Steuerungssysteme - Nyquist-Diagramme

Nyquist-Diagramme sind die Fortsetzung von Polardiagrammen zum Ermitteln der Stabilität der Regelungssysteme durch Variation von ω von −∞ bis ∞. Das heißt, Nyquist-Diagramme werden verwendet, um den vollständigen Frequenzgang der Übertragungsfunktion mit offener Schleife zu zeichnen.

Nyquist-Stabilitätskriterium

Das Nyquist-Stabilitätskriterium funktioniert auf der principle of argument. Es heißt, wenn es P-Pole gibt und Z-Nullen von dem geschlossenen Pfad der 's'-Ebene eingeschlossen sind, muss die entsprechende $ G (s) H (s) $ -Ebene den Ursprung $ P - Z $ mal umkreisen. Wir können also die Anzahl der Einkreisungen N wie folgt schreiben:

$$ N = PZ $$

• Wenn der geschlossene Pfad der eingeschlossenen Ebene nur Pole enthält, ist die Richtung der Einkreisung in der $ G (s) H (s) $ -Ebene entgegengesetzt zu der Richtung des geschlossenen geschlossenen Pfades in der s-Ebene.

• Wenn der geschlossene Pfad der eingeschlossenen Ebene nur Nullen enthält, ist die Richtung der Einkreisung in der $ G (s) H (s) $ -Ebene in der gleichen Richtung wie die des geschlossenen geschlossenen Pfads in der Ebene 's'. Flugzeug.

Wenden wir nun das Argumentationsprinzip auf die gesamte rechte Hälfte der 's'-Ebene an, indem wir es als geschlossenen Pfad auswählen. Dieser ausgewählte Pfad wird als bezeichnetNyquist Kontur.

Wir wissen, dass das Regelungssystem stabil ist, wenn sich alle Pole der Übertragungsfunktion mit geschlossenem Regelkreis in der linken Hälfte der Ebene befinden. Die Pole der Übertragungsfunktion mit geschlossenem Regelkreis sind also nichts anderes als die Wurzeln der charakteristischen Gleichung. Mit zunehmender Reihenfolge der charakteristischen Gleichung ist es schwierig, die Wurzeln zu finden. Korrelieren wir also diese Wurzeln der charakteristischen Gleichung wie folgt.

• Die Pole der charakteristischen Gleichung sind die gleichen wie die der Pole der Übertragungsfunktion mit offener Schleife.

• Die Nullen der charakteristischen Gleichung sind die gleichen wie die der Pole der Übertragungsfunktion mit geschlossenem Regelkreis.

Wir wissen, dass das Steuerungssystem mit offenem Regelkreis stabil ist, wenn sich in der rechten Hälfte der Ebene kein offener Pol befindet.

dh $ P = 0 \ Rightarrow N = -Z $

Wir wissen, dass das Regelungssystem stabil ist, wenn sich in der rechten Hälfte der Ebene kein geschlossener Pol befindet.

dh $ Z = 0 \ Rightarrow N = P $

Nyquist stability criteriongibt an, dass die Anzahl der Einkreisungen um den kritischen Punkt (1 + j0) gleich den Polen der charakteristischen Gleichung sein muss, die nichts anderes als die Pole der Übertragungsfunktion mit offener Schleife in der rechten Hälfte der Ebene von 's' sind. Die Verschiebung des Ursprungs nach (1 + j0) ergibt die charakteristische Gleichungsebene.

Regeln zum Zeichnen von Nyquist-Plots

Befolgen Sie diese Regeln zum Zeichnen der Nyquist-Diagramme.

• Suchen Sie die Pole und Nullen der Übertragungsfunktion $ G (s) H (s) $ in der Ebene 's'.

• Zeichnen Sie die Polarkurve, indem Sie $ \ omega $ von Null bis unendlich variieren. Wenn bei s = 0 ein Pol oder eine Null vorhanden ist, wird $ \ omega $ von 0+ bis unendlich variiert, um eine Polarkurve zu zeichnen.

