Konvexe Optimierung - Einführung

Dieser Kurs ist nützlich für Studenten, die nichtlineare Optimierungsprobleme lösen möchten, die in verschiedenen technischen und wissenschaftlichen Anwendungen auftreten. Dieser Kurs beginnt mit der grundlegenden Theorie der linearen Programmierung und führt in die Konzepte konvexer Mengen und Funktionen sowie in verwandte Terminologien ein, um verschiedene Theoreme zu erklären, die zur Lösung der nichtlinearen Programmierprobleme erforderlich sind. In diesem Kurs werden verschiedene Algorithmen vorgestellt, mit denen solche Probleme gelöst werden. Diese Art von Problemen tritt in verschiedenen Anwendungen auf, einschließlich maschinellem Lernen, Optimierungsproblemen in der Elektrotechnik usw. Die Schüler müssen über Vorkenntnisse in Mathematikkonzepten und -berechnungen der High School verfügen.

In diesem Kurs lernen die Schüler, die Optimierungsprobleme wie $ min f \ left (x \ right) $ unter bestimmten Einschränkungen zu lösen.

Diese Probleme sind leicht lösbar, wenn die Funktion $ f \ left (x \ right) $ eine lineare Funktion ist und wenn die Einschränkungen linear sind. Dann spricht man von einem linearen Programmierproblem (LPP). Wenn die Einschränkungen jedoch nicht linear sind, ist es schwierig, das obige Problem zu lösen. Wenn wir die Funktionen nicht in einem Diagramm darstellen können, kann der Versuch, die Optimierung zu analysieren, eine Möglichkeit sein, aber wir können eine Funktion nicht darstellen, wenn sie über drei Dimensionen hinausgeht. Daher gibt es die Techniken der nichtlinearen Programmierung oder der konvexen Programmierung, um solche Probleme zu lösen. In diesem Tutorial konzentrieren wir uns auf das Erlernen solcher Techniken und am Ende auf einige Algorithmen zur Lösung solcher Probleme. Zuerst werden wir den Begriff der konvexen Mengen bringen, der die Grundlage der konvexen Programmierprobleme bildet. Mit der Einführung konvexer Funktionen werden wir dann einige wichtige Theoreme zur Lösung dieser Probleme und einige auf diesen Theoremen basierende Algorithmen.

Terminologien

Der Raum $ \ mathbb {R} ^ n $ - Es ist ein n-dimensionaler Vektor mit reellen Zahlen, definiert wie folgt - $ \ mathbb {R} ^ n = \ left \ {\ left (x_1, x_2, ... , x_n \ right) ^ {\ tau}: x_1, x_2, ...., x_n \ in \ mathbb {R} \ right \} $
Der Raum $ \ mathbb {R} ^ {mXn} $ - Dies ist eine Menge aller reellen Wertematrizen der Ordnung $ mXn $.