Konstruktion des Wurzelorts
Das root locusist eine grafische Darstellung im S-Bereich und symmetrisch zur realen Achse. Weil die Pole und Nullen der offenen Schleife in der S-Domäne existieren und die Werte entweder als reelle oder als komplexe konjugierte Paare vorliegen. Lassen Sie uns in diesem Kapitel diskutieren, wie der Wurzelort konstruiert (gezeichnet) wird.
Regeln für die Konstruktion des Wurzelorts
Befolgen Sie diese Regeln zum Erstellen eines Root-Locus.
Rule 1 - Suchen Sie die Pole und Nullen der offenen Schleife in der Ebene 's'.
Rule 2 - Finden Sie die Anzahl der Wurzelortzweige.
Wir wissen, dass die Wurzelortverzweigungen an den Polen mit offener Schleife beginnen und an Nullen mit offener Schleife enden. Also die Anzahl der WurzelortzweigeN ist gleich der Anzahl der endlichen Pole mit offener Schleife P oder die Anzahl der endlichen Nullen mit offener Schleife Z, der größere Wert gilt.
Mathematisch können wir die Anzahl der Wurzelortzweige schreiben N wie
$ N = P $ wenn $ P \ geq Z $
$ N = Z $ wenn $ P <Z $
Rule 3 - Identifizieren und zeichnen Sie die real axis root locus branches.
Wenn der Winkel der Übertragungsfunktion mit offener Schleife an einem Punkt ein ungerades Vielfaches von 180 0 ist , befindet sich dieser Punkt am Wurzelort. Wenn auf der linken Seite eines Punktes auf der realen Achse eine ungerade Anzahl von Polen und Nullen mit offener Schleife vorhanden ist, befindet sich dieser Punkt auf dem Wurzelortzweig. Daher ist der Punktzweig, der diese Bedingung erfüllt, die reale Achse des Wurzelortzweigs.
Rule 4 - Finden Sie den Schwerpunkt und den Winkel der Asymptoten.
Wenn $ P = Z $, beginnen alle Wurzelortzweige an endlichen Polen mit offener Schleife und enden an Nullen mit endlicher offener Schleife.
Wenn $ P> Z $, dann beginnt $ Z $ Anzahl der Wurzelortverzweigungen an endlichen offenen Schleifenpolen und endet an endlichen offenen Schleifennullen, und $ P - Z $ Anzahl der Wurzelortverzweigungen beginnt an endlichen offenen Schleifenpolen und endet bei unendlich Nullen mit offener Schleife.
Wenn $ P <Z $, dann beginnt die P-Anzahl der Wurzelortverzweigungen an endlichen offenen Schleifenpolen und endet an endlichen offenen Schleifennullen, und $ Z - P $ Anzahl der Wurzelortverzweigungen beginnt an unendlichen offenen Schleifenpolen und endet an der endlichen offenen Schleife Nullen.
Einige der Wurzelortäste nähern sich also der Unendlichkeit, wenn $ P \ neq Z $. Asymptoten geben die Richtung dieser Wurzelortäste an. Der Schnittpunkt von Asymptoten auf der realen Achse ist bekannt alscentroid.
Wir können das berechnen centroid α unter Verwendung dieser Formel,
$ \ alpha = \ frac {\ sum Real \: Teil \: von \: endlich \: offen \: Schleife \: Pole \: - \ Summe Real \: Teil \: von \: endlich \: offen \: Schleife \ : Nullen} {PZ} $
Die Formel für den Winkel von asymptotes θ ist
$$ \ theta = \ frac {(2q + 1) 180 ^ 0} {PZ} $$
Wo,
$$ q = 0,1,2, ...., (PZ) -1 $$
Rule 5 - Finden Sie die Schnittpunkte von Wurzelortästen mit einer imaginären Achse.
Wir können den Punkt berechnen, an dem der Wurzelortzweig die imaginäre Achse schneidet, und den Wert von K an diesem Punkt mit der Routh-Array-Methode und Special case (ii).
Wenn alle Elemente einer Zeile des Routh-Arrays Null sind, schneidet der Wurzelortzweig die imaginäre Achse und umgekehrt.
Identifizieren Sie die Zeile so, dass die Elemente der gesamten Zeile Null sind, wenn wir das erste Element als Null festlegen. Finden Sie den Wert vonK für diese Kombination.
Ersetzen Sie dies KWert in der Hilfsgleichung. Sie erhalten den Schnittpunkt des Wurzelortzweigs mit einer imaginären Achse.
Rule 6 - Finden Sie Abbruch- und Einbruchspunkte.
Wenn zwischen zwei Polen mit offener Schleife ein Zweig der Wurzelachse der realen Achse existiert, gibt es eine break-away point zwischen diesen beiden offenen Polen.
Wenn zwischen zwei Nullen mit offener Schleife ein Zweig der Wurzelachse der realen Achse existiert, gibt es eine break-in point zwischen diesen beiden offenen Nullen.
Note - Abbruch- und Einlaufpunkte existieren nur auf den Wurzelachsenästen der realen Achse.
Befolgen Sie diese Schritte, um Abbruch- und Einlaufpunkte zu finden.