• Zeichnen Sie das Spiegelbild des obigen Polardiagramms für Werte von $ \ omega $ im Bereich von −∞ bis Null (0 ^- wenn bei s = 0 ein Pol oder eine Null vorhanden ist).

• Die Anzahl der Halbkreise mit unendlichem Radius entspricht der Anzahl der Pole oder Nullen am Ursprung. Der Halbkreis mit unendlichem Radius beginnt an dem Punkt, an dem das Spiegelbild des Polardiagramms endet. Und dieser Halbkreis mit unendlichem Radius endet an dem Punkt, an dem die Polarkurve beginnt.

Nach dem Zeichnen des Nyquist-Diagramms können wir die Stabilität des Regelungssystems anhand des Nyquist-Stabilitätskriteriums ermitteln. Liegt der kritische Punkt (-1 + j0) außerhalb der Einkreisung, ist das Regelungssystem absolut stabil.

Stabilitätsanalyse mit Nyquist-Plots

Anhand der Nyquist-Diagramme können wir anhand der Werte dieser Parameter erkennen, ob das Steuerungssystem stabil, geringfügig stabil oder instabil ist.

• Verstärkungsübergangsfrequenz und Phasenübergangsfrequenz
• Gewinnspanne und Phasenmarge

Phasenübergangsfrequenz

Die Frequenz, bei der das Nyquist-Diagramm die negative reelle Achse schneidet (Phasenwinkel ist 180 ⁰ ), wird als bezeichnetphase cross over frequency. Es wird mit $ \ omega_ {pc} $ bezeichnet.

Überkreuzen Sie die Frequenz

Die Frequenz, bei der das Nyquist-Diagramm die Größe Eins hat, wird als bezeichnet gain cross over frequency. Es wird mit $ \ omega_ {gc} $ bezeichnet.

Die Stabilität des Steuersystems basierend auf der Beziehung zwischen der Phasenübergangsfrequenz und der Verstärkungsübergangsfrequenz ist nachstehend aufgeführt.

• Wenn die Phasenübergangsfrequenz $ \ omega_ {pc} $ größer ist als die Verstärkungsübergangsfrequenz $ \ omega_ {gc} $, ist das Steuersystem stable.

• Wenn die Phasenübergangsfrequenz $ \ omega_ {pc} $ gleich der Verstärkungsübergangsfrequenz $ \ omega_ {gc} $ ist, ist das Steuersystem marginally stable.

• Wenn die Phasenübergangsfrequenz $ \ omega_ {pc} $ kleiner als die Verstärkungsübergangsfrequenz $ \ omega_ {gc} $ ist, ist das Steuerungssystem unstable.

Gewinnspanne

Die Gewinnspanne $ GM $ ist gleich dem Kehrwert der Größe des Nyquist-Diagramms bei der Phasenübergangsfrequenz.

$$ GM = \ frac {1} {M_ {pc}} $$

Wobei $ M_ {pc} $ die Größe im Normalmaßstab bei der Phasenübergangsfrequenz ist.

Phasenrand

Der Phasenabstand $ PM $ ist gleich der Summe von 180 ⁰ und dem Phasenwinkel bei der Überkreuzungsfrequenz der Verstärkung.

$$ PM = 180 ^ 0 + \ phi_ {gc} $$

Dabei ist $ \ phi_ {gc} $ der Phasenwinkel bei der Überkreuzungsfrequenz der Verstärkung.

Die Stabilität des Steuersystems basierend auf der Beziehung zwischen der Verstärkungsspanne und der Phasenspanne ist unten aufgeführt.

• Wenn die Gewinnspanne $ GM $ größer als eins ist und die Phasenmarge $ PM $ positiv ist, ist das Kontrollsystem stable.

• Wenn die Gewinnspanne $ GM $ gleich eins ist und die Phasenspanne $ PM $ null Grad beträgt, ist das Steuersystem marginally stable.

• Wenn die Gewinnspanne $ GM $ kleiner als eins ist und / oder die Phasenspanne $ PM $ negativ ist, ist das Kontrollsystem unstable.