Mason's Gain Formula
Lassen Sie uns nun die Mason's Gain Formula diskutieren. Angenommen, ein Signalflussdiagramm enthält 'N' Vorwärtspfade. Die Verstärkung zwischen dem Eingangs- und dem Ausgangsknoten eines Signalflussgraphen ist nichts anderes als dietransfer functionvom System. Sie kann mithilfe der Verstärkungsformel von Mason berechnet werden.
Mason’s gain formula is
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ N _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$
Wo,
C(s) ist der Ausgabeknoten
R(s) ist der Eingabeknoten
T ist die Übertragungsfunktion oder der Gewinn zwischen $ R (s) $ und $ C (s) $
Piist die i- te Vorwärtspfadverstärkung
$ \ Delta = 1- (Summe \: von \: all \: individual \: loop \: Gewinn) $
$ + (Summe \: von \: Gewinn \: Produkte \: von \: allen \: möglich \: zwei \: nicht berührenden \: Schleifen) $
$$ - (Summe \: von \: Gewinn \: Produkte \: von \: alle \: möglich \: drei \: Nichtberührung \: Schleifen) + ... $$
Δ i wird durch das Entfernen der Schlingen von Δ erhalten , welche die i berühren th Vorwärtsweg .
Betrachten Sie das folgende Signalflussdiagramm, um die hier verwendete grundlegende Terminologie zu verstehen.
Pfad
Es ist eine Durchquerung von Zweigen von einem Knoten zu einem anderen Knoten in Richtung der Verzweigungspfeile. Es sollte keinen Knoten mehr als einmal durchlaufen.
Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 $ und $ y_5 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $
Vorwärtspfad
Der Pfad, der vom Eingabeknoten zum Ausgabeknoten existiert, ist bekannt als forward path.
Examples - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ und $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.
Vorwärtspfadgewinn
Es wird erhalten, indem das Produkt aller Verzweigungsgewinne des Vorwärtspfades berechnet wird.
Examples - $ abcde $ ist der Vorwärtspfadgewinn von $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ und abge ist der Vorwärtspfadgewinn von $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.
Schleife
Der Pfad, der von einem Knoten beginnt und am selben Knoten endet, ist bekannt als loop. Daher ist es ein geschlossener Weg.
Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ und $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $.
Loop Gain
Es wird erhalten, indem das Produkt aller Verzweigungsverstärkungen einer Schleife berechnet wird.
Examples - $ b_j $ ist die Schleifenverstärkung von $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ und $ g_h $ ist die Schleifenverstärkung von $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $.
Berührungslose Schleifen
Dies sind die Schleifen, die keinen gemeinsamen Knoten haben sollten.
Examples - Die Schleifen $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ und $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ berühren sich nicht.
Berechnung der Übertragungsfunktion unter Verwendung der Mason-Gewinnformel
Betrachten wir das gleiche Signalflussdiagramm zum Auffinden der Übertragungsfunktion.
Anzahl der Vorwärtspfade, N = 2.
Der erste Vorwärtspfad ist - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.
Erster Vorwärtspfadgewinn, $ p_1 = abcde $.
Der zweite Vorwärtspfad ist - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.
Zweiter Vorwärtspfadgewinn, $ p_2 = abge $.
Anzahl der einzelnen Schleifen, L = 5.
Schleifen sind - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ und $ y_5 \ right y_5 $.
Schleifengewinne sind - $ l_1 = bj $, $ l_2 = gh $, $ l_3 = cdh $, $ l_4 = di $ und $ l_5 = f $.
Anzahl von zwei berührungslosen Schleifen = 2.
Das erste nicht berührende Schleifenpaar ist - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $.
Erhalten Sie das Produkt des ersten nicht berührenden Schleifenpaars $ l_1l_4 = bjdi $
Das zweite nicht berührende Schleifenpaar ist - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_5 \ rightarrow y_5 $.
Das Gewinnprodukt des zweiten nicht berührenden Schleifenpaars ist - $ l_1l_5 = bjf $
Eine höhere Anzahl von (mehr als zwei) nicht berührenden Schleifen ist in diesem Signalflussdiagramm nicht vorhanden.
Wir wissen,
$ \ Delta = 1- (Summe \: von \: all \: individual \: loop \: Gewinn) $
$ + (Summe \: von \: Gewinn \: Produkte \: von \: allen \: möglich \: zwei \: nicht berührenden \: Schleifen) $
$$ - (Summe \: von \: Gewinn \: Produkte \: von \: alle \: möglich \: drei \: Nichtberührung \: Schleifen) + ... $$
Ersetzen Sie die Werte in der obigen Gleichung.
$ \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + (bjdi + bjf) - (0) $
$ \ Rightarrow \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf $
Es gibt keine Schleife, die den ersten Vorwärtspfad nicht berührt.
Also ist $ \ Delta_1 = 1 $.
Ebenso ist $ \ Delta_2 = 1 $. Da keine Schleife, die den zweiten Vorwärtspfad nicht berührt.
Ersetzen Sie, N = 2 in Masons Gewinnformel
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ 2 _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {P_1 \ Delta_1 + P_2 \ Delta_2} {\ Delta} $$
Ersetzen Sie alle erforderlichen Werte in der obigen Gleichung.
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) 1+ (abge) 1} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$
$$ \ Rightarrow T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$
Daher ist die Übertragungsfunktion -
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf} $ $