Schreiben Sie $ K $ in Form von $ s $ aus der charakteristischen Gleichung $ 1 + G (s) H (s) = 0 $.
Differenziere $ K $ in Bezug auf s und mache es gleich Null. Ersetzen Sie diese Werte von $ s $ in der obigen Gleichung.
Die Werte von $ s $, für die der Wert von $ K $ positiv ist, sind die break points.
Rule 7 - Finden Sie den Abflugwinkel und den Ankunftswinkel.
Der Abflugwinkel und der Ankunftswinkel können an komplexen konjugierten Polen mit offener Schleife bzw. an komplexen konjugierten Nullen mit offener Schleife berechnet werden.
Die Formel für die angle of departure $ \ phi_d $ ist
$$ \ phi_d = 180 ^ 0- \ phi $$
Die Formel für die angle of arrival $ \ phi_a $ ist
$$ \ phi_a = 180 ^ 0 + \ phi $$
Wo,
$$ \ phi = \ sum \ phi_P- \ sum \ phi_Z $$
Beispiel
Zeichnen wir nun den Wurzelort des Steuerungssystems mit offener Übertragungsfunktion, $ G (s) H (s) = \ frac {K} {s (s + 1) (s + 5)} $
Step 1- Die gegebene Übertragungsfunktion mit offener Schleife hat drei Pole bei $ s = 0, s = -1 $ und $ s = -5 $. Es hat keine Null. Daher ist die Anzahl der Wurzelortverzweigungen gleich der Anzahl der Pole der Übertragungsfunktion mit offener Schleife.
$$ N = P = 3 $$
Die drei Pole sind in der obigen Abbildung dargestellt. Das Liniensegment zwischen $ s = −1 $ und $ s = 0 $ ist ein Zweig des Wurzelorts auf der realen Achse. Und der andere Zweig des Wurzelorts auf der realen Achse ist das Liniensegment links von $ s = −5 $.
Step 2 - Wir erhalten die Werte des Schwerpunkts und den Winkel der Asymptoten unter Verwendung der angegebenen Formeln.
Schwerpunkt $ \ alpha = −2 $
Der Winkel der Asymptoten beträgt $ \ theta = 60 ^ 0,180 ^ 0 $ und $ 300 ^ 0 $.
Der Schwerpunkt und drei Asymptoten sind in der folgenden Abbildung dargestellt.
Step 3- Da zwei Asymptoten die Winkel $ 60 ^ 0 $ und $ 300 ^ 0 $ haben, schneiden zwei Wurzelortäste die imaginäre Achse. Unter Verwendung der Routh-Array-Methode und des Sonderfalls (ii) schneiden die Wurzelortzweige die imaginäre Achse bei $ j \ sqrt {5} $ und $ −j \ sqrt {5} $.
Zwischen den Polen $ s = −1 $ und $ s = 0 $ befindet sich ein Abreißpunkt auf dem Zweig der Wurzelachse der realen Achse. Wenn Sie das für die Berechnung des Abreißpunkts angegebene Verfahren befolgen, erhalten Sie $ s = −0.473 $.
Das Root-Locus-Diagramm für das angegebene Steuerungssystem ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Auf diese Weise können Sie das Wurzelortdiagramm eines beliebigen Steuerungssystems zeichnen und die Bewegung der Pole der Übertragungsfunktion mit geschlossenem Regelkreis beobachten.
Aus den Wurzelortdiagrammen können wir den Bereich der K-Werte für verschiedene Arten der Dämpfung erkennen.
Auswirkungen des Hinzufügens von Open-Loop-Polen und Nullen auf den Root-Locus
Der Wurzelort kann verschoben werden ‘s’ plane durch Hinzufügen der Pole mit offener Schleife und der Nullen mit offener Schleife.
Wenn wir einen Pol in die Übertragungsfunktion mit offener Schleife aufnehmen, bewegen sich einige der Wurzelortäste in Richtung der rechten Hälfte der Ebene. Aus diesem Grund nimmt das Dämpfungsverhältnis $ \ delta $ ab. Dies bedeutet, dass die gedämpfte Frequenz $ \ omega_d $ zunimmt und die Zeitbereichsspezifikationen wie Verzögerungszeit $ t_d $, Anstiegszeit $ t_r $ und Spitzenzeit $ t_p $ abnehmen. Dies wirkt sich jedoch auf die Systemstabilität aus.
Wenn wir eine Null in die Übertragungsfunktion mit offener Schleife aufnehmen, bewegen sich einige der Wurzelortzweige in Richtung der linken Hälfte der Ebene von 's'. Dies erhöht die Stabilität des Steuerungssystems. In diesem Fall erhöht sich das Dämpfungsverhältnis $ \ delta $. Dies bedeutet, dass die gedämpfte Frequenz $ \ omega_d $ abnimmt und die Zeitbereichsspezifikationen wie Verzögerungszeit $ t_d $, Anstiegszeit $ t_r $ und Spitzenzeit $ t_p $ zunehmen.
Je nach Anforderung können wir also die Pole oder Nullen mit offener Schleife zur Übertragungsfunktion hinzufügen (hinzufügen).