Konvexe Optimierung - Kegel

Eine nicht leere Menge C in $ \ mathbb {R} ^ n $ heißt Kegel mit Scheitelpunkt 0, wenn $ x \ in C \ Rightarrow \ lambda x \ in C \ forall \ lambda \ geq 0 $.

Eine Menge C ist ein konvexer Kegel, wenn sie sowohl konvex als auch konisch ist.

Zum Beispiel $ y = \ left | x \ right | $ ist kein konvexer Kegel, weil er nicht konvex ist.

Aber $ y \ geq \ left | x \ right | $ ist ein konvexer Kegel, weil er sowohl konvex als auch konisch ist.

Note - Ein Kegel C ist genau dann konvex, wenn für $ x, y \ in C, x + y \ in C $ gilt.

Beweis

Da C ein Kegel ist, ist für $ x y \ in C \ Rightarrow \ lambda x \ in C $ und $ \ mu y \ in C \: \ forall \: \ lambda \ mu \ geq 0 $

C ist konvex, wenn $ \ lambda x + \ left (1- \ lambda \ right) y \ in C \: \ forall \: \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $

Da C Kegel ist, $ \ lambda x \ in C $ und $ \ left (1- \ lambda \ right) y \ in C \ Leftrightarrow x, y \ in C $

Somit ist C konvex, wenn $ x + y \ in C $ ist

Im Allgemeinen, wenn $ x_1, x_2 \ in C $, dann $ \ lambda_1x_1 + \ lambda_2x_2 \ in C, \ forall \ lambda_1, \ lambda_2 \ geq 0 $

Beispiele

• Die konische Kombination einer unendlichen Menge von Vektoren in $ \ mathbb {R} ^ n $ ist ein konvexer Kegel.

• Jeder leere Satz ist ein konvexer Kegel.

• Jede lineare Funktion ist ein konvexer Kegel.

• Da eine Hyperebene linear ist, ist sie auch ein konvexer Kegel.

• Geschlossene Halbräume sind ebenfalls konvexe Kegel.

Note - Der Schnittpunkt zweier konvexer Kegel ist ein konvexer Kegel, aber ihre Vereinigung kann ein konvexer Kegel sein oder nicht.