Konvexe und konkave Funktion
Sei $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $, wobei S nicht leer ist, konvex in $ \ mathbb {R} ^ n $ gesetzt, dann wird $ f \ left (x \ right) $ auf S als konvex bezeichnet wenn $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left ( x_2 \ rechts), \ forall \ lambda \ in \ links (0,1 \ rechts) $.
Auf der anderen Seite sei $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $, wobei S nicht leer ist, konvex in $ \ mathbb {R} ^ n $ gesetzt, dann wird $ f \ left (x \ right) $ gesagt auf S konkav sein, wenn $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ geq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) ) f \ left (x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $.
Sei $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $, wobei S nicht leer ist, konvex in $ \ mathbb {R} ^ n $ gesetzt, dann gilt $ f \ left (x \ right) $ als streng konvex auf S. wenn $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <\ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2) \ rechts), \ forall \ lambda \ in \ links (0, 1 \ rechts) $.
Sei $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $, wobei S nicht leer ist, konvex in $ \ mathbb {R} ^ n $ gesetzt, dann soll $ f \ left (x \ right) $ auf S streng konkav sein wenn $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right)> \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2) \ rechts), \ forall \ lambda \ in \ links (0, 1 \ rechts) $.
Beispiele
Eine lineare Funktion ist sowohl konvex als auch konkav.
$ f \ left (x \ right) = \ left | x \ right | $ ist eine konvexe Funktion.
$ f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} $ ist eine konvexe Funktion.
Satz
Sei $ f_1, f_2, ..., f_k: \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} $ konvexe Funktionen. Betrachten Sie die Funktion $ f \ left (x \ right) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {j = 1} ^ k \ alpha_jf_j \ left (x \ right) $, wobei $ \ alpha_j> 0, j = 1, 2 ,. ..k, $ then $ f \ left (x \ right) $ ist eine konvexe Funktion.
Beweis
Da $ f_1, f_2, ... f_k $ konvexe Funktionen sind
Daher ist $ f_i \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f_i \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f_i \ left (x_2 \ rechts), \ forall \ lambda \ in \ links (0, 1 \ rechts) $ und $ i = 1, 2, ...., k $
Betrachten Sie die Funktion $ f \ left (x \ right) $.
Deshalb,
$ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) $
$ = \ Anzeigestil \ Summe \ Grenzen_ {j = 1} ^ k \ alpha_jf_j \ links (\ lambda x_1 + 1- \ lambda \ rechts) x_2 \ leq \ Anzeigestil \ Summe \ Grenzen_ {j = 1} ^ k \ alpha_j \ Lambda f_j \ links (x_1 \ rechts) + \ links (1- \ Lambda \ rechts) f_j \ links (x_2 \ rechts) $
$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda \ left (\ displaystyle \ sum \ limit_ {j = 1} ^ k \ alpha _jf_j \ left ( x_1 \ rechts) \ rechts) + \ links (\ Anzeigestil \ Summe \ Grenzen_ {j = 1} ^ k \ alpha _jf_j \ links (x_2 \ rechts) \ rechts) $
$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_2 \ right) \ leq \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ right) $
Daher ist $ f \ left (x \ right) $ eine konvexe Funktion.
Satz
Sei $ f \ left (x \ right) $ eine konvexe Funktion auf einer konvexen Menge $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $, dann ist ein lokales Minimum von $ f \ left (x \ right) $ auf S a globale Minima.
Beweis
Sei $ \ hat {x} $ ein lokales Minimum für $ f \ left (x \ right) $ und $ \ hat {x} $ ist kein globales Minimum.
Daher existiert $ \ \ hat {x} \ in S $, so dass $ f \ left (\ bar {x} \ right) <f \ left (\ hat {x} \ right) $
Da $ \ hat {x} $ ein lokales Minimum ist, existiert die Nachbarschaft $ N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) $, so dass $ f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (x \ right), \ forall x \ in N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) \ cap S $
Aber $ f \ left (x \ right) $ ist eine konvexe Funktion auf S, daher für $ \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $
Wir haben $ \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} \ leq \ lambda f \ left (\ hat {x} \ right) + \ left (1- \ lambda) \ rechts) f \ links (\ bar {x} \ rechts) $
$ \ Rightarrow \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} <\ lambda f \ left (\ hat {x} \ right) + \ left (1- \ lambda \ rechts) f \ left (\ hat {x} \ right) $
$ \ Rightarrow \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} <f \ left (\ hat {x} \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0) , 1 \ rechts) $
Aber für einige $ \ lambda <1 $, aber nahe 1, haben wir
$ \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} \ in N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) \ cap S $ und $ f \ left ( \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} \ right) <f \ left (\ bar {x} \ right) $
Das ist ein Widerspruch.
Daher ist $ \ bar {x} $ ein globales Minimum.
Epigraph
Sei S eine nicht leere Teilmenge in $ \ mathbb {R} ^ n $ und sei $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $, dann ist das mit epi (f) oder $ E_f $ bezeichnete Epigraph von f eine Teilmenge von $ \ mathbb {R} ^ n + 1 $ definiert durch $ E_f = \ left \ {\ left (x, \ alpha \ right): x \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb { R}, f \ left (x \ right) \ leq \ alpha \ right \} $
Hypograph
Sei S eine nicht leere Teilmenge in $ \ mathbb {R} ^ n $ und sei $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $, dann der mit hyp (f) oder $ H_f = \ left bezeichnete Hypograph von f \ {\ left (x, \ alpha \ right): x \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb {R}, f \ left ( x \ right) \ geq \ alpha \ right \} $
Satz
Sei S eine nicht leere konvexe Menge in $ \ mathbb {R} ^ n $ und sei $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $, dann ist f genau dann konvex, wenn sein Epigraph $ E_f $ ist eine konvexe Menge.
Beweis
Sei f eine konvexe Funktion.
$ E_f $ zu zeigen ist eine konvexe Menge.
Sei $ \ left (x_1, \ alpha_1 \ right), \ left (x_2, \ alpha_2 \ right) \ in E_f, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $
Anzeigen von $ \ lambda \ left (x_1, \ alpha_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) \ left (x_2, \ alpha_2 \ right) \ in E_f $
$ \ Rightarrow \ left [\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2, \ lambda \ alpha_1 + \ left (1- \ lambda \ right) \ alpha_2 \ right] \ in E_f $
$ f \ left (x_1 \ right) \ leq \ alpha _1, f \ left (x_2 \ right) \ leq \ alpha _2 $
Daher ist $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ rechts) $
$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda \ alpha_1 + \ left (1- \ lambda \ right) \ alpha_2 $
Umgekehrt
Sei $ E_f $ eine konvexe Menge.
F zu zeigen ist konvex.
dh um zu zeigen, ob $ x_1, x_2 \ in S, \ lambda \ left (0, 1 \ right) $
$ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ rechts) $
Sei $ x_1, x_2 \ in S, \ lambda \ in \ links (0, 1 \ rechts), f \ links (x_1 \ rechts), f \ links (x_2 \ rechts) \ in \ mathbb {R} $
Da $ E_f $ eine konvexe Menge ist, ist $ \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2, \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) \ rechts) f \ links (x_2 \ rechts) \ in E_f $
Daher ist $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ rechts) $