Steuerungssysteme - Mathematische Modelle
Die Steuerungssysteme können mit einem Satz mathematischer Gleichungen dargestellt werden, die als bekannt sind mathematical model. Diese Modelle sind nützlich für die Analyse und den Entwurf von Steuerungssystemen. Die Analyse des Steuerungssystems bedeutet, die Ausgabe zu finden, wenn wir die Eingabe und das mathematische Modell kennen. Der Entwurf eines Steuerungssystems bedeutet, das mathematische Modell zu finden, wenn wir die Eingabe und die Ausgabe kennen.
Die folgenden mathematischen Modelle werden meistens verwendet.
- Differentialgleichungsmodell
- Funktionsmodell übertragen
- Zustandsraummodell
Lassen Sie uns die ersten beiden Modelle in diesem Kapitel diskutieren.
Differentialgleichungsmodell
Das Differentialgleichungsmodell ist ein mathematisches Zeitbereichsmodell von Steuerungssystemen. Befolgen Sie diese Schritte für das Differentialgleichungsmodell.
Wenden Sie grundlegende Gesetze auf das gegebene Kontrollsystem an.
Erhalten Sie die Differentialgleichung in Bezug auf Eingabe und Ausgabe, indem Sie die Zwischenvariable (n) entfernen.
Beispiel
Betrachten Sie das folgende elektrische System wie in der folgenden Abbildung gezeigt. Diese Schaltung besteht aus Widerstand, Induktivität und Kondensator. Alle diese elektrischen Elemente sind angeschlossenseries. Die an diese Schaltung angelegte Eingangsspannung beträgt $ v_i $ und die Spannung am Kondensator ist die Ausgangsspannung $ v_o $.
Die Netzgleichung für diese Schaltung lautet
$$ v_i = Ri + L \ frac {\ text {d} i} {\ text {d} t} + v_o $$
Ersetzen Sie den Strom, der durch den Kondensator $ i = c \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} $ in der obigen Gleichung fließt.
$$ \ Rightarrow \: v_i = RC \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + LC \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + v_o $$
$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$
Die obige Gleichung ist eine zweite Ordnung differential equation.
Funktionsmodell übertragen
Das Übertragungsfunktionsmodell ist ein mathematisches S-Domänen-Modell von Steuerungssystemen. DasTransfer function eines linearen zeitinvarianten (LTI) Systems ist definiert als das Verhältnis der Laplace-Transformation der Ausgabe und der Laplace-Transformation der Eingabe unter der Annahme, dass alle Anfangsbedingungen Null sind.
Wenn $ x (t) $ und $ y (t) $ die Eingabe und Ausgabe eines LTI-Systems sind, sind die entsprechenden Laplace-Transformationen $ X (s) $ und $ Y (s) $.
Daher ist die Übertragungsfunktion des LTI-Systems gleich dem Verhältnis von $ Y (s) $ und $ X (s) $.
$$ dh \: Transfer \: Function = \ frac {Y (s)} {X (s)} $$
Das Übertragungsfunktionsmodell eines LTI-Systems ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Hier haben wir ein LTI-System mit einem Block mit Übertragungsfunktion dargestellt. Und dieser Block hat eine Eingabe $ X (s) $ & Ausgabe $ Y (s) $.
Beispiel
Zuvor erhielten wir die Differentialgleichung eines elektrischen Systems als
$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ Text {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$
Wenden Sie die Laplace-Transformation auf beiden Seiten an.
$$ s ^ 2V_o (s) + \ left (\ frac {sR} {L} \ right) V_o (s) + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) V_o (s) = \ left ( \ frac {1} {LC} \ right) V_i (s) $$
$$ \ Rightarrow \ left \ {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC} \ right \} V_o (s) = \ left (\ frac { 1} {LC} \ right) V_i (s) $$
$$ \ Rightarrow \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ frac {\ frac {1} {LC}} {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC}} $$
Wo,
$ v_i (s) $ ist die Laplace-Transformation der Eingangsspannung $ v_i $
$ v_o (s) $ ist die Laplace-Transformation der Ausgangsspannung $ v_o $
Die obige Gleichung ist a transfer functiondes elektrischen Systems zweiter Ordnung. Das Übertragungsfunktionsmodell dieses Systems ist unten gezeigt.
Hier zeigen wir ein elektrisches System zweiter Ordnung mit einem Block, in dem sich die Übertragungsfunktion befindet. Und dieser Block hat einen Eingang $ V_i (s) $ und einen Ausgang $ V_o (s) $.