2C ^ T \ quad ... \ quad (A ^ T) ^ {n-1} C ^ T \ richtig] $$
Finden Sie die Determinante der Matrix $ Q_o $ und wenn sie nicht gleich Null ist, ist das Steuerungssystem beobachtbar.
Example
Lassen Sie uns die Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit eines Steuerungssystems überprüfen, das im Zustandsraummodell dargestellt ist als:
$$ \ dot {x} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$
Hier,
$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad \ begin {bmatrix } 0 & 1 \ end {bmatrix}, D = [0] \ quad und \ quad n = 2 $$
Für $ n = 2$, the matrix $Q_c $ wird sein
$$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ right] $$
Wir erhalten das Produkt der Matrizen A und B als,
$$ AB = \ begin {bmatrix} -1 \\ 1 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow Q_c = \ begin {bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} $$
$$ | Q_c | = 1 \ neq 0 $$
Da die Determinante der Matrix $ Q_c $ nicht gleich Null ist, ist das gegebene Steuersystem steuerbar.
Für $ n = 2$, the matrix $Q_o $ wird -
$$ Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ right] $$
Hier,
$$ A ^ T = \ begin {bmatrix} -1 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {bmatrix} \ quad und \ quad C ^ T = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} $ $
Wir erhalten das Produkt der Matrizen $ A ^ T.$ and $C ^ T $ as
$$ A ^ TC ^ T = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow Q_o = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow | Q_o | = -1 \ quad \ neq 0 $$
Da die Determinante der Matrix $ Q_o $ nicht gleich Null ist, ist das gegebene Steuersystem beobachtbar.
Daher ist das gegebene Steuersystem sowohl steuerbar als auch beobachtbar.