Steuerungssysteme - Steady-State-Fehler
Die Abweichung des Ausgangs des Steuersystems von der gewünschten Reaktion im stationären Zustand ist bekannt als steady state error. Es wird als $ e_ {ss} $ dargestellt. Wir können den stationären Fehler unter Verwendung des Endwertsatzes wie folgt finden.
$$ e_ {ss} = \ lim_ {t \ to \ infty} e (t) = \ lim_ {s \ to 0} sE (s) $$
Wo,
E (s) ist die Laplace-Transformation des Fehlersignals $ e (t) $
Lassen Sie uns diskutieren, wie nacheinander stationäre Fehler für Einheitsrückkopplungs- und Nicht-Einheitsrückkopplungssteuersysteme gefunden werden.
Steady-State-Fehler für Unity-Feedback-Systeme
Betrachten Sie das folgende Blockdiagramm eines Regelungssystems mit einer negativen Rückkopplung von eins.
Wo,
- R (s) ist die Laplace-Transformation des Referenz-Eingangssignals $ r (t) $
- C (s) ist die Laplace-Transformation des Ausgangssignals $ c (t) $
Wir kennen die Übertragungsfunktion des Regelungssystems mit negativer Rückkopplung der Einheit als
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$
$$ \ Rightarrow C (s) = \ frac {R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$
Die Ausgabe des Summierpunktes ist -
$$ E (s) = R (s) -C (s) $$
Ersetzen Sie den Wert $ C (s) $ in der obigen Gleichung.
$$ E (s) = R (s) - \ frac {R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$
$$ \ Rightarrow E (s) = \ frac {R (s) + R (s) G (s) -R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$
$$ \ Rightarrow E (s) = \ frac {R (s)} {1 + G (s)} $$
Ersetzen Sie den Wert $ E (s) $ in der stationären Fehlerformel
$$ e_ {ss} = \ lim_ {s \ bis 0} \ frac {sR (s)} {1 + G (s)} $$
Die folgende Tabelle zeigt die stationären Fehler und die Fehlerkonstanten für Standardeingangssignale wie Einheitsschritt, Einheitsrampe und Einheitsparabelsignale.
| Eingangssignal | Steady-State-Fehler $ e_ {ss} $ | Fehlerkonstante |
|---|---|---|
Einheitsschritt-Signal |
$ \ frac {1} {1 + k_p} $ |
$ K_p = \ lim_ {s \ bis 0} G (s) $ |
Rampensignal der Einheit |
$ \ frac {1} {K_v} $ |
$ K_v = \ lim_ {s \ bis 0} sG (s) $ |
Parabolisches Signal der Einheit |
$ \ frac {1} {K_a} $ |
$ K_a = \ lim_ {s \ bis 0} s ^ 2G (s) $ |
Wobei $ K_p $, $ K_v $ und $ K_a $ Positionsfehlerkonstante, Geschwindigkeitsfehlerkonstante bzw. Beschleunigungsfehlerkonstante sind.
Note - Wenn eines der oben genannten Eingangssignale eine andere Amplitude als Eins hat, multiplizieren Sie den entsprechenden stationären Fehler mit dieser Amplitude.
Note- Wir können den stationären Fehler für das Einheitsimpulssignal nicht definieren, da er nur am Ursprung existiert. Daher können wir die Impulsantwort nicht mit der Einheitsimpulseingabe als vergleichent bezeichnet Unendlichkeit.
Beispiel
Finden wir den stationären Fehler für ein Eingangssignal $ r (t) = \ left (5 + 2t + \ frac {t ^ 2} {2} \ right) u (t) $ des negativen Rückkopplungsregelungssystems der Einheit mit $ G. (s) = \ frac {5 (s + 4)} {s ^ 2 (s + 1) (s + 20)} $
Das gegebene Eingangssignal ist eine Kombination aus drei Signalen Schritt, Rampe und Parabol. Die folgende Tabelle zeigt die Fehlerkonstanten und stationären Fehlerwerte für diese drei Signale.
| Eingangssignal | Fehlerkonstante | Steady-State-Fehler |
|---|---|---|
$ r_1 (t) = 5u (t) $ |
$ K_p = \ lim_ {s \ bis 0} G (s) = \ infty $ |
$ e_ {ss1} = \ frac {5} {1 + k_p} = 0 $ |
$ r_2 (t) = 2tu (t) $ |
$ K_v = \ lim_ {s \ bis 0} sG (s) = \ infty $ |
$ e_ {ss2} = \ frac {2} {K_v} = 0 $ |
$ r_3 (t) = \ frac {t ^ 2} {2} u (t) $ |
$ K_a = \ lim_ {s \ bis 0} s ^ 2G (s) = 1 $ |
$ e_ {ss3} = \ frac {1} {k_a} = 1 $ |
Wir erhalten den gesamten stationären Fehler, indem wir die obigen drei stationären Fehler addieren.
$$ e_ {ss} = e_ {ss1} + e_ {ss2} + e_ {ss3} $$
$$ \ Rightarrow e_ {ss} = 0 + 0 + 1 = 1 $$
Daher haben wir den stationären Fehler $ e_ {ss} $ as erhalten 1 für dieses Beispiel.
Steady-State-Fehler für Nicht-Unity-Feedback-Systeme
Betrachten Sie das folgende Blockdiagramm eines Regelungssystems mit negativer Rückkopplung.
Wir können die stationären Fehler nur für die Einheitsrückkopplungssysteme finden. Wir müssen also das Nicht-Einheits-Rückkopplungssystem in ein Einheits-Rückkopplungssystem umwandeln. Fügen Sie dazu einen positiven Rückkopplungspfad von Eins und einen negativen Rückkopplungspfad von Eins in das obige Blockdiagramm ein. Das neue Blockdiagramm sieht wie folgt aus.
Vereinfachen Sie das obige Blockdiagramm, indem Sie die negative Rückkopplung der Einheit unverändert lassen. Das Folgende ist das vereinfachte Blockdiagramm.
Dieses Blockschaltbild ähnelt dem Blockschaltbild des Regelungssystems mit negativer Rückkopplung. Hier hat der einzelne Block die Übertragungsfunktion $ \ frac {G (s)} {1 + G (s) H (s) -G (s)} $ anstelle von $ G (s) $. Sie können jetzt die stationären Fehler berechnen, indem Sie die stationäre Fehlerformel verwenden, die für die negativen Rückkopplungssysteme der Einheit angegeben ist.
Note- Es ist bedeutungslos, die stationären Fehler für instabile Systeme mit geschlossenem Regelkreis zu finden. Daher müssen wir die stationären Fehler nur für stabile Systeme mit geschlossenem Regelkreis berechnen. Dies bedeutet, dass wir prüfen müssen, ob das Steuerungssystem stabil ist oder nicht, bevor wir die stationären Fehler finden. Im nächsten Kapitel werden wir die konzeptbezogene Stabilität diskutieren.